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    数学选择性必修一2.2.3 直线的一般式方程教案
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    人教A版 (2019)2.2 直线的方程获奖教学设计

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    这是一份人教A版 (2019)2.2 直线的方程获奖教学设计,共13页。教案主要包含了教学分析,教学目标,重难点,准备,教学过程,教学反思等内容,欢迎下载使用。

    一、教学分析


    直线的一般式方程是直线的点斜式,斜截式,两点式,截距式方程的综合表示形式,与前面学习的其他形式的直线方程的一个不同点是:直线的一般式方程能够表示平面上的所有直线,而点斜式、斜截式、两点式方程,都不能表示与x轴垂直的直线.通过研究直线方程的几种形式,指出它们都是关于x,y的二元一次方程,然后从两个方面进一步研究直线和二元一次方程的关系,使学生明确一个重要事实:在平面直角坐标系中,任何一条直线的方,可以写成关于x,y的一元二次方程;反过来,任何一个关于x,y的一次方程都表示一条直线,为以后继续学习“曲线和方程”打下基础.


    本节内容是本章的基础内容,也是本章的重点内容,对前面学习两直线位置关系的判定提供了必要的基础支持,也是后面要学习的两直线的交点、点到直线的距离、两平行线间的距离等知识的必需形式.大纲把教学目标定位在“掌握直线的一般方程”,属于较高层次的要求.本节课注重综合分析归纳,是高中数学教学的重要方面.


    二、教学目标





    三、重难点


    1.教学重点:了解二元一次方程与直线的对应关系,掌握直线的一般形式


    2.教学难点:能根据所给条件求直线方程,并能在几种形式间相互转化





    四、准备


    多媒体


    五、教学过程
































    六、教学反思


    通过复习回顾已经学习过的四种直线方程的表示形式,找出其其局限性,思考是否存在一种更为完美的代数形式可以表示平面中的所有直线?学生探究“平面直角坐标系中的每一条直线都可以用一个关于x、y的二元一次方程表示吗?”引导学生分类讨论,使学生对直线方程的一般式有了更深入的理解。通过小组合作自我探究,以及例题和练习题的讲解,深入理解直线方程几种形式之间的内在联系,能在整体上把握直线方程.本节课以学生为主体,围绕学生展开教学,在教学过程中,自始至终让学生唱主角,使学生变被动学习为主动学习,让学生成为学习的主人,教师成为学习的引路人。大部分内容都是安排学生讨论,并适当增加练习,使学生能更好地掌握直线方程,而不是仅停留在观念上。本课通过“创设情境,提出问题,激发兴趣→新知引入→新知探究→当堂反馈→归纳总结→课后作业”的过程从而完成教学目标。


    课程目标
    学科素养
    A. 了解直线的一般式方程的形式特征,理解直线的一般式方程与二元一次方程的关系;


    2.能正确地进行直线的一般式方程与特殊形式的方程的转化;


    3.能运用直线的一般式方程解决有关问题.



    1.数学抽象:一般式方程与二元一次方程的关系


    2.逻辑推理:直线的一般式方程与特殊形式的方程的转化


    3.数学运算:运用直线的一般式方程解决有关问题


    4.直观想象:直线与方程的关系
    教学过程
    教学设计意图


    核心素养目标
    一、问题导学


    问题:由下列各条件,写出直线的方程,并画出图形.


    (1)斜率是1,经过点A(1,8);


    (2)在x轴和y轴上的截距分别是-7,7;


    (3)经过两点P1(-1,6),P2(2,9);


    (4)在y轴上的截距是7,倾斜角是45°.


    (1)y-8=x-1;(2)x-7+y7=1;(3)y-69-6=x+12+1;(4)y=x+7.如果我们画出这4条


    直线的图象,你会惊奇地发现:这4条直线是重合的.事实上,它们的方程都可以化简为x-y+7=0.这样前几种直线方程就有了统一的形式,这就是本节我们要学习的直线的一般式方程.





