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2019-2020学年福建省泉州市惠安县七年级（下）期末数学试卷
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2019-2020学年福建省泉州市惠安县七年级（下）期末数学试卷
一.选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有-项是符合题目要求的.
1．（4分）方程2x＝﹣4的解是（ ）
A．x＝2 B．x＝﹣2 C．x＝﹣ D．x＝﹣6
2．（4分）把不等式2x﹣1＞﹣5的解集在数轴上表示，正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（4分）下面的图形是用数学家名字命名的，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．赵爽弦图 B．笛卡尔心形线
C．科克曲线 D．斐波那契螺旋线
4．（4分）若a＞b，则下列不等式不一定成立的是（ ）
A．a+3＞b+3 B．﹣2a＜﹣2b C．＞ D．a2＞b2
5．（4分）正n边形的每个内角都是140°，则n为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
6．（4分）如图，在△ABC中，∠BAC＝55°，∠C＝20°，将△ABC绕点A逆时针旋转α角度（0＜α＜180°）得到△ADE，若DE∥AB，则α的值为（ ）
A．65° B．75° C．85° D．130°
7．（4分）一个三角形三个内角的度数之比为3：4：5，这个三角形一定是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形
8．（4分）某书店把一本新书按标价的八折出售，仍可获利10%，若该书的进价为24元，则标价为（ ）
A．30元 B．31元 C．32元 D．33元
9．（4分）利用边长相等的正三角形和正六边形地砖能够铺满地板，若在每个顶点处有a块正三角形和b块正六边形（a＞b＞0），则a+b的值为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
10．（4分）已知关于x的不等式3x﹣2a＜4﹣5x有且仅有三个正整数解，则满足条件的整数a的个数是（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.
11．（4分）已知关于x的方程4x﹣a＝3的解是x＝2，则a＝ ．
12．（4分）画出一个正五边形的所有对角线，共有 条．
13．（4分）七边形的内角和等于 度．
14．（4分）如图，△ABC≌△ADE，且点E在BC上，若∠DAB＝30°，则∠CED＝ ．
15．（4分）如图，在△ABC中，点D是BC的中点，点E是AC上一点，EC＝2AE，已知S△ABC＝24，那么S四边形DCEF＝ ．
16．（4分）某顾客到商场购买甲、乙、丙三种款式服装．若购买甲4件，乙7件，丙1件共需450元；若购买甲5件，乙9件，丙1件共需520元，则该顾客购买甲、乙、丙各一件共需 元．
三、解答题：本题共9小题，共86分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（8分）解方程：20﹣3（x+4）＝2（x﹣1）．
18．（8分）解方程组：．
19．（8分）解不等式组：并把它的解集在数轴上表示出来．
20．（8分）某学校现有若干间学生宿舍，准备安排给若干名学生住宿．原计划每间住8人，则有10间宿舍无人居住．由于疫情防控需要，每间宿舍只能住5人，则有10人无法入住．问该校现有多少间学生宿舍？
21．（8分）已知：如图1，在△ABC中，CD是AB边上的高，∠A＝∠DCB．
（1）试说明∠ACB＝90°；
（2）如图2，如果AE是角平分线，AE、CD相交于点F．那么∠CFE与∠CEF的大小相等吗？请说明理由．
22．（10分）如图，在8×5的方格图（每个小正方形边长为1个单位长度）中，点A、B、C均在格点上．请按下面要求画出图形，（不写画法，但应保留画图痕迹）
（1）将△ABC向右平移2个单位长度，得到△A1B1C1，并写出线段AA1和CC1的关系；
（2）在线段A1C1上找到一点M，使得△B1MC的周长最小．
23．（10分）如图，四边形ABCD是正方形，△ADE旋转后能与△ABF重合．
（1）判断△AEF的形状，试说明理由；
（2）若CF＝7，CE＝3，求四边形AECF的面积．
24．（12分）某中学为了加强学生体育锻炼，准备购进一批篮球和足球．据调查，某体育器材专卖店销售40个足球和60个篮球一共9200元；销售100个足球和30个篮球一共11000元．
（1）求足球和篮球的单价；
（2）该校计划使用10420元资金用于购买足球和篮球120个，且篮球数量不少于足球数量的2倍．购买时恰逢该专卖店在做优惠活动，信息如表：
球类
购买数量低于50个
购买数量不低于50个
足球
原价销售
八折销售
篮球
原价销售
九折销售
问在使用资金不超额的情况下，可有几种购买方案？如何购买费用最少？
25．（14分）在△ABC中，∠ACB的平分线CD与外角∠EAC的平分线AF所在的直线交于点D．
（1）如图1，若∠B＝60°，求∠D的度数；
（2）如图2，把△ACD沿AC翻折，点D落在D′处．
①当AD′⊥AD时，求∠BAC的度数；
②试确定∠DAD′与∠BAC的数量关系，并说明理由．
2019-2020学年福建省泉州市惠安县七年级（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一.选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有-项是符合题目要求的.
