高中人教A版 (2019)3.2 双曲线导学案
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双曲线的标准方程
LISTNUM OutlineDefault \l 3 双曲线eq \f(x2,m)-y2=1的焦点到渐近线的距离为( )
A.eq \r(2) B.eq \r(3) C.1 D.eq \f(1,2)
LISTNUM OutlineDefault \l 3 已知双曲线C:eq \f(y2,a2)-eq \f(x2,b2)=1(a>0,b>0)的渐近线方程为y=±eq \f(1,2)x,则双曲线C的离心率为( )
A.eq \f(\r(5),2) B.eq \r(5) C.eq \f(\r(6),2) D.eq \r(6)
LISTNUM OutlineDefault \l 3 已知双曲线C:eq \f(x2,a2)-eq \f(y2,b2)=1(a>0,b>0)的焦距为10,点P(2,1)在C的渐近线上,则C的方程为( )
A.eq \f(x2,20)-eq \f(y2,5)=1 B.eq \f(x2,5)-eq \f(y2,20)=1 C.eq \f(x2,80)-eq \f(y2,20)=1 D.eq \f(x2,20)-eq \f(y2,80)=1
LISTNUM OutlineDefault \l 3 已知F1,F2分别是双曲线eq \f(x2,a2)-eq \f(y2,b2)=1(a>0,b>0)的左、右焦点,P是双曲线上一点,若|PF1|+|PF2|=6a,且△PF1F2的最小内角为eq \f(π,6),则双曲线的渐近线方程为( )
A.y=±2x B.y=±eq \f(1,2)x C.y=±eq \f(\r(2),2)x D.y=±eq \r(2)x
LISTNUM OutlineDefault \l 3 双曲线eq \f(x2,25)-eq \f(y2,24)=1上的点P到一个焦点的距离为11,则它到另一个焦点的距离为________.
LISTNUM OutlineDefault \l 3 已知椭圆eq \f(x2,4)+eq \f(y2,a2)=1与双曲线eq \f(x2,a)-eq \f(y2,2)=1有相同的焦点,则实数a=________.
LISTNUM OutlineDefault \l 3 已知双曲线C:eq \f(x2,a2)-eq \f(y2,b2)=1(a>0,b>0)的离心率e=2,且它的一个顶点到相应焦点的距离为1,则双曲线C的方程为________.
LISTNUM OutlineDefault \l 3 已知双曲线eq \f(x2,a2)-eq \f(y2,2)=1(a>0)和抛物线y2=8x有相同的焦点,则双曲线的离心率为________.
LISTNUM OutlineDefault \l 3 求适合下列条件的双曲线的标准方程:
(1)以椭圆eq \f(x2,25)+eq \f(y2,9)=1的长轴端点为焦点,且经过点P(5,eq \f(9,4));
(2)过点P1(3,-4 eq \r(2)),P2(eq \f(9,4),5).
LISTNUM OutlineDefault \l 3 如图,在△ABC中,已知|AB|=4 eq \r(2),且三内角A,B,C满足2sin A+sin C=2sin B,建立适当的坐标系,求顶点C的轨迹方程.
答案解析
LISTNUM OutlineDefault \l 3 \s 1 答案为:C;
解析:焦点F(eq \r(m+1),0)到渐近线x±eq \r(m)y=0的距离d=eq \f(|\r(m+1)±0|,\r(1+\r(m)2))=1,故选C.
LISTNUM OutlineDefault \l 3 答案为:B
解析:由题意可得eq \f(a,b)=eq \f(1,2),则离心率e=eq \f(c,a)=eq \r(1+\f(b,a)2)=eq \r(5),故选B.
LISTNUM OutlineDefault \l 3 答案为:A;
解析:∵eq \f(x2,a2)-eq \f(y2,b2)=1的焦距为10,∴c=5=eq \r(a2+b2).①
又双曲线渐近线方程为y=±eq \f(b,a)x,且P(2,1)在渐近线上,∴eq \f(2b,a)=1,即a=2b.②
由①②解得a=2eq \r(5),b=eq \r(5),则C的方程为eq \f(x2,20)-eq \f(y2,5)=1.故选A.
LISTNUM OutlineDefault \l 3 答案为:D;
解析:
不妨设P为双曲线右支上一点,则|PF1|>|PF2|,由双曲线的定义得|PF1|-|PF2|=2a,
又|PF1|+|PF2|=6a,所以|PF1|=4a,|PF2|=2a.又因为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2c>2a,,4a>2a,))所以∠PF1F2为最小内角,
故∠PF1F2=eq \f(π,6).由余弦定理,可得eq \f(4a2+2c2-2a2,2·4a·2c)=eq \f(\r(3),2),c2=3a2,b2=c2-a2=2a2⇒eq \f(b,a)=eq \r(2),
所以双曲线的渐近线方程为y=±eq \r(2)x,故选D.
LISTNUM OutlineDefault \l 3 答案为:21
解析:设双曲线的左、右焦点分别为F1,F2,不妨设PF1=11,
根据双曲线的定义知|PF1-PF2|=2a=10,∴PF2=1或PF2=21,
而F1F2=14,∴当PF2=1时,1+110,且焦点在x轴上,
根据题意知4-a2=a+2,即a2+a-2=0,解得a=1或a=-2(舍去).
故实数a=1.
LISTNUM OutlineDefault \l 3 答案为:x2-eq \f(y2,3)=1;
解析:由题意得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(c-a=1,,\f(c,a)=2,))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a=1,,c=2,))则b=eq \r(3),故所求方程为x2-eq \f(y2,3)=1.
LISTNUM OutlineDefault \l 3 答案为:eq \r(2);
解析:易知抛物线y2=8x的焦点为(2,0),所以双曲线eq \f(x2,a2)-eq \f(y2,2)=1的焦点为(2,0),
则a2+2=22,即a=eq \r(2),所以双曲线的离心率e=eq \f(c,a)=eq \f(2,\r(2))=eq \r(2).
LISTNUM OutlineDefault \l 3 解:
(1)因为椭圆eq \f(x2,25)+eq \f(y2,9)=1的长轴端点为A1(-5,0),A2(5,0),
所以所求双曲线的焦点为F1(-5,0),F2(5,0).
由双曲线的定义知,|PF1-PF2|
=eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\r(5+52+\f(9,4)-02)- \r(5-52+\f(9,4)-02)))=eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1( \r(\f(41,4)2)- \r(\f(9,4)2)))=8,
即2a=8,则a=4.
又c=5,所以b2=c2-a2=9.
故所求双曲线的标准方程为eq \f(x2,16)-eq \f(y2,9)=1.
(2)设双曲线的方程为Ax2+By2=1(AB
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