    同学们,根据前面我们学习的直线方程形式,分别利用点斜式、截距式、两点式和斜截式,可得到四种情况下的直线方程分别为


    二、探究新知


    1.直线的一般式方程


    (1).在平面直角坐标系中,对于任何一条直线,都有一个表示这条直线的关于x,y的_____________;任何关于x,y的二元一次方程都表示________.方程_____________________________________叫做直线方程的一般式.


    二元一次方程; 一条直线; Ax+By+C=0(其中A、B不同时为0)


    (2).直线一般式方程的结构特征


    ①方程是关于x,y的二元一次方程.


    ②方程中等号的左侧自左向右一般按x,y常数的先后顺序排列.


    ③x的系数一般不为分数和负数.


    ④虽然直线方程的一般式有三个参数,但只需两个独立的条件即可求得直线的方程.


    2.直线的一般式方程与其他形式的互化








    1.在方程Ax+By+C=0(A,B不同时为零)中,A,B,C为何值时,方程表示的直线


    (1)平行于x轴;(2)平行于y轴;(3)与x轴重合;(4)与y轴重合.


    答案:当A=0时,方程变为y=-CB,当C≠0时表示的直线平行于x轴,当C=0时与x轴重合;当B=0时,方程变为x=-CA,当C≠0时表示的直线平行于y轴,当C=0时与y轴重合.


    2.直线方程2x+3y+1=0化为斜截式为 ;


    化为截距式为 .


    解析:方程化为3y=-2x-1,则y=-23x-13;


    方程化为2x+3y=-1,得-2x-3y=1,即x-12+y-13=1.


    答案:y=-23x-13; x-12+y-13=1


    3.两条直线的位置关系





    3.判断下列两组直线是否平行或垂直:


    (1)x+2y-7=0; 2x+4y-7=0.


    (2)4x-y+3=0, 3x+12y-11=0.


    解:(1)∵1×4-2×2=0且2×(-7)-4×(-7)≠0,∴两直线平行.


    (2)∵4×3+(-1)×12=0,∴两直线垂直.





    三、典例解析


    例1 根据下列条件分别写出直线的方程,并化为一般式方程.


    (1)斜率是3,且经过点A(5,3);


    (2)斜率为4,在y轴上的截距为-2;


    (3)经过A(-1,5),B(2,-1)两点;


    (4)在x轴、y轴上的截距分别是-3,-1.


    思路分析:先选择合适的形式将直线方程写出来,再化为一般式.


    解:(1)由点斜式方程可知,所求直线方程为y-3=3(x-5),化为一般式方程为3x-y+3-53=0.


    (2)由斜截式方程可知,所求直线方程为y=4x-2,


    化为一般式方程为4x-y-2=0.


    (3)由两点式方程可知,


    所求直线方程为y-5-1-5=x-(-1)2-(-1),


    化为一般式方程为2x+y-3=0.


    (4)由截距式方程可得,所求直线方程为x-3+y-1=1,化为一般式方程为x+3y+3=0.


    直线的一般式方程的特征


    求直线方程时,要求将方程化为一般式方程,其形式一般作如下设定:x的系数为正;系数及常数项一般不出现分数;一般按含x项、含y项、常数项的顺序排列.





    跟踪训练1 根据下列各条件写出直线的方程,并化成一般式.


    (1)斜率是-12,经过点A(8,-2);


    (2)经过点B(4,2),且平行于x轴;


    (3)在x轴和y轴上的截距分别是32,-3;


    (4)经过两点P1(3,-2),P2(5,-4).


    解:(1)由点斜式方程,得y-(-2)=-12(x-8),即x+2y-4=0.


    (2)由点斜式方程,得y-2=0.


    (3)由截距式方程,得x32+y-3=1,即2x-y-3=0.


    (4)由两点式方程,得y-(-2)-4-(-2)=x-35-3,即x+y-1=0.


    【例2】 (1)已知直线l1:2x+(m+1)y+4=0与直线l2:mx+3y-2=0平行,求实数m的值;


    (2)已知直线l1:(a+2)x+(1-a)y-1=0与直线l2:(a-1)x+(2a+3)y+2=0垂直,求实数a的值.


