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初中数学人教版八年级上册第十一章 三角形综合与测试当堂检测题
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这是一份初中数学人教版八年级上册第十一章 三角形综合与测试当堂检测题，共14页。
一．选择题
1．已知三角形两边的长分别是3和7，则此三角形第三边的长可能是（ ）
A．16B．11C．3D．6
2．如图，AC⊥BC，CD⊥AB，DE⊥BC，垂足分别为C，D，E，则下列说法不正确的是（ ）
A．BC是△ABC的高B．AC是△ABE的高
C．DE是△ABE的高D．AD是△ACD的高
3．如图，△ABC中，∠BAC＝80°，∠B＝60°，AD⊥BC，垂足为D，AE平分∠DAC，则∠AEC度数是（ ）
A．110°B．115°C．120°D．125°
4．如图，在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝60°，CD、CE分别是△ABC的高和角平分线，那么∠ECD的度数是（ ）
A．25°B．20°C．15°D．10°
5．如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，EF∥AB，∠B＝39°，则∠1的度数为（ ）
A．38°B．39°C．51°D．52°
6．用13根同样长的火柴棒在桌面上摆一个三角形（不许折断，且全部用完），能摆出不同形状的三角形个数是（ ）
A．6B．5C．4D．3
7．如图，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，若∠B＝35°，∠ACE＝60°，则∠A＝（ ）
A．50°B．60°C．70°D．85°
8．如图，小陈在木门板上钉了一个加固板，从数学的角度看，这样做的道理是（ ）
A．利用四边形的不稳定性B．利用三角形的稳定性
C．三角形两边之和大于第三边D．四边形的外角和等于360°
9．如图所示，四边形ABCD中残缺∠C，经测量得∠A＝110°，∠D＝75°，∠1＝45°，则这个四边形残缺前的∠C的度数为（ ）
A．75°B．60°C．45°D．40°
10．如图，在△ABC中，∠B＝32°，将△ABC沿直线m翻折，点B落在点D的位置，则∠1﹣∠2的度数是（ ）
A．32°B．45°C．60°D．64°
二．填空题
11．若一个正n边形的一个外角为36°，则n等于 ．
12．如果将一副三角板按如图方式叠放，那么∠1＝ ．
13．如图，把△ABC的一角折叠，若∠1+∠2＝130°，则∠A的度数为 ．
14．木工师傅有两根长分别为5和8的木条，他要找第三根木条，将它们钉成一个三角形框架，现有3、10、13、20三根木条，他可以选择长为 的木条．
15．如图，在锐角三角形ABC中，CD和BE分别是AB和AC边上的高，且CD和BE交于点P，若∠A＝40°，则∠BPC的度数是 ．
三．解答题
16．如图，在△ABC中，AD是高线，AE，BF是角平分线，它们相交于点O，∠BAC＝50°，∠C＝70°，求：
（1）∠DAC的度数；
（2）∠AOB的度数．
17．（1）图（1）中AB和AC 相交于点A，BD和CD相交于点D，探究∠BDC与∠B、∠C、∠BAC的关系
小明是这样做的：
解：以点A为端点作射线AD
∵∠1是△ABD的外角
∴∠1＝∠B+∠BAD
同理∠2＝∠C+∠CAD
∴∠1+∠2＝∠B+∠BAD+∠C+∠CAD
即∠BDC＝∠B+∠C+∠BAC
小英的思路是：延长BD交AC于点E．
1小英的思路完成∠BDC＝∠B+∠C+∠BAC这一结论．
（2）按照上面的思路解决如下问题：如图（2）：在△ABC中，BE、CD分别是∠ABC∠ACB的角平分线，交AC于E，交AB于D．BE、CD相交于点O，∠A＝60°．求∠BOC的度数．
