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高中物理鲁科版 (2019)必修 第三册第4节 点电荷的电场 匀强电场优秀教案及反思
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这是一份高中物理鲁科版 (2019)必修 第三册第4节 点电荷的电场 匀强电场优秀教案及反思，共16页。
知识点一 点电荷的电场
1.计算公式：E＝keq \f(Q,r2)(Q为场源电荷的电荷量)。
2.方向：当Q为正电荷时，E的方向沿Q与该点的连线向外，背离Q，当Q为负电荷时，E的方向沿Q与该点的连线向内，指向Q。
[思考判断]
(1)A、B两个异号电荷，A受到B的吸引力是因为A电荷处于B产生的电场中。(√)
(2)以点电荷为球心的球面上各点电场强度处处相同。(×)
(3)公式E＝eq \f(F,q)与E＝keq \f(Q,r2)中q与Q含义不同。(√)
知识点二 场强叠加原理
1.如果有多个电荷同时存在，电场中任一点的电场强度等于这些点电荷各自在该点产生电场强度的矢量和，这个结论称为场强叠加原理。
2.若已知电荷分布，就可以求出电场中某点电场强度矢量叠加后的总强度。
[思考判断]
(1)电场强度是矢量，电场强度的叠加遵循平行四边形定则。(√)
(2)如果几个电场强度在同一直线上，其合场强为它们的大小之和。(×)
知识点三 匀强电场
1.定义：电场强度的大小和方向处处相同的电场。
2.电场线是间距相等的平行直线。
[思考判断]
(1)如果某空间中的电场线是直线，那么在同一条电场线上各处的场强相同。(×)
(2)匀强电场的电场线可以是曲线。(×)
在计算式E＝eq \f(kQ,r2)中，r→0时，电荷量为Q的物体就不能看成是点电荷了，电场强度E不可以认为无穷大。
研究均匀带电球体(或球壳)在球外产生的电场时，可以认为全部电荷集中在球心。
等量异种点电荷 等量同种正点电荷
匀强电场的表示
核心要点 点电荷的电场 匀强电场
[要点归纳]
1.点电荷的电场
(1)E＝keq \f(Q,r2)是真空中点电荷场强的决定式，E∝Q，E∝eq \f(1,r2)。Q为产生电场的场源电荷所带电荷量，r为电场中某点与场源电荷间的距离。
(2)如果以Q为中心、r为半径作一球面，则球面上各点的电场强度大小相等。当Q为正电荷时，场强E的方向沿半径向外，如图甲所示；当Q为负电荷时，场强E的方向沿半径向内，如图乙所示。
(3)此式只适用于真空中的点电荷。
2.公式E＝eq \f(F,q)与E＝eq \f(kQ,r2)的对比理解
3.匀强电场
(1)产生：无限大的带有等量异种电荷的平行金属板间的电场为匀强电场。
(2)带电粒子在匀强电场中受到恒定电场力的作用。
[试题案例]
[例1] (多选)图甲中AB是一个点电荷形成电场的一条电场线，图乙则是电场线上P、Q处的试探电荷所受电场力的大小与其电荷量间的函数关系图像，下列说法可能的是( )
A.场源电荷在P点左侧
B.场源电荷在P、Q之间
C.场源电荷在Q点右侧
D.因不知场源电荷的电性，所以无法确定场强方向
解析 由F＝Eq和图乙可知EP＞EQ，故场源电荷离P点较近，因为图甲中AB是一个点电荷形成电场的一条电场线，如果场源电荷在P、Q之间，那AB就是两条电场线了，所以场源电荷在P点左侧，A正确，B、C错误；如果场源电荷为正点电荷，则场强方向由P指向Q；如果场源电荷为负点电荷，则场强方向由Q指向P。由于不知道点电荷的电性，故无法确定场强方向，D正确。
答案 AD
[例2] 如图所示，绝缘光滑斜面(足够长)倾角为37°，一带正电的小物块质量为m，电荷量为q，置于斜面上，当沿水平方向加如图所示的匀强电场时，带电小物块恰好静止在斜面上，从某时刻开始，电场强度变化为原来的eq \f(1,2)(sin 37°＝0.6，cs 37°＝0.8，g＝10 m/s2)，求：
(1)原来的电场强度的大小；
(2)小物块运动的加速度；
(3)沿斜面下滑距离为l＝0.5 m时物块的速度大小。
解析 (1)对小物块受力分析如图所示，小物块静止于斜面上，则
mgsin 37°＝qEcs 37°，E＝eq \f(mgtan 37°,q)＝eq \f(3mg,4q)。
(2)当场强变为原来的eq \f(1,2)时，小物块受到的合外力
F合＝mgsin 37°－eq \f(1,2)qEcs 37°＝eq \f(1,2)mgsin 37°＝0.3mg，
又F合＝ma，所以a＝3 m/s2，方向沿斜面向下。
(3)由动能定理得F合·l＝eq \f(1,2)mv2－0
即0.3mg·l＝eq \f(1,2)mv2，解得v＝eq \r(3) m/s。
答案 (1)eq \f(3mg,4q) (2)3 m/s2，方向沿斜面向下 (3)eq \r(3) m/s
[针对训练1] 真空中O点放一个点电荷 Q＝＋1.0×10－9 C，直线MN通过O点，OM的距离r＝30 cm，M点放一个点电荷q＝－1.0×10－10 C，如图所示。静电力常量k＝9.0×109 N·m2/C2。求：
(1)q在M点受到的作用力；
(2)M点的场强；
(3)拿走q后M点的场强；
(4)M、N两点的场强哪点大
解析 (1)根据库仑定律得
FM＝keq \f(Qq,r2)＝eq \f(9.0×109×1.0×10－9×1.0×10－10,0.32) N