    思路分析:利用在一般式方程下,两直线平行或垂直的条件求解.解:(1)由2×3-m(m+1)=0,得m=-3或m=2.


    当m=-3时,l1:x-y+2=0,l2:3x-3y+2=0,


    显然l1与l2不重合,∴l1∥l2.


    同理,当m=2时,l1:2x+3y+4=0,l2:2x+3y-2=0,l1与l2不重合,l1∥l2,


    故m的值为2或-3.


    (2)由直线l1⊥l2,得(a+2)(a-1)+(1-a)(2a+3)=0,解得a=±1.


    故当a=1或a=-1时,直线l1⊥l2.


    延伸探究已知点A(2,2)和直线l:3x+4y-20=0.


    求:(1)过点A和直线l平行的直线方程;


    (2)过点A和直线l垂直的直线方程.


    解:(1)将与直线l平行的直线方程设为3x+4y+C1=0,


    又过点A(2,2),所以3×2+4×2+C1=0,所以C1=-14.


    所求直线方程为3x+4y-14=0.


    (2)将与l垂直的直线方程设为4x-3y+C2=0,


    又过点A(2,2),所以4×2-3×2+C2=0,所以C2=-2,


    所以直线方程为4x-3y-2=0.


    1.利用一般式解决直线平行与垂直问题的策略


    直线l1:A1x+B1y+C1=0,直线l2:A2x+B2y+C2=0,


    (1)若l1∥l2⇔A1B2-A2B1=0且B1C2-B2C1≠0(或A1C2-A2C1≠0).


    (2)若l1⊥l2⇔A1A2+B1B2=0.


    2.与已知直线平行(垂直)的直线方程的求法


    (1)与直线Ax+By+C=0平行的直线方程可设为Ax+By+m=0(m≠C).


    (2)与直线Ax+By+C=0垂直的直线方程可设为Bx-Ay+m=0.


    跟踪训练 2 已知直线l的方程为3x+4y-12=0,求直线l'的方程,l'满足


    (1)过点(-1,3),且与l平行;


    (2)过点(-1,3),且与l垂直.


    思路分析:可先求斜率,再利用点斜式方程求解;也可利用平行、垂直直线系方程,利用待定系数法求解.


    解:(方法1)由题设l的方程可化为y=-34x+3,∴l的斜率为-34.


    (1)∵直线l'与l平行,∴l'的斜率为-34.


    又∵直线l'过(-1,3),由点斜式知方程为y-3=-34(x+1),即3x+4y-9=0.


    (2)由l'与l垂直,∴l'的斜率为43,


    又过(-1,3),由点斜式可得方程为y-3=43(x+1),即4x-3y+13=0.


    (方法2)(1)由l'与l平行,可设l'方程为3x+4y+m=0.


    将点(-1,3)代入上式得m=-9.∴所求直线方程为3x+4y-9=0.


    (2)由l'与l垂直,可设其方程为4x-3y+n=0.将(-1,3)代入上式得n=13.


    ∴所求直线方程为4x-3y+13=0.


    金题典例 (1)设直线l的方程为(a-1)x+y-2-a=0(a∈R).若直线l不过第三象限,则a的取值范围为________.


    (2)设直线l的方程为2x+(k-3)y-2k+6=0(k≠3),根据下列条件分别确定k的值:


    ①直线l的斜率为-1;


    ②直线l在x轴,y轴上的截距之和等于0.


    解析:(1)[1,+∞)


    把直线l化成斜截式,得y=(1-a)x+a+2,因为直线l不过第三象限,该直线的斜率小于等于零,且直线在y轴上的截距大于等于零.


    即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1-a≤0,,a+2≥0,))解得a≥1. 所以a的取值范围为[1,+∞).


    (2)①因为直线l的斜率存在,


    所以直线l的方程可化为y=-eq \f(2,k-3)x+2.由题意得-eq \f(2,k-3)=-1,解得k=5.


    ②直线l的方程可化为eq \f(x,k-3)+eq \f(y,2)=1.由题意得k-3+2=0,解得k=1.