（3）如图（3）：△ABC中，BO、CO分别是∠ABC与∠ACB的角平分线，且BO、CO相交于点O．猜想∠BOC与∠A有怎样的关系，并加以证明．
18．如图，在△ABC中，∠ACB＞∠B，AD平分∠BAC，P为线段AD上一点，PE⊥AD交BC的延长线于点E．
（1）若∠B＝30°，∠ACB＝80°，求∠E的度数；
（2）猜想∠E与∠B、∠ACB的数量关系，并加以证明．
19．（1）如图（1），在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O，∠A＝40°求∠BOC的度数．
（2）如图（2），△A′B′C′外角的平分线相交于点O′，∠A′＝40°，求∠B′O′C′的度数．
（3）由（1）、（2）可以发现∠BOC与∠B′O′C′有怎样的数量关系？设∠A＝∠A′＝n°，∠BOC与∠B′O′C′是否还具有这样的数量关系？这个结论你是怎样得到的？
20．（1）如图①，△ABC的三边所在的直线与直线A1A2、A3A4、A5A6分别两两相交，求∠A1+∠A2+∠A3+∠A4+∠A5+∠A6等于多少度？
（2）如图②，四边形ABCD的四边所在的直线与直线A1A2、A3A4、A5A6、A7A8分别两两相交，求∠A1+∠A2+∠A3+∠A4+∠A5+∠A6+∠7+∠8的度数；
（3）若n边形的n条边所在的直线与直线A1A2、A3A4、A5A6、…、A2n﹣1A2n分别两两相交，求∠A1+∠A2+…+∠A2n＝ ．
21．在△ABC中，AD为角平分线，延长AB至E，连接CE，BF∥AD交CE于F，∠BFE＝3∠ACB+∠EBF；
（1）如图1所示，求证：∠BCE＝2∠ACB；
（2）如图2所示，过B作BH⊥AC于H，若∠CBH＝2∠CBF，求∠E的度数；
（3）如图3所示，在（2）的条件下，点M、N分别为线段AD及其延长线上的点（M在BH左侧），且∠MBH＝45°，∠N＝22.5°，求∠CBN与∠EBM的数量关系．
参考答案
一．选择题
1．解：设第三边的长度为x，
由题意得：7﹣3＜x＜7+3，
即：4＜x＜10，
故选：D．
2．解：观察图象可知：BC是△ABC的高，AC是△ABE的高，AD是△ACD的高，DE是△BCD、△BDE、△CDE的高
故A，B，D正确，C错误，
故选：C．
3．解：∵∠B＝60°，AD⊥BC，
∴∠BAD＝30°，
∵∠BAC＝80°，
∴∠DAC＝50°，
∵AE平分∠DAC，
∴∠DAE＝25°，
∴∠BAE＝55°，
∴∠AEC＝∠BAE+∠B＝55°+60°＝115°．
故选：B．
4．解：∵CD为高，
∴∠CDB＝90°，
∴∠BCD＝90°﹣∠B，
∵CE为角平分线，
∴∠BCE＝∠ACB，而∠ACB＝180°﹣∠A﹣∠B，
∴∠BCE＝（180°﹣∠A﹣∠B）＝90°﹣（∠A+∠B），
∴∠ECD＝∠BCE﹣∠BCD＝90°﹣（∠A+∠B）﹣（90°﹣∠B）＝（∠B﹣∠A），
当∠A＝30°，∠B＝50°时，∠ECD＝×（60°﹣30°）＝15°，
故选：C．
5．解：∵在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝39°，
∴∠A＝51°，
∵EF∥AB，
∴∠1＝∠A，
∴∠1＝51°，
故选：C．
6．解：∵三角形两边之和大于第三边，
∴只能有5种答案，即①1、6、6；②2、5、6；③3、5、5；④4、4、5；⑤3、4、6．
故选：B．
7．解：∵CE平分∠ACD，
∴∠ACD＝2∠ACE＝120°，
∵∠ACD＝∠B+∠A，
∴∠A＝120°﹣35°＝85°，
故选：D．
8．解：这样做的原因是：利用三角形的稳定性使门板不变形．
故选：B．
9．解：如图所示：
∵∠1＝45°，
∴∠ABC＝180°﹣45°＝135°，
∴∠C＝360°﹣∠A﹣∠D﹣∠ABC＝360°﹣110°﹣75°﹣135°＝40°，
故选：D．
10．解：如图所示：
