初中数学第一章 勾股定理综合与测试复习练习题

这是一份初中数学第一章 勾股定理综合与测试复习练习题，共14页。试卷主要包含了如图等内容，欢迎下载使用。

满分：120分


姓名：___________班级：___________考号：___________


一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）


1．以下各组数为三角形的三条边长，其中不能构成直角三角形的是（ ）


A．3，4，5B．6，8，10C．1，1，2D．5，12，13


2．如图，以直角三角形的一条直角边和斜边为一边作正方形M和N，它们的面积分别为9cm2和25cm2，则直角三角形的面积为（ ）





A．6cm2B．12cm2C．24cm2D．3cm2


3．在一个直角三角形中，两直角边长分别为a，b，斜边为c，那么（ ）


A．a2+b2＞c2B．a2+b2＜c2C．a2+b2＝c2D．a2+b2≠c2


4．甲乙两艘客轮同时离开港口，航行的速度都是每分钟40m，甲客轮用15分钟到达点A，乙客轮用20分钟到达点B，若A、B两点的直线距离为1000m，甲客轮沿着北偏东30°的方向航行，则乙客轮的航行方向可能是（ ）


A．南偏东60°B．南偏西60°C．北偏西30°D．南偏西30°


5．如图，一架云梯25米，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7米，如果梯子的顶端下滑4米，那么梯子的底部在水平方向上滑动了（ ）





A．4米B．6米C．8米D．10米


6．如图：一个长、宽、高分别为4cm、3cm、12cm的长方体盒子能容下的最长木棒长为（ ）





A．11cmB．12cmC．13cmD．14cm


7．如图：在△ABC中，CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，且EF∥BC交AC于M，若CM＝5，则CE2+CF2等于（ ）





A．75B．100C．120D．125


8．如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，BF平分∠ABC交AD于点E，交AC于点F，AC＝13，AD＝12，BC＝14，则AE的长等于（ ）





A．5B．6C．7D．


9．△ABC中，AB＝17，AC＝10，高AD＝8，则△ABC的周长是（ ）


A．54B．44C．36或48D．54或33


10．如图是一个6×6的正方形网格，每个小正方形的顶点都是格点，Rt△ABC的顶点都是图中的格点，其中点A、点B的位置如图所示，则点C可能的位置共有（ ）





A．9个B．8个C．7个D．6个


二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分）


11．已知△ABC的三边的长分别是AB＝5、BC＝4、AC＝3，那么∠C＝ ．


12．在Rt△ABC中，斜边BC＝10，则AB2+AC2的值是 ．


13．如图，每个小正方形的边长都为1，则△ABC的三边长a，b，c的大小关系是 （用“＞”连接）．





14．已知一个三角形工件尺寸（单位dm）如图所示，则高h＝ dm．





15．如图，它是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形，如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的较短的直角边长为a，较长的直角边长为b，那么a+b的值为 ．





16．如图所示，已知△ABC中，∠B＝90°，BC＝16cm，AC＝20cm，点P是△ABC边上的一个动点，点P从点A开始沿A→B→C→A方向运动，且速度为每秒4cm，设出发的时间为t（s），当点P在边CA上运动时，若△ABP为等腰三角形，则运动时间t＝ ．





三．解答题（共8小题，满分66分）


17．（7分）如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，BC＝6，AC＝8，AB＝10．求CD的长．





18．（7分）如图，在四边形ABCD中，AB＝13，BC＝3，CD＝4，DA＝12，∠ADB＝90°，求四边形ABCD的面积．








19．（8分）在△ABC中，已知∠C＝90°，a：b＝3：4，c＝20，求：


（1）a、b的值；


（2）S△ABC．








20．（8分）如图，每个小正方形的边长为1．


（1）求BC与CD的长；


（2）求证：∠BCD＝90°．





21．（8分）八年级（2）班的小明和小亮同学学了“勾股定理”之后，为了测得图中风筝的高度CE，他们进行了如下操作：


①测得BD的长为15米（注：BD⊥CE）；


②根据手中剩余线的长度计算出风筝线BC的长为25米；


③牵线放风筝的小明身高1.6米．


（1）求风筝的高度CE．


（2）过点D作DH⊥BC，垂足为H，求BH、DH．





22．（8分）已知：整式A＝（n2﹣1）2+（2n）2，整式B＞0．尝试化简整式A．发现A＝B2．求整式B．


联想由上可知，B2＝（n2﹣1）2+（2n）2，当n＞1时，n2﹣1，2n，B为直角三角形的三边长，如图，填写下表中B的值；





23．（8分）阅读下列内容：设a，b，c是一个三角形的三条边的长，且a是最长边，我们可以利用a，b，c三条边长度之间的关系来判断这个三角形的形状：①若a2＝b2+c2，则该三角形是直角三角形；②若a2＞b2+c2，则该三角形是钝角三角形；③若a2＜b2+c2，则该三角形是锐角三角形．例如：若一个三角形的三边长分别是4，5，6，则最长边是6，62＝36＜42+52，故由③可知该三角形是锐角三角形，请解答以下问题：