＝1.0×10－8 N。因为Q为正点电荷，q为负点电荷，库仑力是吸引力，所以力的方向沿MO指向Q。
(2)M点的场强EM＝eq \f(FM,q)＝eq \f(1.0×10－8,1.0×10－10) N/C＝100 N/C，
其方向沿OM连线背离Q，因为它的方向跟正电荷受静电力的方向相同。
(3)场强是反映电场的力的性质的物理量，它是由形成电场的电荷Q及电场中位置决定的，与试探电荷q是否存在无关。故M点的场强仍为100 N/C，方向沿OM连线背离Q。
(4)由E∝eq \f(1,r2)知M点场强大。
答案 见解析
[针对训练2] 如图所示，光滑绝缘细杆与水平面成θ角固定，杆上套有一带正电小球，质量为m，带电荷量为q，为使小球静止在杆上，可加一匀强电场，所加电场的场强满足什么条件时，小球可在杆上保持静止( )
A.垂直于杆斜向上，场强大小为eq \f(mgcs θ,q)
B.竖直向上，场强大小为eq \f(mg,q)
C.垂直于杆斜向上，场强大小为eq \f(mgsin θ,q)
D.水平向右，场强大小为eq \f(mg,qtan θ)
解析 若所加电场的场强垂直于杆斜向上，对小球受力分析可知，其受到竖直向下的重力、垂直于杆斜向上的电场力和垂直于杆方向的弹力，在这三个力的作用下，小球沿杆方向上不可能平衡，选项A、C错误；若所加电场的场强竖直向上，对小球受力分析可知，当E＝eq \f(mg,q)时，电场力与重力等大反向，小球可在杆上保持静止，选项B正确；若所加电场的场强水平向右，对小球受力分析可知，其共受到三个力的作用，假设小球此时能够静止，则根据平衡条件可得Eq＝mgtan θ，所以E＝eq \f(mgtan θ,q)，选项D错误。
答案 B
核心要点 场强叠加原理
[要点归纳]
(1)由于场强是矢量，故欲求出各个电荷在某点产生的场强的矢量和需用平行四边形定则。
(2)各个电荷产生的电场是独立的、互不影响的。
(3)对于计算不能视为点电荷的带电体的电场强度，可以把带电体分成很多小块，每块可以看成点电荷，用点电荷的电场叠加的方法计算。
[试题案例]
[例3] 如图所示，真空中带电荷量分别为＋Q和－Q的点电荷A、B相距r，求：
(1)两点电荷连线的中点O处的场强的大小和方向；
(2)在两点电荷连线的中垂线上，距A、B都为r的O′点处的场强大小和方向。
解析 (1)如图甲所示，A、B两点电荷在O点处产生的场强方向相同，均由A→B。A、B两点电荷在O点处产生的电场强度大小
甲
EA＝EB＝eq \f(kQ,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(r,2)))\s\up12(2))＝eq \f(4kQ,r2)。
O点处的场强大小为EO＝EA＋EB＝eq \f(8kQ,r2)，方向由A→B。
(2)如图乙所示，EA′＝EB′＝eq \f(kQ,r2)，由场强叠加原理可知，O′点处的场强EO′＝EA′＝EB′＝eq \f(kQ,r2)，方向由A→B。
乙
答案 (1)eq \f(8kQ,r2)，方向由A→B
(2)eq \f(kQ,r2)，方向由A→B
方法总结 1.“叠加电场”一经形成，电场中某点的场强也就唯一确定了。
2.场强叠加常用的方法有合成法、图解法、正交分解法等；对于同一直线上电场强度的合成，可先规定正方向，进而把矢量运算转化成代数运算。
[针对训练3] 图中边长为a的正三角形ABC的三个顶点A、B、C处分别固定三个点电荷，电荷量分别为＋q、＋q、－q，求该三角形中心O点处电场强度的大小和方向。
解析 法一 如图所示，每个点电荷在O点处产生的电场强度大小都是E＝eq \f(kq,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3)a,3)))\s\up12(2))＝eq \f(3kq,a2)，由图可知，O点处的电场强度大小为E0＝eq \f(6kq,a2)，方向由O指向C。
法二 将C处点电荷视为电荷量分别为＋q、－2q的两点电荷的复合体，则A、B、C三处的电荷量为＋q的点电荷在O点产生的总场强为0，O点处场强等于C处的电荷量为－2q的点电荷在此处产生的场强，故O点处的场强大小为EO＝eq \f(k×2q,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3)a,3)))\s\up12(2))＝eq \f(6kq,a2)，方向由O指向C。
答案 eq \f(6kq,a2) 方向由O指向C
1.(点电荷电场强度的求解)在点电荷Q产生的电场中有a、b两点，相距为d，已知a点的场强大小为E，方向与ab连线成30°角，b点的场强方向与ab连线成120°角，如图所示，则点电荷Q的电性和b点的场强大小为( )
A.正电、eq \f(E,3) B.负电、eq \f(E,3)
C.正电、3E D.负电、3E
解析 将表示场强E、Eb的有向线段延长，交点即为点电荷Q所在位置，如图所示，由于电场强度方向指向点电荷Q，则知该点电荷带负电。根据几何知识解得，a点到Q点的距离ra＝2dcs 30°＝eq \r(3)d，b点到Q点的距离rb＝d，a、b两点到点电荷Q的距离之比ra∶ rb＝eq \r(3)∶1。由公式E＝keq \f(Q,r2)，得a、b两点场强大小的比值E∶Eb＝1∶3，即Eb＝3E，故A、B、C错误，D正确。