    变式探究:1.典例(1)中若将方程改为“x+(a-1)y-2-a=0(a∈R)”,其他条件不变,又如何求解?


    [解] (1)当a-1=0,即a=1时,直线为x=3,该直线不过第三象限,符合.


    (2)当a-1≠0,即a≠1时,直线化为斜截式方程为y=eq \f(1,1-a)x-eq \f(2+a,1-a),因为直线l不过第三象限,故该直线的斜率小于等于零,且直线在y轴上的截距大于等于零.


    即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(1,1-a)≤0,,-\f(2+a,1-a)≥0,))解得a>1.


    由(1)(2)可知a≥1.


    2.若典例(1)中的方程不变,当a取何值时,直线不过第二象限?


    [解] 把直线l化成斜截式,得y=(1-a)x+a+2,因为直线l不过第二象限,故该直线的斜率大于等于零,且直线在y轴上的截距小于等于零.即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1-a≥0,,a+2≤0,))解得a≤-2.


    直线恒过定点的求解策略


    1将方程化为点斜式,求得定点的坐标.


    2将方程变形,把x,y作为参数的系数,因为此式子对任意的参数的值都成立,故需系数为零,解方程组可得x,y的值,即为直线过的定点.












    通过求解4个条件下的直线方程,体会不同直线方程的适用条件,及时提出问题,让学生体会学习直线方程一般式的必要性。





















































    理解直线一般式的方程特点,能进行直线方程间的互化。发展学生逻辑推理,直观想象、数学抽象和数学运算的核心素养。





































































































    通过典型例题的分析和解决,让学生加深对直线一般式的理解和应用。发展学生数学抽象、直观想象、逻辑推理的核心素养。



























































    通过典例解析,进一步灵活运用直线一般式,并能合理选择直线的方程形式,解决相关问题。
    三、达标检测


    1.思考辨析


    (1)二元一次方程Ax+By+C=0(A,B不同时为0)可表示平面内的任何一条直线.( )


    (2)当C=0时,方程Ax+By+C=0(A、B不同时为0)表示的直线过原点.( )


    (3)当B=0,A≠0时,方程Ax+By+C=0表示的直线与y轴平行.( )


    (4)任何一条直线的一般式方程都能与其他四种形式互化.( )


    答案 (1)√ (2)√ (3)× 当C=0时,直线与y轴重合.


    (4)× 当直线与坐标轴平行或重合时,不能转化为截距式或斜截式.


    2.两直线ax-by-1=0(ab≠0)与bx-ay-1=0(ab≠0)的图象可能是图中的哪一个( )








    解析:当a<0,b>0时,直线ax-by=1在x轴上的截距1a<0,在y轴上的截距-1b<0;bx-ay=1在x轴上的截距1b>0,在y轴上的截距-1a>0.只有B满足.故选B.


    答案:B


    3.过点(1,0)且与直线x-2y-2=0平行的直线方程是( )


    A.x-2y-1=0 B.x-2y+1=0


    C.2x+y=2=0 D.x+2y-1=0


    答案A


    解析:设所求直线方程为x-2y+c=0,把点(1,0)代入可求得c=-1.


    所以所求直线方程为x-2y-1=0.故选A.


    4.已知两条直线y=ax-2和3x-(a+2)y+1=0互相平行,则a=________.


    答案:1或-3


    解析:依题意得:a(a+2)=3×1,解得a=1或a=-3.


    5.若方程(m2-3m+2)x+(m-2)y-2m+5=0表示直线.


    (1)求实数m的范围;


    (2)若该直线的斜率k=1,求实数m的值.


    解析: (1)由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m2-3m+2=0,,m-2=0,))解得m=2,


    若方程表示直线,则m2-3m+2与m-2不能同时为0,故m≠2.


    (2)由-eq \f(m2-3m+2,m-2)=1,解得m=0.



    通过练习巩固本节所学知识,通过学生解决问题,发展学生的数学运算、逻辑推理、直观想象、数学建模的核心素养。












    四、小结





    五、课时练



    通过总结,让学生进一步巩固本节所学内容,提高概括能力。
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