（1）若一个三角形的三边长分别是7，8，9，则该三角形是 三角形．


（2）若一个三角形的三边长分别是5，12，x，且这个三角形是直角三角形，求x的值．





24．（12分）观察、思考与验证


（1）如图1是一个重要公式的几何解释，请你写出这个公式 ；


（2）如图2所示，∠B＝∠D＝90°，且B，C，D在同一直线上．试说明：∠ACE＝90°；


（3）伽菲尔德（1881年任美国第20届总统）利用（1）中的公式和图2证明了勾股定理（发表在1876年4月1日的《新英格兰教育日志》上），请你写出验证过程．








参考答案


一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）


1．解：A、32+42＝52，能组成直角三角形，故此选项错误；


B、62+82＝102，能组成直角三角形，故此选项错误；


C、12+12≠22，不能组成直角三角形，故此选项正确；


D、52+122＝132，能组成直角三角形，故此选项错误；


故选：C．


2．解：根据勾股定理可得直角三角形的另一边长为：＝4（厘米），


可得这个直角三角形的面积为：×4＝6（平方厘米）．


故选：A．


3．解：∵在Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＝b，AB＝c，BC＝a，





∴由勾股定理得：


a2+b2＝c2，


故选：C．


4．解：如图：





∵甲乙两艘客轮同时离开港口，航行的速度都是每分钟40m，甲客轮用15分钟到达点A，乙客轮用20分钟到达点B，


∴甲客轮走了40×15＝600（m），乙客轮走了40×20＝800（m），


∵A、B两点的直线距离为1000m，


∴6002+8002＝10002，


∴∠AOB＝90°，


∵甲客轮沿着北偏东30°的方向航行，


∴乙客轮沿着南偏东60°的方向航行，


故选：A．


5．解：由题意知AB＝DE＝25米，BC＝7米，AD＝4米，


∵在直角△ABC中，AC为直角边，


∴AC＝＝24米，


已知AD＝4米，则CD＝24﹣4＝20（米），


∵在直角△CDE中，CE为直角边


∴CE＝＝15（米），


BE＝15米﹣7米＝8米．


故选：C．





6．解：∵侧面对角线BC2＝32+42＝52，


∴CB＝5m，


∵AC＝12m，


∴AB＝＝13（m），


∴空木箱能放的最大长度为13m，


故选：C．





7．解：∵CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，


∴∠ACE＝∠ACB，∠ACF＝∠ACD，即∠ECF＝（∠ACB+∠ACD）＝90°，


∴△EFC为直角三角形，


又∵EF∥BC，CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，


∴∠ECB＝∠MEC＝∠ECM，∠DCF＝∠CFM＝∠MCF，


∴CM＝EM＝MF＝5，EF＝10，


由勾股定理可知CE2+CF2＝EF2＝100．


故选：B．


8．解：∵AD⊥BC，





∴∠ADC＝∠ADB＝90°，


∵AD＝12，AC＝13，


∴DC＝＝＝5，


∵BC＝14，


∴BD＝14﹣5＝9，


由勾股定理得：AB＝＝15，


过点E作EG⊥AB于G，


∵BF平分∠ABC，AD⊥BC，


∴EG＝ED，


在Rt△BDE和Rt△BGE中，


∵，


∴Rt△BDE≌Rt△BGE（HL），


∴BG＝BD＝9，


∴AG＝15﹣9＝6，


设AE＝x，则ED＝12﹣x，


∴EG＝12﹣x，


Rt△AGE中，x2＝62+（12﹣x）2，


x＝，


∴AE＝．


故选：D．


9．解：分两种情况：


①如图1所示：





∵AD是BC边上的高，


∴∠ADB＝∠ADC＝90°，


∴BD＝＝＝15，CD＝＝＝6，


∴BC＝BD+CD＝15+6＝21；


此时，△ABC的周长为：AB+BC+AC＝17+10+21＝48．


②如图2所示：





同①得：BD＝15，CD＝6，


∴BC＝BD﹣CD＝15﹣6＝9；


此时，△ABC的周长为：AB+BC+AC＝17+10+9＝36．


综上所述：△ABC的周长为48或36．


故选：C．


10．解：如图所示：


，


共9个点，


故选：A．


二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分）