答案 D
2.(场强的叠加的应用)两个固定的异号电荷q1和q2，电荷量给定且大小不等。用E1和E2分别表示两个点电荷产生的电场强度的大小，则在通过两个点电荷的直线上E1＝E2的点( )
A.有三个，其中两处合场强为零
B.有三个，其中一处合场强为零
C.只有两个，其中一处合场强为零
D.只有一个，该处合场强不为零
解析 设大电荷量为Q，小电荷量为q，两电荷间距为L，在连线上场强大小相等的点距离q为r，则有keq \f(Q,（L－r）2)＝keq \f(q,r2)，r有两个解，即场强大小相等的点有两处，一处在两电荷中间的连线上，合场强不为零，另一处在连线q的外侧，合场强为零，故C正确。
答案 C
3.(场强叠加原理的应用)在一个等边三角形ABC的顶点B和C处各放一个电荷量相同的点电荷时，测得A处的场强大小为E，方向与BC边平行从B指向C，如图所示，拿走C处的点电荷后，A处电场强度情况将是( )
A.大小仍为E，方向由A指向B
B.大小仍为E，方向由B指向A
C.大小变为eq \f(E,2)，方向不变
D.不能作出结论
解析 设B、C处的点电荷在A处产生的场强大小均为E′，因为是等边三角形，则E′＝E，拿走C处的点电荷后，A处电场强度大小为E，方向由B指向A，选项B正确。
答案 B
4.(匀强电场的理解)(多选)如图所示的电场中属于匀强电场的是( )
解析 匀强电场的电场线是等间距的平行直线，选项A尽管平行但不等间距，所以选项A错误；选项C尽管等间距，但不是平行的直线，所以选项C不符合题设条件，只有选项B、D符合题设条件。
答案 BD
基础过关
1.(多选)真空中距点电荷(电荷量为Q)为r的A点处，放一个电荷量为q(q≪Q)的点电荷，q受到的电场力大小为F，则A点的场强为( )
A.eq \f(F,Q) B.eq \f(F,q)
C.keq \f(q,r2) D.keq \f(Q,r2)
解析 E＝eq \f(F,q)中q指的是试探电荷的电荷量，E＝eq \f(kQ,r2)中Q指的是场源电荷的电荷量，故B、D正确。
答案 BD
2.图中画了四个电场的电场线，其中图A和图C中小圆圈表示一个点电荷，图A中虚线是一个圆，图B中几条直线间距相等且互相平行，则在图A、B、C、D中M、N两处电场强度相同的是( )
解析 电场强度为矢量，M、N两处电场强度相同，则电场强度方向、大小都要相同。图A中，M、N两点的电场强度大小相同，方向不同；图B中是匀强电场，M、N两点的电场强度大小、方向都相同；图C中，M、N两点的电场强度方向相同，大小不同；图D中，M N两点的电场强度大小、方向都不相同。故选B。
答案 B
3.(多选)如图所示，图甲中AB是一个点电荷电场中的电场线，图乙则是放在电场线上a、b处的检验电荷的电荷量与所受静电力间的函数图线，由此可知以下判断可能正确的是( )
A.场源是正电荷，位于a点的左侧
B.场源是正电荷，位于b点的右侧
C.场源是负电荷，位于a点的左侧
D.场源是负电荷，位于b点的右侧
解析 比值eq \f(F,q)表示电场强度，根据F－q图线，可知Ea>Eb。由点电荷电场强度表达式E＝keq \f(Q,r2)可知，ra
答案 AC
4.(多选)a、b、c、d分别是一个菱形的四个顶点，∠abc＝120°。现将三个等量的正点电荷＋Q分别固定在a、b、c三个顶点上，下列说法正确的有( )
A.d点电场强度的方向由O指向d
B.O点电场强度的方向由d指向O
C.d点的电场强度大于O点的电场强度
D.d点的电场强度小于O点的电场强度
解析 a、c两点的点电荷在d点的电场强度叠加后方向是竖直向下的，b点的点电荷在d点的电场强度的方向是竖直向下的，所以d点的电场强度的方向是由O指向d，选项A正确；同理，O点的场强的方向也是由O指向d，选项B错误；设菱形的边长为L，则a、c两点的点电荷在d点的电场强度沿竖直方向的分量均为Ey＝eq \f(kQ,L2)cs 60°＝eq \f(kQ,2L2)，故d点的电场强度为Ed＝2×eq \f(kQ,2L2)＋eq \f(kQ,L2)＝eq \f(2kQ,L2)；a、c两点的点电荷在O点的场强叠加后为0，故O点的电场强度为EO＝eq \f(kQ,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(L,2)))\s\up12(2))＝eq \f(4kQ,L2)，所以Ed
答案 AD
5.如图所示，在水平向右、场强大小为E的匀强电场中，在O点固定一电荷量为Q的正点电荷，A、B、C、D为以O为圆心、半径为r的同一圆周上的四点，B、D连线与电场线平行，A、C连线与电场线垂直。则( )
A.A点的电场强度大小为eq \r(E2＋k2\f(Q2,r4))
B.B点的电场强度大小为E－keq \f(Q,r2)
C.D点的电场强度大小不可能为零
D.A、C两点的电场强度相同
解析 正点电荷在A点产生的电场强度沿OA方向，大小为keq \f(Q,r2)，所以A点的合电场强度大小为eq \r(E2＋k2\f(Q2,r4))，A正确；同理，B点的电场强度大小为E＋keq \f(Q,r2)，B错误；如果E＝keq \f(Q,r2)，则D点的电场强度大小为零，C错误；A、C两点的电场强度大小相等，但方向不同，D错误。