由折叠的性质得：∠D＝∠B＝32°，
根据外角性质得：∠1＝∠3+∠B，∠3＝∠2+∠D，
∴∠1＝∠2+∠D+∠B＝∠2+2∠B＝∠2+64°，
∴∠1﹣∠2＝64°．
故选：D．
二．填空题（共5小题）
11．解：n＝360°÷36°＝10．
故答案为10．
12．解：给图中角标上序号，如图所示．
∵∠2+∠3+45°＝180°，∠2＝30°，
∴∠3＝180°﹣30°﹣45°＝105°，
∴∠1＝∠3＝105°．
故答案为：105°．
13．解：如图，
∵△ABC的一角折叠，
∴∠3＝∠5，∠4＝∠6，
而∠3+∠5+∠1+∠2+∠4+∠6＝360°，
∴2∠3+2∠4+∠1+∠2＝360°，
∵∠1+∠2＝130°，
∴∠3+∠4＝115°，
∴∠A＝180°﹣∠3﹣∠4＝65°．
故答案为：65°．
14．解：已知三角形的两边是5和8，则
第三边一定大于3且小于13．
故他可以选择其中长为10的木条．
故答案为：10．
15．解：∵∠A＝40°，CD⊥AB，
∴∠ACD＝50°，
∵BE⊥AC，
∴∠CEP＝90°，
∵∠BPC为△CPE的外角，
∴∠BPC＝140°．
故答案为：140°．
三．解答题（共6小题）
16．解：（1）∵AD⊥BC
∴∠ADC＝90°
∵∠C＝70°
∴∠DAC＝180°﹣90°﹣70°＝20°；
（2）∵∠BAC＝50°，∠C＝70°
∴∠BAO＝25°，∠ABC＝60°
∵BF是∠ABC的角平分线
∴∠ABO＝30°
∴∠BOA＝180°﹣∠BAO﹣∠ABO＝180°﹣25°﹣30°＝125°．
17．（1）证明：延长BD交AC于E，
∵∠BDC＝∠C+∠CED，
又∵∠CED＝∠BAC+∠B，
∴∠BDC＝∠C+∠B+∠BAC；
（2）解：∵由（1）知∠BOC＝∠ABE+∠ACD+∠A，
又∵∠ABE＝∠ABC，∠ACD＝∠ACB，
∴∠ABE+∠ACD＝ （∠ABC+∠ACB）＝ （180﹣∠A）＝×120＝60°，
∴∠BOC＝120°；
（3）∠BOC与∠A的关系：∠BOC＝90°+∠A．
理由如下：由（2）得∠BOC＝（180°﹣∠A）+∠A＝90°+∠A．
18．解：（1）∵∠B＝30°，∠ACB＝80°，
∴∠BAC＝70°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠DAC＝35°，
∴∠ADC＝65°，
∴∠E＝25°；
（2）∠E＝（∠ACB﹣∠B）．
设∠B＝n°，∠ACB＝m°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠1＝∠2＝∠BAC，
∵∠B+∠ACB+∠BAC＝180°，
∵∠B＝n°，∠ACB＝m°，
∴∠CAB＝（180﹣n﹣m）°，
∴∠BAD＝（180﹣n﹣m）°，
∴∠3＝∠B+∠1＝n°+（180﹣n﹣m）°＝90°+n°﹣m°，
∵PE⊥AD，
∴∠DPE＝90°，
∴∠E＝90°﹣（90°+n°﹣m°）＝（m﹣n）°＝（∠ACB﹣∠B）．
19．解：（1）在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O，则
∠1+∠2＝∠ABC+∠ACB＝（∠ABC+∠ACB）
＝（180°﹣∠A）＝×（180°﹣40°）＝70°．
故∠BOC＝180°﹣70°＝110°；
（2）因为∠A的外角等于180°﹣40°＝140°，
△A′B′C′另外的两外角平分线相交于点O′，
根据三角形的外角和等于360°，
所以∠1+∠2＝×（360°﹣140°）＝110°，
∠B′O′C′＝180°﹣110°＝70°；
（3）∵（1）（2）中∠BOC+∠B′O′C′＝110°+70°＝180°，∴∠BOC与∠B′O′C′互补；
证明：当∠A＝n°时，∠BOC＝180°﹣[（180°﹣n°）÷2]＝90°+n°，
∵∠A′＝n°，∠B′O′C′＝180°﹣[360°﹣（180°﹣n°）]÷2＝90°﹣n°，
