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    人教A版 (2019)选择性必修 第一册1.2 空间向量基本定理精品达标测试

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    这是一份人教A版 (2019)选择性必修 第一册1.2 空间向量基本定理精品达标测试,共11页。试卷主要包含了概念,表示,运算,共线,方向向量等内容,欢迎下载使用。

    A:基础总分100分


    基础知识检测部分(每空1分,共25分)


    1、概念


    2、表示


    空间向量可以用a,b,c…表示,也用有向线段表示,有向线段的 表示向量的模,向量a的起点是A,终点是B,则向量a也可记作eq \(AB,\s\up6(→)),其模记为 .


    3、运算





    a+b=eq \(OA,\s\up7(→))+eq \(AB,\s\up7(→))=________;


    a- b=eq \(OA,\s\up7(→))-eq \(OC,\s\up7(→))=________.


    当λ>0时,λa=eq \(OA,\s\up7(→))= ;当λ<0时,λa=eq \(OA,\s\up7(→))= ;λ=0时,λa=0


    运算律:交换律 a+b= ______;结合律(a+b)+c= .


    分配律λ(a+b)= , (λ+μ)a= 。





    4、共线


    (1)定义:表示空间向量的有向 线段所在的直线____________,则这些向量叫做________或平行向量.


    (2)共线向量定理:对于空间任意两个向量a,b(b≠0),a∥b的充要条件是存在实数λ使_______.








    5、方向向量


    在直线l上取非零向量a,我们把与向量a平行的 成为直线l的方向向量。也就是说直线可以由其一点和它的方向向量确定。


    共面向量


    定义:平行于________________的向量叫做共面向量.


    = 1 \* ROMAN \* MERGEFORMAT I、证明空间三个向量共面,常用如下方法:


    (1)若a=xb+yc,则向量a,b,c ;


    (2)寻找平面α,证明这些向量与平面α平行.


    = 2 \* ROMAN \* MERGEFORMAT II、对空间四点P,M,A,B可通过证明下列结论成立来证明四点共面:


    (1)eq \(MP,\s\up7(→))=xeq \(MA,\s\up7(→))+yeq \(MB,\s\up7(→));(2)对空间任一点O,eq \(OP,\s\up7(→))=eq \(OM,\s\up7(→))+xeq \(MA,\s\up7(→))+yeq \(MB,\s\up7(→));


    (3)对空间任一点O,eq \(OP,\s\up7(→))=xeq \(OA,\s\up7(→))+yeq \(OB,\s\up7(→))+zeq \(OC,\s\up7(→))(x+y+z=1);


    (4)eq \(PM,\s\up7(→))∥eq \(AB,\s\up7(→))(或eq \(PA,\s\up7(→))∥eq \(MB,\s\up7(→)),或eq \(PB,\s\up7(→))∥eq \(AM,\s\up7(→))).


    二、基础训练(第一题10分,第二三题每题5分,共20分)


    1、判断正错(每空2分)


    (1)零向量没有方向.( )


    (2)有向线段都可以表示向量,向量都可以用有向线段表示.( )


    (3)平面内所有的单位向量是相等的.( )


    (4)空间中,将单位向量起点放在一起,其终点组成的图形是球.( )


    (5)任何两个向量均不可以比较大小( )


    2、在平行六面体ABCD­A1B1C1D1中,顶点连接的向量中,与向量eq \(AD,\s\up7(→))相等的向量共有( )


    A.1个 B.2个 C.3个 D.4个


    3.已知空间四边形ABCD中,eq \(AB,\s\up7(→))=a,eq \(CB,\s\up7(→))=b,eq \(AD,\s\up7(→))=c,则eq \(CD,\s\up7(→))等于( )


    A.a+b-c B.-a-b+c


    C.-a+b+cD.-a+b-c


    三、能力训练(第一至五题每题5分,其它15分)


    1、 给出下列命题:


    ①零向量没有确定的方向;②在正方体ABCD­A1B1C1D1中,eq \(AC,\s\up7(→))=eq \(A1C1,\s\up7(→));


    ③若向量a与向量b的模相等,则a,b的方向相同或相反;


    ④在四边形ABCD中,必有eq \(AB,\s\up7(→))+eq \(AD,\s\up7(→))=eq \(AC,\s\up7(→)).


    其中正确命题的序号是________.