答案 A
6.如图所示，A、B、C三点为一直角三角形的三个顶点，∠B＝30°，现在A、B两点放置两点电荷，电荷量分别为qA、qB，测得C点电场强度的方向与AB平行，则qA带________电，qA∶qB＝________。
解析 因C点场强与AB平行，则A、B一定是异号电荷，若A带正电，B带负电，则C点场强水平向右，故A带负电。如图所示
由几何关系知keq \f(qA,r2)＝eq \f(1,2)keq \f(qB,4r2)
故qA∶qB＝1∶8。
答案 负 1∶8
能力提升
7.如图所示，在光滑绝缘水平面上，三个带电小球a、b和c分别位于边长为l的正三角形的三个顶点上，a、b带正电，电荷量均为q，c带负电。整个系统置于方向水平的匀强电场中。已知静电力常量为k。若三个小球均处于静止状态，则匀强电场场强的大小为( )
A.eq \f(\r(3)kq,3l2) B.eq \f(\r(3)kq,l2)
C.eq \f(3kq,l2) D.eq \f(2\r(3)kq,l2)
解析 各小球都在力的作用下处于静止状态，分别对各小球受力分析，列平衡方程可求解。以c球为研究对象，除受a、b两个小球的库仑力外还受匀强电场的静电力，如图所示，c球处于平衡状态，据共点力平衡条件可知F静＝2keq \f(qqc,l2)cs 30°，F静＝Eqc，解得E＝eq \f(\r(3)kq,l2)，选项B正确。
答案 B
8.经过探究，某同学发现：点电荷和无限大的接地金属平板间的电场(如图甲所示)与等量异种点电荷之间的电场的分布情况(如图乙所示)完全相同。图丙中点电荷q到MN的距离OA长为L，AB是以点电荷q为圆心、L为半径的圆上的一条直径，则B点电场强度的大小为( )
A.eq \f(10kq,9L2) B.eq \f(kq,L2)
C.eq \f(8kq,9L2) D.eq \f(3kq,4L2)
解析 由甲图知B点的电场强度方向垂直于金属平板向右，若等量异种点电荷电荷量的大小均为q，它们之间的距离为2L，乙图中＋q右侧L处的场强大小为E＝eq \f(kq,L2)－eq \f(kq,9L2)＝eq \f(8kq,9L2)，根据题意可知，B点的电场强度大小与乙图中＋q右侧L处的场强大小相等，为eq \f(8kq,9L2)，故A、B、D错误，C正确。
答案 C
9.如图所示，QA＝3×10－8 C，QB＝－3×10－8 C，A、B两带电小球相距5 cm，在水平方向匀强电场作用下，A、B保持静止，悬线竖直，求A、B连线中点处的场强。(两带电小球可看成质点)
解析 以A为研究对象，B对A的库仑力和外电场对A的电场力平衡，有
E外QA＝keq \f(|QAQB|,r2)，
得E外＝eq \f(k|QB|,r2)＝eq \f(9×109×3×10－8,（5×10－2）2) N/C＝1.08×105 N/C，E外方向水平向左，故A、B中点的场强E＝eq \f(kQA,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(r,2)))\s\up12(2))＋eq \f(k|QB|,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(r,2)))\s\up12(2))－E外＝eq \f(7kQA,r2)＝7.56×105 N/C，方向向右。
答案 7.56×105 N/C 方向向右
10.在一个点电荷Q的电场中，Ox坐标轴与它的一条电场线重合，坐标轴上A、B两点的坐标分别为2 m和5 m。已知放在A、B两点的试探电荷受到的电场力方向都跟x轴的正方向相同，电场力的大小跟试探电荷所带电荷量大小的关系图像如图中直线A、B所示，放在A点的试探电荷带正电，放在B点的试探电荷带负电。求：
(1)B点的电场强度的大小和方向；
(2)试判断点电荷Q的电性，并确定点电荷Q的位置坐标。
解析 (1)由题图可得B点电场强度的大小
EB＝eq \f(F,q)＝eq \f(1,0.4) N/C＝2.5 N/C。
因B点的试探电荷带负电，而受力指向x轴的正方向，故B点场强的方向沿x轴负方向。
(2)因A点的正电荷受力和B点的负电荷受力均指向x轴的正方向，故点电荷Q位于A、B两点之间，带负电。
设点电荷Q的坐标为x，则
EA＝keq \f(Q,（x－2）2)，EB＝keq \f(Q,（5－x）2)
由题图可得EA＝40 N/C，
则eq \f(EA,EB)＝eq \f(（5－x）2,（x－2）2)＝eq \f(40,2.5)
解得x＝2.6 m或x＝1 m(不符合题意舍去)。
答案 (1)2.5 N/C，方向沿x轴负方向
(2)带负电，位置坐标x＝2.6 m
核心素养
物理观念
科学思维
1.推导点电荷的电场强度公式。
2.知道电场强度的叠加原理，并能应用这一原理进行简单的计算。
3.知道匀强电场及其电场线的特点。
通过场强叠加原理，更加熟悉矢量的合成法则——平行四边形定则。
公式
比较内容
E＝eq \f(F,q)
E＝eq \f(kQ,r2)
本质区别
定义式
点电荷场强大小的决定式
意义
给出了一种测量电场强度的方法
指明了点电荷场强大小的决定因素
适用范围
一切电场
真空中点电荷激发的电场
Q或q意义
q表示引入电场的试探电荷的电荷量
Q表示产生电场的场源电荷的电荷量