∴∠A+∠A′＝90°+n°+90°﹣°＝180°，∠BOC与∠B′O′C′互补，
∴当∠A＝∠A′＝n°，∠BOC与∠B′O′C′还具有互补的关系．
20．解：（1）∵∠1+∠2+∠3＝360°，
∠1＝∠A5+A6，∠2＝∠A3+∠A4，∠3＝∠A1+∠A2，
∴∠A1+∠A2+∠A3+∠A4+∠A5+∠A6＝360°．
（2）∵∠1+∠2+∠3+∠4＝360°，
∠1＝∠A7+A8，∠2＝∠A5+∠A6，∠3＝∠A3+∠A4，∠4＝∠A1+∠A2
∴∠A1+∠A2+∠A3+∠A4+∠A5+∠A6+∠A7+∠A8＝360°．
（3）由（1）（2）可知，∠A1+∠A2+…+∠A2n＝n边形的外角和＝360°，
故答案为360°
21．解：（1）如图1中，设∠ACB＝x，∠DAC＝∠BAD＝y．
∵BF∥AD，
∴∠FBD＝∠BDA＝∠DCA+∠DAC＝x+y，∠EBF＝∠EAD＝y
∵∠EFB＝∠FCB+∠FBD＝∠FCB+x+y，
∵∠BFE＝3∠ACB+∠EBF，
∴∠BFE＝3x+y，
∴3x+y＝∠FCB+x+y，
∴∠FCB＝2x＝∠ACB．
（2）如图2中，
∵∠FBD＝∠BDA＝x+y，
∴∠CBH＝2∠FBC＝2x+2y，
∵BH⊥AC，
∴∠CHB＝90°，
∴∠HCB+∠CBH＝90°，
∴x+2x+2y＝90°，
∴3x+2y＝90°，
∵∠ECB＝2x，∠ACB＝x，
∴∠ECA＝3x，
∴∠E＝180°﹣3x﹣2y＝90°．
（3）如图3中，
∠E＝∠BHC＝90°，
∴∠BCH+∠EBH＝180°，∠EBH+∠ABH＝180°，
∴∠ABH＝∠ECA＝3x，∵∠MBH＝45°，
∴∠EBM＝180°﹣45°﹣3x＝135°﹣3x，
在△DBN和△DAC中，
∠N+∠CBN＝∠DBC+∠DAC，
∴∠CBN＝x+y﹣22.5°，
∴6∠CBN＝6x+6y﹣135°，
∵2y＝90°﹣3x，
∴6y＝270°﹣9x，
∴6∠CBN＝6x+270°﹣9x﹣135°＝135°﹣3x，
∴∠EBM＝6∠CBN．
一．选择题
1．已知三角形两边的长分别是3和7，则此三角形第三边的长可能是（ ）
A．16B．11C．3D．6
2．如图，AC⊥BC，CD⊥AB，DE⊥BC，垂足分别为C，D，E，则下列说法不正确的是（ ）
A．BC是△ABC的高B．AC是△ABE的高
C．DE是△ABE的高D．AD是△ACD的高
3．如图，△ABC中，∠BAC＝80°，∠B＝60°，AD⊥BC，垂足为D，AE平分∠DAC，则∠AEC度数是（ ）
A．110°B．115°C．120°D．125°
4．如图，在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝60°，CD、CE分别是△ABC的高和角平分线，那么∠ECD的度数是（ ）
A．25°B．20°C．15°D．10°
5．如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，EF∥AB，∠B＝39°，则∠1的度数为（ ）
A．38°B．39°C．51°D．52°
6．用13根同样长的火柴棒在桌面上摆一个三角形（不许折断，且全部用完），能摆出不同形状的三角形个数是（ ）
A．6B．5C．4D．3
7．如图，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，若∠B＝35°，∠ACE＝60°，则∠A＝（ ）
A．50°B．60°C．70°D．85°
8．如图，小陈在木门板上钉了一个加固板，从数学的角度看，这样做的道理是（ ）
A．利用四边形的不稳定性B．利用三角形的稳定性
C．三角形两边之和大于第三边D．四边形的外角和等于360°
9．如图所示，四边形ABCD中残缺∠C，经测量得∠A＝110°，∠D＝75°，∠1＝45°，则这个四边形残缺前的∠C的度数为（ ）
