江西省上高二中2021届高三上学期第一次月考 数学（文）（含答案） 试卷
展开2021届高三年级第一次月考数学（文科）试卷
一、单选题（每小题5分，共60分）
1．已知集合，，则（ ）
A B. C． D．
2．已知命题“关于的方程无实根”，若为真命题的充分不必要条件为，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．给出以下几个结论：
①命题，，则，
②命题“若，则”的逆否命题为：“若，则”
③“命题为真”是“命题为真”的充分不必要条件
④若，则的最小值为4
其中正确结论的个数是（ ）A．1 B．2 C．3 D．4
4．函数（且）的大致图像是（ ）
A． B．
C． D．
5．已知点P为不等式所表示的可行域内任意一点，点，O为坐标原点，则的最大值为（ ）A． B．1 C．2 D．
6．已知，，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．已知双曲线C：（，）的一条渐近线被圆所截得的弦长为2，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．
8．若直线与不等式组表示的平面区域有公共点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
9．已知区间是关于x的一元二次不等式的解集，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．3
10．已知实数a，b满足不等式，则点与点在直线的两侧的概率为（ ）
A． B． C． D．
11．已知，若实数、满足，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
12．边长为的两个等边所在的平面互相垂直，则四面体的外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（每小题5分，共20分）
13．已知函数的图像经过点，则的最小值为 .
14．观察下列等式:
…
照此规律, 第n个等式可为 .
15．已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，，，则边b的最小值为______.
16．关于的方程恰好有3个实数根，则实数的取值范围是__________.
三、解答题（共70分）
17．（本小题10分）已知集合，.
（1）若集合，求此时实数的值；
（2）已知命题，命题，若是的充分条件，求实数的取值范围.
18．（本小题12分）已知某班的50名学生进行不记名问卷调查，内容为本周使用手机的时间长，如表：
时间长（小时） | |||||
女生人数 | 4 | 11 | 3 | 2 | 0 |
男生人数 | 3 | 17 | 6 | 3 | 1 |
（1）求这50名学生本周使用手机的平均时间长；
（2）时间长为的7名同学中，从中抽取两名，求其中恰有一个女生的概率；
（3）若时间长为被认定“不依赖手机”，被认定“依赖手机”，根据以上数据完成列联表：
| 不依赖手机 | 依赖手机 | 总计 |
女生 |
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男生 |
|
|
|
总计 |
|
|
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能否在犯错概率不超过0.15的前提下，认为学生的性别与依赖手机有关系？
0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
（参考公式：，）
19．（本大题12分）在四棱锥中，底面是正方形，与交于点底面分别为中点，且.
（1）求证：平面；
（2）若，求三棱锥的体积.
20．（本小题12分）在平面直角坐标系中，已知曲线(为参数)，以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程，点在直线上，直线与曲线交于两点．
（1）求曲线的普通方程及直线的参数方程；（2）求的面积．
21．（本小题12分）已知函数.
（1）当时，解不等式；
（2）若函数的值域为，求的最小值.
22．（本小题12分）已知函数.
（1）求函数的单调区间；
（2）当时，函数在上的最小值为，若不等式有解，求实数的取值范围。
2021届高三年级第一次数学（文科）月考试卷答题卡
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
题号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
答案 |
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二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13、 14、 15、 16、
三、解答题：（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）
17、（本题满分10分）
18、（本小题满分12分）
| 不依赖手机 | 依赖手机 | 总计 |
女生 |
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男生 |
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总计 |
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19、（本小题满分12分）
20、（本小题满分12分）
21、（本小题满分12分）
22、（本小题12分）
2021届高三年级第一次月考数学（文科）试卷答案
1-5．ABBDB 6-10．ACBCA 11-12．CD
13． 14．，
15．1 16．
17．（1），
所以，方程的两根分别为和，
由韦达定理得，解得；
（2），由于是的充分条件，则.
当时，，此时不成立；
当时，，
，则有，解得；
当时，，
，则有，解得.
综上所述，实数的取值范围是.
18．（1），
所以，这50名学生本周使用手机的平均时间长为9小时．
（2）时间长为的有7人，记为、、、、、、，其中女生记为、、、，从这7名学生中随机抽取两名的基本事件有：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共21个．
设事件表示恰有一位女生符合要求的事件有：，，，，，，，，，，，共12个．
所以恰有一个女生的概率为．
（3）
| 不依赖手机 | 依赖手机 | 总计 |
女生 | 15 | 5 | 20 |
男生 | 20 | 10 | 30 |
总计 | 35 | 15 | 50 |
，
不能在犯错概率不超过0.15的前提下，认为学生的性别与依赖手机有关系．
19．(1)∵底面，平面，∴，
∵，且，∴平面，
∵平面，∴，
在正方形中，与交于点，且，∴，
在中，是中点，∴，
∵，∴平面 ；
（2）∵，∴，∵是中点，且底面，
∴.
20.（1）将曲线，消去参数得，曲线的普通方程为，
∵点在直线上，∴，
∴，展开得，
又，，∴直线的直角坐标方程为，
显然过点，倾斜角为，∴直线的参数方程为（为参数）．
（2）由（1），将直线的参数方程代入曲线的普通方程得：
，整理得，显然，
设对应的参数为，，则由韦达定理得，，
由参数的几何意义得，
又原点到直线的距离为，
因此，的面积为．
21，（1）根据题意得原不等式为.
当时，则有，解得，此时；
当时，则有，解得，此时；
当时，则有，解得，此时.
综上所述，不等式的解集为或；
（2），当且仅当时等号成立，
，，函数的值域为，即.
，
当且仅当时取等号，因此，的最小值为.
22．（1）由，
得，
①当时，
令，得，
所以，或，即或，
解得或．
令，得，
解得．
所以函数的单调递增区间为，；单调递减区间为．
②当时，
令，得，由①可知；
令，得，由①可知或．
所以函数的单调递增区间为；单调递减区间为，．
综上可得，
当时，的单调递增区间为，；单调递减区间为．
当时，的单调递增区间为；单调递减区间为，．
（2）由（1）可知若，则当时，函数在上单调递减，在上单调递增，
所以，
所以不等式有解等价于有解，
即有解，
设，则，
所以当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
所以的极小值也是最小值，且最小值为，
从而，
所以实数的取值范围为．