E与其他
量的关系
E用F与q的比值来表示，但E的大小与F、q的大小无关
E不仅用Q、r来表示，且E∝Q，E∝eq \f(1,r2)
知识点一 点电荷的电场
1.计算公式：E＝keq \f(Q,r2)(Q为场源电荷的电荷量)。
2.方向：当Q为正电荷时，E的方向沿Q与该点的连线向外，背离Q，当Q为负电荷时，E的方向沿Q与该点的连线向内，指向Q。
[思考判断]
(1)A、B两个异号电荷，A受到B的吸引力是因为A电荷处于B产生的电场中。(√)
(2)以点电荷为球心的球面上各点电场强度处处相同。(×)
(3)公式E＝eq \f(F,q)与E＝keq \f(Q,r2)中q与Q含义不同。(√)
知识点二 场强叠加原理
1.如果有多个电荷同时存在，电场中任一点的电场强度等于这些点电荷各自在该点产生电场强度的矢量和，这个结论称为场强叠加原理。
2.若已知电荷分布，就可以求出电场中某点电场强度矢量叠加后的总强度。
[思考判断]
(1)电场强度是矢量，电场强度的叠加遵循平行四边形定则。(√)
(2)如果几个电场强度在同一直线上，其合场强为它们的大小之和。(×)
知识点三 匀强电场
1.定义：电场强度的大小和方向处处相同的电场。
2.电场线是间距相等的平行直线。
[思考判断]
(1)如果某空间中的电场线是直线，那么在同一条电场线上各处的场强相同。(×)
(2)匀强电场的电场线可以是曲线。(×)
在计算式E＝eq \f(kQ,r2)中，r→0时，电荷量为Q的物体就不能看成是点电荷了，电场强度E不可以认为无穷大。
研究均匀带电球体(或球壳)在球外产生的电场时，可以认为全部电荷集中在球心。
等量异种点电荷 等量同种正点电荷
匀强电场的表示
核心要点 点电荷的电场 匀强电场
[要点归纳]
1.点电荷的电场
(1)E＝keq \f(Q,r2)是真空中点电荷场强的决定式，E∝Q，E∝eq \f(1,r2)。Q为产生电场的场源电荷所带电荷量，r为电场中某点与场源电荷间的距离。
(2)如果以Q为中心、r为半径作一球面，则球面上各点的电场强度大小相等。当Q为正电荷时，场强E的方向沿半径向外，如图甲所示；当Q为负电荷时，场强E的方向沿半径向内，如图乙所示。
(3)此式只适用于真空中的点电荷。
2.公式E＝eq \f(F,q)与E＝eq \f(kQ,r2)的对比理解
3.匀强电场
(1)产生：无限大的带有等量异种电荷的平行金属板间的电场为匀强电场。
(2)带电粒子在匀强电场中受到恒定电场力的作用。
[试题案例]
[例1] (多选)图甲中AB是一个点电荷形成电场的一条电场线，图乙则是电场线上P、Q处的试探电荷所受电场力的大小与其电荷量间的函数关系图像，下列说法可能的是( )
A.场源电荷在P点左侧
B.场源电荷在P、Q之间
C.场源电荷在Q点右侧
D.因不知场源电荷的电性，所以无法确定场强方向
解析 由F＝Eq和图乙可知EP＞EQ，故场源电荷离P点较近，因为图甲中AB是一个点电荷形成电场的一条电场线，如果场源电荷在P、Q之间，那AB就是两条电场线了，所以场源电荷在P点左侧，A正确，B、C错误；如果场源电荷为正点电荷，则场强方向由P指向Q；如果场源电荷为负点电荷，则场强方向由Q指向P。由于不知道点电荷的电性，故无法确定场强方向，D正确。
答案 AD
[例2] 如图所示，绝缘光滑斜面(足够长)倾角为37°，一带正电的小物块质量为m，电荷量为q，置于斜面上，当沿水平方向加如图所示的匀强电场时，带电小物块恰好静止在斜面上，从某时刻开始，电场强度变化为原来的eq \f(1,2)(sin 37°＝0.6，cs 37°＝0.8，g＝10 m/s2)，求：
(1)原来的电场强度的大小；
(2)小物块运动的加速度；
(3)沿斜面下滑距离为l＝0.5 m时物块的速度大小。
解析 (1)对小物块受力分析如图所示，小物块静止于斜面上，则
mgsin 37°＝qEcs 37°，E＝eq \f(mgtan 37°,q)＝eq \f(3mg,4q)。
(2)当场强变为原来的eq \f(1,2)时，小物块受到的合外力
F合＝mgsin 37°－eq \f(1,2)qEcs 37°＝eq \f(1,2)mgsin 37°＝0.3mg，
又F合＝ma，所以a＝3 m/s2，方向沿斜面向下。
(3)由动能定理得F合·l＝eq \f(1,2)mv2－0
即0.3mg·l＝eq \f(1,2)mv2，解得v＝eq \r(3) m/s。
答案 (1)eq \f(3mg,4q) (2)3 m/s2，方向沿斜面向下 (3)eq \r(3) m/s
[针对训练1] 真空中O点放一个点电荷 Q＝＋1.0×10－9 C，直线MN通过O点，OM的距离r＝30 cm，M点放一个点电荷q＝－1.0×10－10 C，如图所示。静电力常量k＝9.0×109 N·m2/C2。求：
(1)q在M点受到的作用力；
(2)M点的场强；
(3)拿走q后M点的场强；
(4)M、N两点的场强哪点大
解析 (1)根据库仑定律得
FM＝keq \f(Qq,r2)＝eq \f(9.0×109×1.0×10－9×1.0×10－10,0.32) N
＝1.0×10－8 N。因为Q为正点电荷，q为负点电荷，库仑力是吸引力，所以力的方向沿MO指向Q。
(2)M点的场强EM＝eq \f(FM,q)＝eq \f(1.0×10－8,1.0×10－10) N/C＝100 N/C，