A．75°B．60°C．45°D．40°
10．如图，在△ABC中，∠B＝32°，将△ABC沿直线m翻折，点B落在点D的位置，则∠1﹣∠2的度数是（ ）
A．32°B．45°C．60°D．64°
二．填空题
11．若一个正n边形的一个外角为36°，则n等于 ．
12．如果将一副三角板按如图方式叠放，那么∠1＝ ．
13．如图，把△ABC的一角折叠，若∠1+∠2＝130°，则∠A的度数为 ．
14．木工师傅有两根长分别为5和8的木条，他要找第三根木条，将它们钉成一个三角形框架，现有3、10、13、20三根木条，他可以选择长为 的木条．
15．如图，在锐角三角形ABC中，CD和BE分别是AB和AC边上的高，且CD和BE交于点P，若∠A＝40°，则∠BPC的度数是 ．
三．解答题
16．如图，在△ABC中，AD是高线，AE，BF是角平分线，它们相交于点O，∠BAC＝50°，∠C＝70°，求：
（1）∠DAC的度数；
（2）∠AOB的度数．
17．（1）图（1）中AB和AC 相交于点A，BD和CD相交于点D，探究∠BDC与∠B、∠C、∠BAC的关系
小明是这样做的：
解：以点A为端点作射线AD
∵∠1是△ABD的外角
∴∠1＝∠B+∠BAD
同理∠2＝∠C+∠CAD
∴∠1+∠2＝∠B+∠BAD+∠C+∠CAD
即∠BDC＝∠B+∠C+∠BAC
小英的思路是：延长BD交AC于点E．
1小英的思路完成∠BDC＝∠B+∠C+∠BAC这一结论．
（2）按照上面的思路解决如下问题：如图（2）：在△ABC中，BE、CD分别是∠ABC∠ACB的角平分线，交AC于E，交AB于D．BE、CD相交于点O，∠A＝60°．求∠BOC的度数．
（3）如图（3）：△ABC中，BO、CO分别是∠ABC与∠ACB的角平分线，且BO、CO相交于点O．猜想∠BOC与∠A有怎样的关系，并加以证明．
18．如图，在△ABC中，∠ACB＞∠B，AD平分∠BAC，P为线段AD上一点，PE⊥AD交BC的延长线于点E．
（1）若∠B＝30°，∠ACB＝80°，求∠E的度数；
（2）猜想∠E与∠B、∠ACB的数量关系，并加以证明．
19．（1）如图（1），在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O，∠A＝40°求∠BOC的度数．
（2）如图（2），△A′B′C′外角的平分线相交于点O′，∠A′＝40°，求∠B′O′C′的度数．
（3）由（1）、（2）可以发现∠BOC与∠B′O′C′有怎样的数量关系？设∠A＝∠A′＝n°，∠BOC与∠B′O′C′是否还具有这样的数量关系？这个结论你是怎样得到的？
20．（1）如图①，△ABC的三边所在的直线与直线A1A2、A3A4、A5A6分别两两相交，求∠A1+∠A2+∠A3+∠A4+∠A5+∠A6等于多少度？
（2）如图②，四边形ABCD的四边所在的直线与直线A1A2、A3A4、A5A6、A7A8分别两两相交，求∠A1+∠A2+∠A3+∠A4+∠A5+∠A6+∠7+∠8的度数；
（3）若n边形的n条边所在的直线与直线A1A2、A3A4、A5A6、…、A2n﹣1A2n分别两两相交，求∠A1+∠A2+…+∠A2n＝ ．
21．在△ABC中，AD为角平分线，延长AB至E，连接CE，BF∥AD交CE于F，∠BFE＝3∠ACB+∠EBF；
（1）如图1所示，求证：∠BCE＝2∠ACB；
（2）如图2所示，过B作BH⊥AC于H，若∠CBH＝2∠CBF，求∠E的度数；
（3）如图3所示，在（2）的条件下，点M、N分别为线段AD及其延长线上的点（M在BH左侧），且∠MBH＝45°，∠N＝22.5°，求∠CBN与∠EBM的数量关系．
参考答案
一．选择题
1．解：设第三边的长度为x，
由题意得：7﹣3＜x＜7+3，
即：4＜x＜10，
故选：D．
2．解：观察图象可知：BC是△ABC的高，AC是△ABE的高，AD是△ACD的高，DE是△BCD、△BDE、△CDE的高