    2、下列关于空间向量的说法中正确的是( )


    A.若向量a,b平行,则a,b所在直线平行


    B.若|a|=|b|,则a,b的长度相等而方向相同或相反


    C.若向量eq \(AB,\s\up6(→)),eq \(CD,\s\up6(→))满足|eq \(AB,\s\up6(→))|>|eq \(CD,\s\up6(→))|,则eq \(AB,\s\up6(→))>eq \(CD,\s\up6(→))


    D.相等向量其方向必相同


    3、如图所示,在平行六面体ABCD­A′B′C′D′中,顶点连接的向量中,与向量eq \(AA′,\s\up7(→))相等的向量有___ _____;与向量eq \(A′B′,\s\up7(→))相反的向量有_ _.(要求写出所有适合条件的向量)





    4、 在如图所示的平行六面体中,求证:eq \(AC,\s\up6(→))+eq \(AB′,\s\up6(-→))+eq \(AD′,\s\up6(-→))=2eq \(AC′,\s\up6(-→)).











    5、已知正方体ABCD­A′B′C′D′,点E是上底面A′B′C′D′的中心,求下列各式中x,y,z的值.


    (1)eq \(BD′,\s\up7(→))=xeq \(AD,\s\up7(→))+yeq \(AB,\s\up7(→))+zeq \(AA′,\s\up7(→));(2)eq \(AE,\s\up7(→))=xeq \(AD,\s\up7(→))+yeq \(AB,\s\up7(→))+zeq \(AA′,\s\up7(→)).



































    6、如图,已知四边形ABCD是平行四边形,点P是ABCD所在平面外的一点,连接PA,PB,PC,PD.设点E,F,G,H分别为△PAB,△PBC,△PCD,△PDA的重心.试用向量方法证明E,F,G,H四点共面.


























    7、如图所示,已知矩形ABCD和矩形ADEF所在的平面互相垂直,点M,N分别在对角线BD,AE上,且BM=eq \f(1,3)BD,AN=eq \f(1,3)AE.求证:向量eq \(MN,\s\up7(→)),eq \(CD,\s\up7(→)),eq \(DE,\s\up7(→))共面.















































    B巩固测试(第一至六题每题6分,其它7分)


    巩固提升训练


    1.下列说法:


    ①若两个空间向量相等,则表示它们有向线段的起点相同,终点也相同;


    ②若向量eq \(AB,\s\up7(→)),eq \(CD,\s\up7(→))满足|eq \(AB,\s\up7(→))|>|eq \(CD,\s\up7(→))|,且eq \(AB,\s\up7(→))与eq \(CD,\s\up7(→))同向,则eq \(AB,\s\up7(→))>eq \(CD,\s\up7(→));


    ③若两个非零向量eq \(AB,\s\up7(→))与eq \(CD,\s\up7(→))满足eq \(AB,\s\up7(→))+eq \(CD,\s\up7(→))=0,则eq \(AB,\s\up7(→)),eq \(CD,\s\up7(→))为相反向量;


    ④eq \(AB,\s\up7(→))=eq \(CD,\s\up7(→))的充要条件是A与C重合,B与D重合.


    其中错误的个数为( )


    A.1 B.2 C.3 D.4


    2.向量a,b互为相反向量,已知|b|=3,则下列结论正确的是( )


    A.a=b B.a+b为实数0


    C.a与b方向相同 D.|a|=3


    3.已知正方体ABCD-A1B1C1D1中,eq \(A1E,\s\up6(→))=eq \f(1,4)eq \(A1C1,\s\up6(→)),若eq \(AE,\s\up6(→))=xeq \(AA1,\s\up6(→))+y(eq \(AB,\s\up6(→))+eq \(AD,\s\up6(→))),则( )


    A.x=1,y=eq \f(1,2) B.x=eq \f(1,2),y=1


    C.x=1,y=eq \f(1,3) D.x=1,y=eq \f(1,4)


    4.如图所示,空间四边形OABC中,eq \(OA,\s\up6(→))=a,eq \(OB,\s\up6(→))=b,eq \(OC,\s\up6(→))=c,点M在OA上,且OM=2MA,N为BC中点,则eq \(MN,\s\up6(→))等于( )


    A.eq \f(1,2)a-eq \f(2,3)b+eq \f(1,2)cB.-eq \f(2,3)a+eq \f(1,2)b+eq \f(1,2)c


    C.eq \f(1,2)a+eq \f(1,2)b-eq \f(1,2)cD.-eq \f(2,3)a+eq \f(2,3)b-eq \f(1,2)c


    5、如图,在长方体ABCD-A′B′C′D′中,AB=3,AD=2,AA′=1,则分别以长方体的顶点为起点和终点的向量中:


    ①单位向量共有多少个?②试写出模为eq \r(5)的所有向量.