其方向沿OM连线背离Q，因为它的方向跟正电荷受静电力的方向相同。
(3)场强是反映电场的力的性质的物理量，它是由形成电场的电荷Q及电场中位置决定的，与试探电荷q是否存在无关。故M点的场强仍为100 N/C，方向沿OM连线背离Q。
(4)由E∝eq \f(1,r2)知M点场强大。
答案 见解析
[针对训练2] 如图所示，光滑绝缘细杆与水平面成θ角固定，杆上套有一带正电小球，质量为m，带电荷量为q，为使小球静止在杆上，可加一匀强电场，所加电场的场强满足什么条件时，小球可在杆上保持静止( )
A.垂直于杆斜向上，场强大小为eq \f(mgcs θ,q)
B.竖直向上，场强大小为eq \f(mg,q)
C.垂直于杆斜向上，场强大小为eq \f(mgsin θ,q)
D.水平向右，场强大小为eq \f(mg,qtan θ)
解析 若所加电场的场强垂直于杆斜向上，对小球受力分析可知，其受到竖直向下的重力、垂直于杆斜向上的电场力和垂直于杆方向的弹力，在这三个力的作用下，小球沿杆方向上不可能平衡，选项A、C错误；若所加电场的场强竖直向上，对小球受力分析可知，当E＝eq \f(mg,q)时，电场力与重力等大反向，小球可在杆上保持静止，选项B正确；若所加电场的场强水平向右，对小球受力分析可知，其共受到三个力的作用，假设小球此时能够静止，则根据平衡条件可得Eq＝mgtan θ，所以E＝eq \f(mgtan θ,q)，选项D错误。
答案 B
核心要点 场强叠加原理
[要点归纳]
(1)由于场强是矢量，故欲求出各个电荷在某点产生的场强的矢量和需用平行四边形定则。
(2)各个电荷产生的电场是独立的、互不影响的。
(3)对于计算不能视为点电荷的带电体的电场强度，可以把带电体分成很多小块，每块可以看成点电荷，用点电荷的电场叠加的方法计算。
[试题案例]
[例3] 如图所示，真空中带电荷量分别为＋Q和－Q的点电荷A、B相距r，求：
(1)两点电荷连线的中点O处的场强的大小和方向；
(2)在两点电荷连线的中垂线上，距A、B都为r的O′点处的场强大小和方向。
解析 (1)如图甲所示，A、B两点电荷在O点处产生的场强方向相同，均由A→B。A、B两点电荷在O点处产生的电场强度大小
甲
EA＝EB＝eq \f(kQ,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(r,2)))\s\up12(2))＝eq \f(4kQ,r2)。
O点处的场强大小为EO＝EA＋EB＝eq \f(8kQ,r2)，方向由A→B。
(2)如图乙所示，EA′＝EB′＝eq \f(kQ,r2)，由场强叠加原理可知，O′点处的场强EO′＝EA′＝EB′＝eq \f(kQ,r2)，方向由A→B。
乙
答案 (1)eq \f(8kQ,r2)，方向由A→B
(2)eq \f(kQ,r2)，方向由A→B
方法总结 1.“叠加电场”一经形成，电场中某点的场强也就唯一确定了。
2.场强叠加常用的方法有合成法、图解法、正交分解法等；对于同一直线上电场强度的合成，可先规定正方向，进而把矢量运算转化成代数运算。
[针对训练3] 图中边长为a的正三角形ABC的三个顶点A、B、C处分别固定三个点电荷，电荷量分别为＋q、＋q、－q，求该三角形中心O点处电场强度的大小和方向。
解析 法一 如图所示，每个点电荷在O点处产生的电场强度大小都是E＝eq \f(kq,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3)a,3)))\s\up12(2))＝eq \f(3kq,a2)，由图可知，O点处的电场强度大小为E0＝eq \f(6kq,a2)，方向由O指向C。
法二 将C处点电荷视为电荷量分别为＋q、－2q的两点电荷的复合体，则A、B、C三处的电荷量为＋q的点电荷在O点产生的总场强为0，O点处场强等于C处的电荷量为－2q的点电荷在此处产生的场强，故O点处的场强大小为EO＝eq \f(k×2q,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3)a,3)))\s\up12(2))＝eq \f(6kq,a2)，方向由O指向C。
答案 eq \f(6kq,a2) 方向由O指向C
1.(点电荷电场强度的求解)在点电荷Q产生的电场中有a、b两点，相距为d，已知a点的场强大小为E，方向与ab连线成30°角，b点的场强方向与ab连线成120°角，如图所示，则点电荷Q的电性和b点的场强大小为( )
A.正电、eq \f(E,3) B.负电、eq \f(E,3)
C.正电、3E D.负电、3E
解析 将表示场强E、Eb的有向线段延长，交点即为点电荷Q所在位置，如图所示，由于电场强度方向指向点电荷Q，则知该点电荷带负电。根据几何知识解得，a点到Q点的距离ra＝2dcs 30°＝eq \r(3)d，b点到Q点的距离rb＝d，a、b两点到点电荷Q的距离之比ra∶ rb＝eq \r(3)∶1。由公式E＝keq \f(Q,r2)，得a、b两点场强大小的比值E∶Eb＝1∶3，即Eb＝3E，故A、B、C错误，D正确。
答案 D
2.(场强的叠加的应用)两个固定的异号电荷q1和q2，电荷量给定且大小不等。用E1和E2分别表示两个点电荷产生的电场强度的大小，则在通过两个点电荷的直线上E1＝E2的点( )