故A，B，D正确，C错误，
故选：C．
3．解：∵∠B＝60°，AD⊥BC，
∴∠BAD＝30°，
∵∠BAC＝80°，
∴∠DAC＝50°，
∵AE平分∠DAC，
∴∠DAE＝25°，
∴∠BAE＝55°，
∴∠AEC＝∠BAE+∠B＝55°+60°＝115°．
故选：B．
4．解：∵CD为高，
∴∠CDB＝90°，
∴∠BCD＝90°﹣∠B，
∵CE为角平分线，
∴∠BCE＝∠ACB，而∠ACB＝180°﹣∠A﹣∠B，
∴∠BCE＝（180°﹣∠A﹣∠B）＝90°﹣（∠A+∠B），
∴∠ECD＝∠BCE﹣∠BCD＝90°﹣（∠A+∠B）﹣（90°﹣∠B）＝（∠B﹣∠A），
当∠A＝30°，∠B＝50°时，∠ECD＝×（60°﹣30°）＝15°，
故选：C．
5．解：∵在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝39°，
∴∠A＝51°，
∵EF∥AB，
∴∠1＝∠A，
∴∠1＝51°，
故选：C．
6．解：∵三角形两边之和大于第三边，
∴只能有5种答案，即①1、6、6；②2、5、6；③3、5、5；④4、4、5；⑤3、4、6．
故选：B．
7．解：∵CE平分∠ACD，
∴∠ACD＝2∠ACE＝120°，
∵∠ACD＝∠B+∠A，
∴∠A＝120°﹣35°＝85°，
故选：D．
8．解：这样做的原因是：利用三角形的稳定性使门板不变形．
故选：B．
9．解：如图所示：
∵∠1＝45°，
∴∠ABC＝180°﹣45°＝135°，
∴∠C＝360°﹣∠A﹣∠D﹣∠ABC＝360°﹣110°﹣75°﹣135°＝40°，
故选：D．
10．解：如图所示：
由折叠的性质得：∠D＝∠B＝32°，
根据外角性质得：∠1＝∠3+∠B，∠3＝∠2+∠D，
∴∠1＝∠2+∠D+∠B＝∠2+2∠B＝∠2+64°，
∴∠1﹣∠2＝64°．
故选：D．
二．填空题（共5小题）
11．解：n＝360°÷36°＝10．
故答案为10．
12．解：给图中角标上序号，如图所示．
∵∠2+∠3+45°＝180°，∠2＝30°，
∴∠3＝180°﹣30°﹣45°＝105°，
∴∠1＝∠3＝105°．
故答案为：105°．
13．解：如图，
∵△ABC的一角折叠，
∴∠3＝∠5，∠4＝∠6，
而∠3+∠5+∠1+∠2+∠4+∠6＝360°，
∴2∠3+2∠4+∠1+∠2＝360°，
∵∠1+∠2＝130°，
∴∠3+∠4＝115°，
∴∠A＝180°﹣∠3﹣∠4＝65°．
故答案为：65°．
14．解：已知三角形的两边是5和8，则
第三边一定大于3且小于13．
故他可以选择其中长为10的木条．
故答案为：10．
15．解：∵∠A＝40°，CD⊥AB，
∴∠ACD＝50°，
∵BE⊥AC，
∴∠CEP＝90°，
∵∠BPC为△CPE的外角，
∴∠BPC＝140°．
故答案为：140°．
三．解答题（共6小题）
16．解：（1）∵AD⊥BC
∴∠ADC＝90°
∵∠C＝70°
∴∠DAC＝180°﹣90°﹣70°＝20°；
（2）∵∠BAC＝50°，∠C＝70°
∴∠BAO＝25°，∠ABC＝60°
∵BF是∠ABC的角平分线
∴∠ABO＝30°
∴∠BOA＝180°﹣∠BAO﹣∠ABO＝180°﹣25°﹣30°＝125°．
17．（1）证明：延长BD交AC于E，
∵∠BDC＝∠C+∠CED，
又∵∠CED＝∠BAC+∠B，
∴∠BDC＝∠C+∠B+∠BAC；
（2）解：∵由（1）知∠BOC＝∠ABE+∠ACD+∠A，
又∵∠ABE＝∠ABC，∠ACD＝∠ACB，
∴∠ABE+∠ACD＝ （∠ABC+∠ACB）＝ （180﹣∠A）＝×120＝60°，
∴∠BOC＝120°；
（3）∠BOC与∠A的关系：∠BOC＝90°+∠A．
理由如下：由（2）得∠BOC＝（180°﹣∠A）+∠A＝90°+∠A．
18．解：（1）∵∠B＝30°，∠ACB＝80°，