    ③试写出与向量eq \(AB,\s\up6(→))相等的所有向量.④试写出向量eq \(AA′,\s\up6(--→))的所有相反向量.














    6.如图,已知空间四边形OABC,M,N分别是边OA,BC的中点,点G在MN上,且MG=2GN,设eq \(OA,\s\up7(→))=a,eq \(OB,\s\up7(→))=b,eq \(OC,\s\up7(→))=c,试用a,b,c表示向量eq \(OG,\s\up7(→)).




















    7、如图,已知四边形ABCD是空间四边形,E,H分别是边AB,AD的中点,F,G分别是边CB,CD上的点,且eq \(CF,\s\up7(→))=eq \f(2,3)eq \(CB,\s\up7(→)),eq \(CG,\s\up7(→))=eq \f(2,3)eq \(CD,\s\up7(→)).求证:四边形EFGH是梯形.























    8、已知A,B,C三点不共线,对平面ABC外的任一点O,若点M满足eq \(OM,\s\up7(→))=eq \f(1,3)eq \(OA,\s\up7(→))+eq \f(1,3)eq \(OB,\s\up7(→))+eq \f(1,3)eq \(OC,\s\up7(→)).


    (1)判断eq \(MA,\s\up7(→)),eq \(MB,\s\up7(→)),eq \(MC,\s\up7(→))三个向量是否共面;


    (2)判断点M是否在平面ABC内.





























    【巩固提升参考答案】


    1. C【解析】①错误.两个空间向量相等,其模相等且方向相同,但与起点和终点的位置无关.


    ②错误.向量的模可以比较大小,但向量不能比较大小.


    ③正确.eq \(AB,\s\up7(→))+eq \(CD,\s\up7(→))=0,得eq \(AB,\s\up7(→))=-eq \(CD,\s\up7(→)),且eq \(AB,\s\up7(→)),eq \(CD,\s\up7(→))为非零向量,所以eq \(AB,\s\up7(→)),eq \(CD,\s\up7(→))为相反向量.


    ④错误.由eq \(AB,\s\up7(→))=eq \(CD,\s\up7(→)),知|eq \(AB,\s\up7(→))|=|eq \(CD,\s\up7(→))|,且eq \(AB,\s\up7(→))与eq \(CD,\s\up7(→))同向,但A与C,B与D不一定重合.


    2、D 【解析】 向量a,b互为相反向量,则a,b模相等、方向相反,故选D.


    3.D 【解析】 eq \(AE,\s\up6(→))=eq \(AA1,\s\up6(→))+eq \(A1E,\s\up6(→))=eq \(AA1,\s\up6(→))+eq \f(1,4)eq \(A1C1,\s\up6(→))=eq \(AA1,\s\up6(→))+eq \f(1,4)(eq \(AB,\s\up6(→))+eq \(AD,\s\up6(→))).所以x=1,y=eq \f(1,4).


    4、B【解析】 eq \(MN,\s\up6(→))=eq \(ON,\s\up6(→))-eq \(OM,\s\up6(→))= eq \f(1,2) (eq \(OB,\s\up6(→))+eq \(OC,\s\up6(→)))-eq \f(2,3)eq \(OA,\s\up6(→)) =-eq \f(2,3)a+eq \f(1,2)b+eq \f(1,2)c.


    5、解 ①由于长方体的高为1,所以长方体的四条高所对应的向量eq \(AA′,\s\up6(--→)),eq \(A′A,\s\up6(--→)),eq \(BB′,\s\up6(--→)),eq \(B′B,\s\up6(---→)),eq \(CC′,\s\up6(---→)),eq \(C′C,\s\up6(---→)),eq \(DD′,\s\up6(---→)),eq \(D′D,\s\up6(---→)),共8个向量都是单位向量,而其他向量的模均不为1,故单位向量共有8个.


    ②由于长方体的左右两侧面的对角线长均为eq \r(5),故模为eq \r(5)的向量有eq \(AD′,\s\up6(---→)),eq \(D′A,\s\up6(----→)),eq \(A′D,\s\up6(---→)),eq \(DA′,\s\up6(---→)),eq \(BC′,\s\up6(----→)),eq \(C′B,\s\up6(----→)),eq \(B′C,\s\up6(----→)),eq \(CB′,\s\up6(---→)).