A.有三个，其中两处合场强为零
B.有三个，其中一处合场强为零
C.只有两个，其中一处合场强为零
D.只有一个，该处合场强不为零
解析 设大电荷量为Q，小电荷量为q，两电荷间距为L，在连线上场强大小相等的点距离q为r，则有keq \f(Q,（L－r）2)＝keq \f(q,r2)，r有两个解，即场强大小相等的点有两处，一处在两电荷中间的连线上，合场强不为零，另一处在连线q的外侧，合场强为零，故C正确。
答案 C
3.(场强叠加原理的应用)在一个等边三角形ABC的顶点B和C处各放一个电荷量相同的点电荷时，测得A处的场强大小为E，方向与BC边平行从B指向C，如图所示，拿走C处的点电荷后，A处电场强度情况将是( )
A.大小仍为E，方向由A指向B
B.大小仍为E，方向由B指向A
C.大小变为eq \f(E,2)，方向不变
D.不能作出结论
解析 设B、C处的点电荷在A处产生的场强大小均为E′，因为是等边三角形，则E′＝E，拿走C处的点电荷后，A处电场强度大小为E，方向由B指向A，选项B正确。
答案 B
4.(匀强电场的理解)(多选)如图所示的电场中属于匀强电场的是( )
解析 匀强电场的电场线是等间距的平行直线，选项A尽管平行但不等间距，所以选项A错误；选项C尽管等间距，但不是平行的直线，所以选项C不符合题设条件，只有选项B、D符合题设条件。
答案 BD
基础过关
1.(多选)真空中距点电荷(电荷量为Q)为r的A点处，放一个电荷量为q(q≪Q)的点电荷，q受到的电场力大小为F，则A点的场强为( )
A.eq \f(F,Q) B.eq \f(F,q)
C.keq \f(q,r2) D.keq \f(Q,r2)
解析 E＝eq \f(F,q)中q指的是试探电荷的电荷量，E＝eq \f(kQ,r2)中Q指的是场源电荷的电荷量，故B、D正确。
答案 BD
2.图中画了四个电场的电场线，其中图A和图C中小圆圈表示一个点电荷，图A中虚线是一个圆，图B中几条直线间距相等且互相平行，则在图A、B、C、D中M、N两处电场强度相同的是( )
解析 电场强度为矢量，M、N两处电场强度相同，则电场强度方向、大小都要相同。图A中，M、N两点的电场强度大小相同，方向不同；图B中是匀强电场，M、N两点的电场强度大小、方向都相同；图C中，M、N两点的电场强度方向相同，大小不同；图D中，M N两点的电场强度大小、方向都不相同。故选B。
答案 B
3.(多选)如图所示，图甲中AB是一个点电荷电场中的电场线，图乙则是放在电场线上a、b处的检验电荷的电荷量与所受静电力间的函数图线，由此可知以下判断可能正确的是( )
A.场源是正电荷，位于a点的左侧
B.场源是正电荷，位于b点的右侧
C.场源是负电荷，位于a点的左侧
D.场源是负电荷，位于b点的右侧
解析 比值eq \f(F,q)表示电场强度，根据F－q图线，可知Ea>Eb。由点电荷电场强度表达式E＝keq \f(Q,r2)可知，ra
答案 AC
4.(多选)a、b、c、d分别是一个菱形的四个顶点，∠abc＝120°。现将三个等量的正点电荷＋Q分别固定在a、b、c三个顶点上，下列说法正确的有( )
A.d点电场强度的方向由O指向d
B.O点电场强度的方向由d指向O
C.d点的电场强度大于O点的电场强度
D.d点的电场强度小于O点的电场强度
解析 a、c两点的点电荷在d点的电场强度叠加后方向是竖直向下的，b点的点电荷在d点的电场强度的方向是竖直向下的，所以d点的电场强度的方向是由O指向d，选项A正确；同理，O点的场强的方向也是由O指向d，选项B错误；设菱形的边长为L，则a、c两点的点电荷在d点的电场强度沿竖直方向的分量均为Ey＝eq \f(kQ,L2)cs 60°＝eq \f(kQ,2L2)，故d点的电场强度为Ed＝2×eq \f(kQ,2L2)＋eq \f(kQ,L2)＝eq \f(2kQ,L2)；a、c两点的点电荷在O点的场强叠加后为0，故O点的电场强度为EO＝eq \f(kQ,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(L,2)))\s\up12(2))＝eq \f(4kQ,L2)，所以Ed
答案 AD
5.如图所示，在水平向右、场强大小为E的匀强电场中，在O点固定一电荷量为Q的正点电荷，A、B、C、D为以O为圆心、半径为r的同一圆周上的四点，B、D连线与电场线平行，A、C连线与电场线垂直。则( )
A.A点的电场强度大小为eq \r(E2＋k2\f(Q2,r4))
B.B点的电场强度大小为E－keq \f(Q,r2)
C.D点的电场强度大小不可能为零
D.A、C两点的电场强度相同
解析 正点电荷在A点产生的电场强度沿OA方向，大小为keq \f(Q,r2)，所以A点的合电场强度大小为eq \r(E2＋k2\f(Q2,r4))，A正确；同理，B点的电场强度大小为E＋keq \f(Q,r2)，B错误；如果E＝keq \f(Q,r2)，则D点的电场强度大小为零，C错误；A、C两点的电场强度大小相等，但方向不同，D错误。
答案 A
6.如图所示，A、B、C三点为一直角三角形的三个顶点，∠B＝30°，现在A、B两点放置两点电荷，电荷量分别为qA、qB，测得C点电场强度的方向与AB平行，则qA带________电，qA∶qB＝________。
