人教A版 (2019)第三章 圆锥曲线的方程本章综合与测试导学案

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曲线与方程


LISTNUM OutlineDefault \l 3 已知θ是△ABC的一个内角，且sin θ＋cs θ=eq \f(3,4)，则方程x2sinθ－y2csθ=1表示( )


A．焦点在x轴上的双曲线 B．焦点在y轴上的双曲线


C．焦点在x轴上的椭圆 D．焦点在y轴上的椭圆








LISTNUM OutlineDefault \l 3 已知两定点A(－2,0)，B(1,0)，如果动点P满足|PA|=2|PB|，则点P的轨迹所围成的图形的面积等于( )


A.π B.4π C.8π D.9π








LISTNUM OutlineDefault \l 3 已知M(－2，0)，N(2，0)，则以MN为斜边的直角三角形的直角顶点P的轨迹方程为( )


A．x2＋y2=2 B．x2＋y2=4


C．x2＋y2=2(x≠±eq \r(2)) D．x2＋y2=4(x≠±2)








LISTNUM OutlineDefault \l 3 已知点P是直线2x-y+3=0上的一个动点,定点M(-1,2),Q是线段PM延长线上的一点,且|PM|=|MQ|,则Q点的轨迹方程是( )


A.2x+y+1=0 B.2x-y-5=0 C.2x-y-1=0 D.2x-y+5=0





LISTNUM OutlineDefault \l 3 若P(2，－3)在曲线x2－ay2=1上，则a的值为________.





LISTNUM OutlineDefault \l 3 若点M(m，m)在曲线x－y2=0上，则m的值为________.





LISTNUM OutlineDefault \l 3 在平面直角坐标系xOy中，若定点A(1,2)与动点P(x，y)满足eq \(OP,\s\up7(―→))·eq \(OA,\s\up7(―→))=4，则动点P的轨迹方程是________.





LISTNUM OutlineDefault \l 3 由动点P向圆x2＋y2=1引两条切线PA，PB，切点为A，B，∠APB=60°，则动点P轨迹方程为_______.





LISTNUM OutlineDefault \l 3 已知方程x2＋(y－1)2=10.


(1)判断P(1，－2)，Q(eq \r(2)，3)两点是否在此方程表示的曲线上；


(2)若点M(eq \f(m,2)，－m)在此方程表示的曲线上，求m的值.



































LISTNUM OutlineDefault \l 3 如图，过点P(2,4)作互相垂直的直线l1，l2.若l1交x轴于A，l2交y轴于B，求线段AB中点M的轨迹方程.



































答案解析


LISTNUM OutlineDefault \l 3 \s 1 答案为：D.


解析：因为(sin θ＋cs θ)2=1＋2sin θcs θ=eq \f(9,16)，所以sin θcs θ=－eq \f(7,32)＜0，


又sin θ＋cs θ=eq \f(3,4)＞0，所以sin θ＞－cs θ＞0，故eq \f(1,－cs θ)＞eq \f(1,sin θ)＞0，


而x2sin θ－y2cs θ=1可化为eq \f(y2,－\f(1,cs θ))＋eq \f(x2,\f(1,sin θ))=1，


故方程x2sin θ－y2cs θ=1表示焦点在y轴上的椭圆．








LISTNUM OutlineDefault \l 3 答案为：B；


解析：设P(x，y)，代入|PA|=2|PB|，得(x＋2)2＋y2=4[(x－1)2＋y2]，即(x－2)2＋y2=4，


所求的轨迹是以(2,0)为圆心，2为半径的圆.所以点P的轨迹所围成的图形的面积等于4π.








LISTNUM OutlineDefault \l 3 答案为：D.


解析：MN的中点为原点O，易知|OP|=eq \f(1,2)|MN|=2，∴P的轨迹是以原点O为圆心，2为半径的圆，


除去与x轴的两个交点，即P的轨迹方程为x2＋y2=4(x≠±2)，故选D.








LISTNUM OutlineDefault \l 3 答案为：D；解析：设Q(x,y),易得P(-2-x,4-y),代入2x-y+3=0,得2x-y+5=0.





LISTNUM OutlineDefault \l 3 答案为：eq \f(1,3)


解析：∵P(2，－3)在曲线x2－ay2=1上，∴4－9a=1，解得a=eq \f(1,3).


LISTNUM OutlineDefault \l 3 答案为：0或1


解析：∵点M在曲线x－y2=0上，∴m－m2=0，解得m=0或m=1.


LISTNUM OutlineDefault \l 3 答案为：x＋2y－4=0；


解析：由eq \(OP,\s\up7(―→))·eq \(OA,\s\up7(―→))=4得x·1＋y·2=4，因此所求轨迹方程为x＋2y－4=0.








LISTNUM OutlineDefault \l 3 答案为：x2＋y2=4；


解析：易求|PO|=2，故P点的轨迹方程为x2＋y2=4.





LISTNUM OutlineDefault \l 3 解：


(1)因为12＋(－2－1)2=10，而(eq \r(2))2＋(3－1)2≠10.


所以点P(1，－2)在方程表示的曲线上，


点Q(eq \r(2)，3)不在方程表示的曲线上.


(2)因为点Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(m,2)，－m))在方程x2＋(y－1)2=10表示的曲线上，


所以eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(m,2)))2＋(－m－1)2=10，解得m=2或m=－eq \f(18,5).


LISTNUM OutlineDefault \l 3 解：法一：设M(x，y)为所求轨迹上任一点，


∵M为AB中点，∴A(2x,0)，B(0,2y).


∵l1⊥l2，且l1，l2过点P(2,4)，


∴PA⊥PB.∴kPA·kPB=－1.


∵kPA=eq \f(4,2－2x)(x≠1)，kPB=eq \f(4－2y,2)，


∴eq \f(4,2－2x)·eq \f(4－2y,2)=－1，即x＋2y－5=0(x≠1).





当x=1时，A(2,0)，B(0,4).


此时AB中点M的坐标为(1,2)，


它也满足方程x＋2y－5=0，


∴所求点M的轨迹方程为x＋2y－5=0.


法二：设M(x，y)，则A(2x,0)，B(0,2y)，


∵l1⊥l2，∴△PAB为直角三角形，


∴|PM|=eq \f(1,2)|AB|.即eq \r(x－22＋y－42)=eq \f(1,2) eq \r(4x2＋4y2).


化简得x＋2y－5=0，


∴所求点M的轨迹方程为x＋2y－5=0.