∴∠BAC＝70°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠DAC＝35°，
∴∠ADC＝65°，
∴∠E＝25°；
（2）∠E＝（∠ACB﹣∠B）．
设∠B＝n°，∠ACB＝m°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠1＝∠2＝∠BAC，
∵∠B+∠ACB+∠BAC＝180°，
∵∠B＝n°，∠ACB＝m°，
∴∠CAB＝（180﹣n﹣m）°，
∴∠BAD＝（180﹣n﹣m）°，
∴∠3＝∠B+∠1＝n°+（180﹣n﹣m）°＝90°+n°﹣m°，
∵PE⊥AD，
∴∠DPE＝90°，
∴∠E＝90°﹣（90°+n°﹣m°）＝（m﹣n）°＝（∠ACB﹣∠B）．
19．解：（1）在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O，则
∠1+∠2＝∠ABC+∠ACB＝（∠ABC+∠ACB）
＝（180°﹣∠A）＝×（180°﹣40°）＝70°．
故∠BOC＝180°﹣70°＝110°；
（2）因为∠A的外角等于180°﹣40°＝140°，
△A′B′C′另外的两外角平分线相交于点O′，
根据三角形的外角和等于360°，
所以∠1+∠2＝×（360°﹣140°）＝110°，
∠B′O′C′＝180°﹣110°＝70°；
（3）∵（1）（2）中∠BOC+∠B′O′C′＝110°+70°＝180°，∴∠BOC与∠B′O′C′互补；
证明：当∠A＝n°时，∠BOC＝180°﹣[（180°﹣n°）÷2]＝90°+n°，
∵∠A′＝n°，∠B′O′C′＝180°﹣[360°﹣（180°﹣n°）]÷2＝90°﹣n°，
∴∠A+∠A′＝90°+n°+90°﹣°＝180°，∠BOC与∠B′O′C′互补，
∴当∠A＝∠A′＝n°，∠BOC与∠B′O′C′还具有互补的关系．
20．解：（1）∵∠1+∠2+∠3＝360°，
∠1＝∠A5+A6，∠2＝∠A3+∠A4，∠3＝∠A1+∠A2，
∴∠A1+∠A2+∠A3+∠A4+∠A5+∠A6＝360°．
（2）∵∠1+∠2+∠3+∠4＝360°，
∠1＝∠A7+A8，∠2＝∠A5+∠A6，∠3＝∠A3+∠A4，∠4＝∠A1+∠A2
∴∠A1+∠A2+∠A3+∠A4+∠A5+∠A6+∠A7+∠A8＝360°．
（3）由（1）（2）可知，∠A1+∠A2+…+∠A2n＝n边形的外角和＝360°，
故答案为360°
21．解：（1）如图1中，设∠ACB＝x，∠DAC＝∠BAD＝y．
∵BF∥AD，
∴∠FBD＝∠BDA＝∠DCA+∠DAC＝x+y，∠EBF＝∠EAD＝y
∵∠EFB＝∠FCB+∠FBD＝∠FCB+x+y，
∵∠BFE＝3∠ACB+∠EBF，
∴∠BFE＝3x+y，
∴3x+y＝∠FCB+x+y，
∴∠FCB＝2x＝∠ACB．
（2）如图2中，
∵∠FBD＝∠BDA＝x+y，
∴∠CBH＝2∠FBC＝2x+2y，
∵BH⊥AC，
∴∠CHB＝90°，
∴∠HCB+∠CBH＝90°，
∴x+2x+2y＝90°，
∴3x+2y＝90°，
∵∠ECB＝2x，∠ACB＝x，
∴∠ECA＝3x，
∴∠E＝180°﹣3x﹣2y＝90°．
（3）如图3中，
∠E＝∠BHC＝90°，
∴∠BCH+∠EBH＝180°，∠EBH+∠ABH＝180°，
∴∠ABH＝∠ECA＝3x，∵∠MBH＝45°，
∴∠EBM＝180°﹣45°﹣3x＝135°﹣3x，
在△DBN和△DAC中，
∠N+∠CBN＝∠DBC+∠DAC，
∴∠CBN＝x+y﹣22.5°，
∴6∠CBN＝6x+6y﹣135°，
∵2y＝90°﹣3x，
∴6y＝270°﹣9x，
∴6∠CBN＝6x+270°﹣9x﹣135°＝135°﹣3x，
∴∠EBM＝6∠CBN．
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