    ③与向量eq \(AB,\s\up6(→))相等的所有向量(除它自身之外)有eq \(A′B′,\s\up6(----→)),eq \(DC,\s\up6(→))及eq \(D′C′,\s\up6(----→)).


    ④向量eq \(AA′,\s\up6(---→))的相反向量有eq \(A′A,\s\up6(---→)),eq \(B′B,\s\up6(---→)),eq \(C′C,\s\up6(---→)),eq \(D′D,\s\up6(---→)).


    6. 解:eq \(OG,\s\up7(→))=eq \(OM,\s\up7(→))+eq \(MG,\s\up7(→))=eq \f(1,2)eq \(OA,\s\up7(→))+eq \f(2,3)eq \(MN,\s\up7(→))=eq \f(1,2)eq \(OA,\s\up7(→))+eq \f(2,3)(eq \(MA,\s\up7(→))+eq \(AB,\s\up7(→))+eq \(BN,\s\up7(→)))=eq \f(1,2)eq \(OA,\s\up7(→))+eq \f(2,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)\(OA,\s\up7(→))+\(OB,\s\up7(→))-\(OA,\s\up7(→))+\f(1,2)\(BC,\s\up7(→))))=eq \f(1,2)eq \(OA,\s\up7(→))+eq \f(2,3)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\(OB,\s\up7(→))-\f(1,2)\(OA,\s\up7(→))+\f(1,2)(\(OC,\s\up7(→))-\(OB,\s\up7(→)))))=eq \f(1,6)eq \(OA,\s\up7(→))+eq \f(1,3)eq \(OB,\s\up7(→))+eq \f(1,3)eq \(OC,\s\up7(→))=eq \f(1,6)a+eq \f(1,3)b+eq \f(1,3)c.


    7、 解:∵E,H分别是AB,AD的中点,


    ∴eq \(AE,\s\up7(→))=eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up7(→)),eq \(AH,\s\up7(→))=eq \f(1,2)eq \(AD,\s\up7(→)),


    则eq \(EH,\s\up7(→))=eq \(AH,\s\up7(→))-eq \(AE,\s\up7(→))=eq \f(1,2)eq \(AD,\s\up7(→))-eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up7(→))=eq \f(1,2)eq \(BD,\s\up7(→))=eq \f(1,2)(eq \(CD,\s\up7(→))-eq \(CB,\s\up7(→)))=eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)\(CG,\s\up7(→))-\f(3,2)\(CF,\s\up7(→))))=eq \f(3,4)(eq \(CG,\s\up7(→))-eq \(CF,\s\up7(→)))=eq \f(3,4)eq \(FG,\s\up7(→)),


    ∴eq \(EH,\s\up7(→))∥eq \(FG,\s\up7(→))且|eq \(EH,\s\up7(→))|=eq \f(3,4)|eq \(FG,\s\up7(→))|≠|eq \(FG,\s\up7(→))|.


    又F不在直线EH上,


    ∴四边形EFGH是梯形.


    8、解:如图:





    (1)由已知,得eq \(OA,\s\up7(→))+eq \(OB,\s\up7(→))+eq \(OC,\s\up7(→))=3eq \(OM,\s\up7(→)),∴eq \(OA,\s\up7(→))-eq \(OM,\s\up7(→))=(eq \(OM,\s\up7(→))-eq \(OB,\s\up7(→)))+(eq \(OM,\s\up7(→))-eq \(OC,\s\up7(→))),∴eq \(MA,\s\up7(→))=eq \(BM,\s\up7(→))+eq \(CM,\s\up7(→))=-eq \(MB,\s\up7(→))-eq \(MC,\s\up7(→)).∴向量eq \(MA,\s\up7(→)),eq \(MB,\s\up7(→)),eq \(MC,\s\up7(→))共面.


    (2)由(1)知,向量eq \(MA,\s\up7(→)),eq \(MB,\s\up7(→)),eq \(MC,\s\up7(→))共面,表明三个向量的有向线段又过同一点M,


    ∴M,A,B,C四点共面,∴点M在平面ABC内.








    名称
    定义
    空间向量
    在空间中,具有______和______的量叫做空间向量,向量的大小叫做向量的______
    单位向量
    长度或模为______的向量
    零向量
    ______的向量
    相等向量
    方向______且模______的向量
    相反向量
    ______相反且______相等的向量
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        1.1.1 空间向量及其线性运算同步检测
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