选择性必修 第一册第三章 圆锥曲线的方程3.3 抛物线学案

这是一份选择性必修 第一册第三章 圆锥曲线的方程3.3 抛物线学案，共4页。

抛物线的几何性质


LISTNUM OutlineDefault \l 3 若直线y=2x＋eq \f(p,2)与抛物线x2=2py(p>0)相交于A，B两点，则|AB|等于( )


A.5p B.10p C.11p D.12p








LISTNUM OutlineDefault \l 3 过点(1,0)作斜率为－2的直线，与抛物线y2=8x交于A，B两点，则弦AB的长为( )


A.2eq \r(13) B.2eq \r(15) C.2eq \r(17) D.2eq \r(19)








LISTNUM OutlineDefault \l 3 过点(0,1)作直线，使它与抛物线y2=2x仅有一个公共点，这样的直线有( )


A.1条 B.2条 C.3条 D.4条








LISTNUM OutlineDefault \l 3 设M(x0，y0)为抛物线C：x2=8y上一点，F为抛物线C的焦点，以F为圆心、|FM|为半径的圆和抛物线C的准线相交，则y0的取值范围是( )


A.(0,2) B.[0,2] C.(2，＋∞) D.[2，＋∞)





LISTNUM OutlineDefault \l 3 抛物线y2=2x上的两点A，B到焦点的距离之和是5，则线段AB的中点到y轴的距离是________.





LISTNUM OutlineDefault \l 3 过点(0,1)且与抛物线y2=4x只有一个公共点的直线有________条.





LISTNUM OutlineDefault \l 3 已知直线l过抛物线C的焦点，且与C的对称轴垂直，l与C交于A，B两点，|AB|=12，P为C的准线上一点，则△ABP的面积为________.





LISTNUM OutlineDefault \l 3 已知点A(2,0)，抛物线C：x2=4y的焦点为F，射线FA与抛物线C相交于点M，与其准线相交于点N，则FM∶MN=________.





LISTNUM OutlineDefault \l 3 已知抛物线y2=－x与直线l：y=k(x＋1)相交于A，B两点.


(1)求证：OA⊥OB；


(2)当△OAB的面积等于eq \r(10)时，求k的值.















































LISTNUM OutlineDefault \l 3 已知抛物线y2=2x.


(1)设点A的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)，0))，求抛物线上距离点A最近的点P的坐标及相应的距离|PA|；


(2)在抛物线上求一点P，使P到直线x－y＋3=0的距离最短，并求出距离的最小值.


















































答案解析


LISTNUM OutlineDefault \l 3 \s 1 答案为：B；


解析：将直线方程代入抛物线方程，可得x2－4px－p2=0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，


则x1＋x2=4p，∴y1＋y2=9p.∵直线过抛物线的焦点，∴|AB|=y1＋y2＋p=10p.








LISTNUM OutlineDefault \l 3 答案为：B；


解析：不妨设A，B两点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，


由直线AB斜率为－2，且过点(1,0)得直线AB方程为y=－2(x－1)，


代入抛物线方程y2=8x得4(x－1)2=8x，整理得x2－4x＋1=0，


∴x1＋x2=4，x1x2=1，∴|AB|=eq \r(1＋k2|x1－x2|)=eq \r(5[x1＋x22－4x1x2])=2eq \r(15).








LISTNUM OutlineDefault \l 3 答案为：C；


解析：斜率不存在时，直线x=0符合题意，


斜率存在时，由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝kx＋1，,y2＝2x，))得k2x2＋(2k－2)x＋1=0，


k=0时，符合题意，k≠0时，由Δ=0得k=eq \f(1,2).








LISTNUM OutlineDefault \l 3 答案为：C；


解析：圆心到抛物线准线的距离为p，即4，根据已知只要|FM|>4即可.


根据抛物线定义，|FM|=y0＋2，由y0＋2>4，解得y0>2，故y0的取值范围是(2，＋∞).





LISTNUM OutlineDefault \l 3 答案为：2


解析：抛物线y2=2x的焦点为Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，0))，准线方程为x=－eq \f(1,2)，


设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AF＋BF=x1＋eq \f(1,2)＋x2＋eq \f(1,2)=5，解得x1＋x2=4，


故线段AB的中点横坐标为2.故线段AB的中点到y轴的距离是2.


LISTNUM OutlineDefault \l 3 答案为：3


解析：过点(0,1)，斜率不存在的直线为x=0，满足与抛物线y2=4x只有一个公共点.


当斜率存在时，设直线方程为y=kx＋1，再与y2=4x联立整理得k2x2＋(2k－4)x＋1=0，


当k=0时，方程是一次方程，有一个解，满足一个交点；


当k≠0时，由Δ=0可得k值有一个，即有一个公共点，


所以满足题意的直线有3条.


LISTNUM OutlineDefault \l 3 答案为：36


解析：设抛物线方程为y2=2px，则焦点坐标为(eq \f(p,2)，0)，


将x=eq \f(p,2)代入y2=2px可得y2=p2，|AB|=12，即2p=12，故p=6.


点P在准线上，到AB的距离为p=6，所以△PAB的面积为eq \f(1,2)×6×12=36.


LISTNUM OutlineDefault \l 3 答案为：1∶eq \r(5)；


解析：如图所示，，过点M作MM′垂直于准线y=－1于点M′，





则由抛物线的定义知MM′=FM，所以eq \f(FM,MN)=eq \f(MM′,MN)，


由于△MM′N∽△FOA，则eq \f(MM′,M′N)=eq \f(OF,OA)=eq \f(1,2)，则MM′∶MN=1∶eq \r(5)，即FM∶MN=1∶eq \r(5).


LISTNUM OutlineDefault \l 3 解：


(1)证明：易知k≠0，


联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y2＝－x，,y＝kx＋1，))消去x，得ky2＋y－k=0.


设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2=－eq \f(1,k)，y1·y2=－1.


因为yeq \\al(2,1)=－x1，yeq \\al(2,2)=－x2，所以(y1·y2)2=x1·x2，所以x1·x2=1，所以x1x2＋y1y2=0，


即eq \(OA,\s\up7(―→))·eq \(OB,\s\up7(―→))=0，所以OA⊥OB.


(2)设直线l与x轴的交点为N，则N的坐标为(－1,0)，


所以S△AOB=eq \f(1,2)|ON|·|y1－y2|=eq \f(1,2)×|ON|×eq \r(y1＋y22－4y1·y2)=eq \f(1,2)×1× eq \r(\f(1,k2)＋4)=eq \r(10)，


解得k2=eq \f(1,36)，所以k=±eq \f(1,6).








LISTNUM OutlineDefault \l 3 解：


(1)设抛物线上任一点P的坐标为(x，y)，


则|PA|2=eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(2,3)))2＋y2=eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(2,3)))2＋2x=eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,3)))2＋eq \f(1,3).


∵x≥0，且在此区间上函数单调递增，故当x=0时，


|PA|min=eq \f(2,3)，故距点A最近的点的坐标为(0,0).


(2)设点P(x0，y0)是y2=2x上任一点，


则P到直线x－y＋3=0的距离为d=eq \f(|x0－y0＋3|,\r(2))=eq \f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(y\\al(2,0),2)－y0＋3)),\r(2))=eq \f(|y0－12＋5|,2\r(2)).


当y0=1时，dmin=eq \f(5,2\r(2))=eq \f(5\r(2),4).


∴点P的坐标为(0.5,1).