11．解：∵△ABC中，AB＝5、BC＝4、AC＝3，


∴AB2＝BC2+AC2，


∴△ABC是直角三角形，


∴∠C＝90°．


故答案为：90°．


12．解：在Rt△ABC中，∵斜边BC＝10，


∴AB2+AC2＝BC2＝100，


故答案是：100．


13．解：由勾股定理可得：a＝，b＝，c＝，


∴c＞a＞b．


故答案为：c＞a＞b．


14．解：


过点A作AD⊥BC于点D，则AD＝h，


∵AB＝AC＝5dm，BC＝6dm，


∴AD是BC的垂直平分线，


∴BD＝BC＝3dm．


在Rt△ABD中，


AD＝dm，即h＝4（dm）．


答：h的长为4dm．


故答案为：4．


15．解：根据勾股定理可得a2+b2＝13，


四个直角三角形的面积是：ab×4＝13﹣1＝12，即：2ab＝12，


则（a+b）2＝a2+2ab+b2＝13+12＝25，


则a+b＝5．


故答案为：5．


16．解：如图，过点B作BH⊥AC于H．





∵∠ABC＝90°，AC＝20，BC＝16，


∴AB＝＝＝12，


∵BH⊥AC，


∴S△ABC＝•AC•BH＝•AB•BC，


∴BH＝＝，


∴AH＝＝＝，


当BA＝BP1时，AH＝HP1＝，


∴AB+BC+AP1＝20+16+12﹣＝，


此时t＝，


当AB＝AP2时，AB+BC+CP2＝20+16+12﹣12＝36，


此时t＝9，


当AP3＝BP3时，AB+BC+CP3＝20+16+12﹣10＝38，


此时t＝，


综上所述，满足条件的t的值为或9或．


三．解答题（共8小题，满分66分）


17．解：∵在△ABC中，BC＝6，AC＝8，AB＝10，


∴BC2+AC2＝AB2，


∴∠ACB＝90°，


∵由三角形的面积公式得：AC×BC＝AB×CD，


∴6×8＝10×CD，


解得：CD＝4.8．


18．解：在Rt△ABD中，BD2＝AB2﹣AD2，


∴BD2＝132﹣122＝25，


又∵BC2+CD2＝32+42＝25，


∴BC2+CD2＝BD2，


∴∠BCD＝90°，


∴．


19．解：（1）如图所示：


∵a：b＝3：4，


∴设a＝3x，b＝4x，


由勾股定理得：c＝5x，


∵c＝20，


∴5x＝20，


解得：x＝4，


∴a＝12，b＝16；





（2）S△ABC＝×12×16＝96．





20．解：（1）由题意可知，BC＝CD＝＝；





（2）证明：连接BD．


∵BD＝＝，BC＝CD＝；


∴BC2+CD2＝BD2，


∴△BCD是直角三角形，


即∠BCD＝90°．





21．解：（1）在Rt△CDB中，由勾股定理，得（米）．


所以CE＝CD+DE＝20+1.6＝21.6（米）；


（2）由得，


在Rt△BHD中，．


22．解：A＝（n2﹣1）2+（2n）2＝n4﹣2n2+1+4n2＝n4+2n2+1＝（n2+1）2，


∵A＝B2，B＞0，


∴B＝n2+1，


当2n＝8时，n＝4，∴n2﹣1＝42﹣1＝15，n2+1＝42+1＝17；


当n2﹣1＝35时，n＝±6（负值舍去），∴2n＝2×6＝12，n2+1＝37．


故答案为：15，17；12，37．


23．解：（1）∵72+82＝113，92＝81，


∴92＜72+82，


∴该三角形是锐角三角形，


故答案为：锐角；





（2）当最长边是12时，x＝＝；


当最长边是x时，x＝＝13，


即x＝13或．


24．（1）解：这个公式是完全平方公式：（a+b）2＝a2+2ab+b2；理由如下：


∵大正方形的边长为a+b，


∴大正方形的面积＝（a+b）2，


又∵大正方形的面积＝两个小正方形的面积+两个矩形的面积＝a2+b2+ab+ab＝a2+2ab+b2，


∴（a+b）2＝a2+2ab+b2；


故答案为：（a+b）2＝a2+2ab+b2；


（2）证明：∵△ABC≌△CDE，


∴∠BAC＝∠DCE，


∵∠ACB+∠BAC＝90°，


∴∠ACB+∠DCE＝90°，


∴∠ACE＝90°；


（3）证明：∵∠B＝∠D＝90°，


∴∠B+∠D＝180°，


∴AB∥DE，即四边形ABDE是梯形，


∴四边形ABDE的面积＝（a+b）（a+b）＝ab+c2+ab，


整理得：a2+b2＝c2．





题号
一
二
三
总分
得分
直角三角形三边
n2﹣1
2n
B
勾股数组Ⅰ

8

勾股数组Ⅱ
35


直角三角形三边
n2﹣1
2n
B
勾股数组Ⅰ
15
8
17
勾股数组Ⅱ
35
12
37