解析 因C点场强与AB平行，则A、B一定是异号电荷，若A带正电，B带负电，则C点场强水平向右，故A带负电。如图所示
由几何关系知keq \f(qA,r2)＝eq \f(1,2)keq \f(qB,4r2)
故qA∶qB＝1∶8。
答案 负 1∶8
能力提升
7.如图所示，在光滑绝缘水平面上，三个带电小球a、b和c分别位于边长为l的正三角形的三个顶点上，a、b带正电，电荷量均为q，c带负电。整个系统置于方向水平的匀强电场中。已知静电力常量为k。若三个小球均处于静止状态，则匀强电场场强的大小为( )
A.eq \f(\r(3)kq,3l2) B.eq \f(\r(3)kq,l2)
C.eq \f(3kq,l2) D.eq \f(2\r(3)kq,l2)
解析 各小球都在力的作用下处于静止状态，分别对各小球受力分析，列平衡方程可求解。以c球为研究对象，除受a、b两个小球的库仑力外还受匀强电场的静电力，如图所示，c球处于平衡状态，据共点力平衡条件可知F静＝2keq \f(qqc,l2)cs 30°，F静＝Eqc，解得E＝eq \f(\r(3)kq,l2)，选项B正确。
答案 B
8.经过探究，某同学发现：点电荷和无限大的接地金属平板间的电场(如图甲所示)与等量异种点电荷之间的电场的分布情况(如图乙所示)完全相同。图丙中点电荷q到MN的距离OA长为L，AB是以点电荷q为圆心、L为半径的圆上的一条直径，则B点电场强度的大小为( )
A.eq \f(10kq,9L2) B.eq \f(kq,L2)
C.eq \f(8kq,9L2) D.eq \f(3kq,4L2)
解析 由甲图知B点的电场强度方向垂直于金属平板向右，若等量异种点电荷电荷量的大小均为q，它们之间的距离为2L，乙图中＋q右侧L处的场强大小为E＝eq \f(kq,L2)－eq \f(kq,9L2)＝eq \f(8kq,9L2)，根据题意可知，B点的电场强度大小与乙图中＋q右侧L处的场强大小相等，为eq \f(8kq,9L2)，故A、B、D错误，C正确。
答案 C
9.如图所示，QA＝3×10－8 C，QB＝－3×10－8 C，A、B两带电小球相距5 cm，在水平方向匀强电场作用下，A、B保持静止，悬线竖直，求A、B连线中点处的场强。(两带电小球可看成质点)
解析 以A为研究对象，B对A的库仑力和外电场对A的电场力平衡，有
E外QA＝keq \f(|QAQB|,r2)，
得E外＝eq \f(k|QB|,r2)＝eq \f(9×109×3×10－8,（5×10－2）2) N/C＝1.08×105 N/C，E外方向水平向左，故A、B中点的场强E＝eq \f(kQA,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(r,2)))\s\up12(2))＋eq \f(k|QB|,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(r,2)))\s\up12(2))－E外＝eq \f(7kQA,r2)＝7.56×105 N/C，方向向右。
答案 7.56×105 N/C 方向向右
10.在一个点电荷Q的电场中，Ox坐标轴与它的一条电场线重合，坐标轴上A、B两点的坐标分别为2 m和5 m。已知放在A、B两点的试探电荷受到的电场力方向都跟x轴的正方向相同，电场力的大小跟试探电荷所带电荷量大小的关系图像如图中直线A、B所示，放在A点的试探电荷带正电，放在B点的试探电荷带负电。求：
(1)B点的电场强度的大小和方向；
(2)试判断点电荷Q的电性，并确定点电荷Q的位置坐标。
解析 (1)由题图可得B点电场强度的大小
EB＝eq \f(F,q)＝eq \f(1,0.4) N/C＝2.5 N/C。
因B点的试探电荷带负电，而受力指向x轴的正方向，故B点场强的方向沿x轴负方向。
(2)因A点的正电荷受力和B点的负电荷受力均指向x轴的正方向，故点电荷Q位于A、B两点之间，带负电。
设点电荷Q的坐标为x，则
EA＝keq \f(Q,（x－2）2)，EB＝keq \f(Q,（5－x）2)
由题图可得EA＝40 N/C，
则eq \f(EA,EB)＝eq \f(（5－x）2,（x－2）2)＝eq \f(40,2.5)
解得x＝2.6 m或x＝1 m(不符合题意舍去)。
答案 (1)2.5 N/C，方向沿x轴负方向
(2)带负电，位置坐标x＝2.6 m
核心素养
物理观念
科学思维
1.推导点电荷的电场强度公式。
2.知道电场强度的叠加原理，并能应用这一原理进行简单的计算。
3.知道匀强电场及其电场线的特点。
通过场强叠加原理，更加熟悉矢量的合成法则——平行四边形定则。
公式
比较内容
E＝eq \f(F,q)
E＝eq \f(kQ,r2)
本质区别
定义式
点电荷场强大小的决定式
意义
给出了一种测量电场强度的方法
指明了点电荷场强大小的决定因素
适用范围
一切电场
真空中点电荷激发的电场
Q或q意义
q表示引入电场的试探电荷的电荷量
Q表示产生电场的场源电荷的电荷量
E与其他
量的关系
E用F与q的比值来表示，但E的大小与F、q的大小无关
E不仅用Q、r来表示，且E∝Q，E∝eq \f(1,r2)
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