1．（4分）方程2x＝﹣4的解是（ ）
A．x＝2 B．x＝﹣2 C．x＝﹣ D．x＝﹣6
【分析】把x系数化为1，即可求出解．
【解答】解：方程2x＝﹣4，
解得：x＝﹣2．
故选：B．
2．（4分）把不等式2x﹣1＞﹣5的解集在数轴上表示，正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】按照移项，合并，系数化为1的方法计算即可．
【解答】解：移项得：2x＞1﹣5，
合并得：2x＞﹣4，
解得：x＞﹣2，
故选：C．
3．（4分）下面的图形是用数学家名字命名的，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．赵爽弦图 B．笛卡尔心形线
C．科克曲线 D．斐波那契螺旋线
【分析】根据把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【解答】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
C、是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项正确；
D、不是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
故选：C．
4．（4分）若a＞b，则下列不等式不一定成立的是（ ）
A．a+3＞b+3 B．﹣2a＜﹣2b C．＞ D．a2＞b2
【分析】根据不等式的性质逐个判断即可．
【解答】解：A．∵a＞b，
∴a+3＞b+3，故本选项不符合题意；
B．∵a＞b，
∴﹣2a＜﹣2b，故本选项不符合题意；
C．∵a＞b，
∴，故本选项不符合题意；
D．当a＝1，b＝﹣2时，满足a＞b，但是此时a2＜b2，故本选项符合题意；
故选：D．
5．（4分）正n边形的每个内角都是140°，则n为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【分析】根据多边形每个内角与其相邻的内角互补，则正n边形的每个外角的度数＝180°﹣140°＝40°，然后根据多边形的外角和为360°即可得到n的值．
【解答】解：∵正n边形的每个内角都是140°，
∴正n边形的每个外角的度数＝180°﹣140°＝40°，
∴n＝＝9．
故选：C．
6．（4分）如图，在△ABC中，∠BAC＝55°，∠C＝20°，将△ABC绕点A逆时针旋转α角度（0＜α＜180°）得到△ADE，若DE∥AB，则α的值为（ ）
A．65° B．75° C．85° D．130°
【分析】根据三角形内角和定理求出∠ABC，根据旋转得出∠EDA＝∠ABC＝105°，根据平行线的性质求出∠DAB即可．
【解答】解：∵在△ABC中，∠BAC＝55°，∠C＝20°，
∴∠ABC＝180°﹣∠BAC﹣∠C═180°﹣55°﹣20°＝105°，
∵将△ABC绕点A逆时针旋转α角度（0＜α＜180°）得到△ADE，
∴∠ADE＝∠ABC＝105°，
∵DE∥AB，
∴∠ADE+∠DAB＝180°，
∴∠DAB＝180°﹣∠ADE＝75°
∴旋转角α的度数是75°，
故选：B．
7．（4分）一个三角形三个内角的度数之比为3：4：5，这个三角形一定是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形
【分析】由题意知：把这个三角形的内角和180°平均分了12份，最大角占总和的，根据分数乘法的意义求出三角形最大内角即可．
【解答】解：因为3+4+5＝12，
5÷12＝，
180°×＝75°，
所以这个三角形里最大的角是锐角，
所以另两个角也是锐角，
三个角都是锐角的三角形是锐角三角形，
所以这个三角形是锐角三角形．
故选：A．
8．（4分）某书店把一本新书按标价的八折出售，仍可获利10%，若该书的进价为24元，则标价为（ ）
A．30元 B．31元 C．32元 D．33元
【分析】设这本新书的标价为x元，根据利润＝售价﹣进价，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．
【解答】解：设这本新书的标价为x元，
依题意得：0.8x﹣24＝24×10%，
解得：x＝33．
故选：D．
9．（4分）利用边长相等的正三角形和正六边形地砖能够铺满地板，若在每个顶点处有a块正三角形和b块正六边形（a＞b＞0），则a+b的值为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【分析】正多边形的组合能否进行平面镶嵌，关键是看位于同一顶点处的几个角之和能否为360°．若能，则说明可以进行平面镶嵌；反之，则说明不能进行平面镶嵌．
【解答】解：∵正三边形和正六边形内角分别为60°、120°，
60°×4+120°＝360°，或60°×2+120°×2＝360°，
∴a＝4，b＝1或a＝2，b＝2，
∵a＞b＞0，
∴a＝4，b＝1，
∴a+b＝4+1＝5，
故选：B．
10．（4分）已知关于x的不等式3x﹣2a＜4﹣5x有且仅有三个正整数解，则满足条件的整数a的个数是（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
【分析】先求出不等式的解集，根据不等式的整数解得出关于a的不等式组，求出不等式组的解集，再求出整数a即可．
【解答】解：解不等式3x﹣2a＜4﹣5x得：x＜，
∵关于x的不等式3x﹣2a＜4﹣5x有且仅有三个正整数解，是1，2，3，
∴3＜≤4，
解得：10＜a≤14，
∴整数a可以是11，12，13，14，共4个，
故选：B．
二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.
11．（4分）已知关于x的方程4x﹣a＝3的解是x＝2，则a＝ 5 ．
【分析】直接把x的值进而代入求出答案．
【解答】解：∵关于x的方程4x﹣a＝3的解是x＝2，
∴8﹣a＝3，
解得：a＝5．
故答案为：5．
12．（4分）画出一个正五边形的所有对角线，共有 5 条．
【分析】根据求多边形对角线的公式解答即可．
【解答】解：如图所示：
五边形的对角线共有＝5（条）．
故答案为：5．
13．（4分）七边形的内角和等于 900 度．
【分析】n边形的内角和是（n﹣2）•180°，把多边形的边数代入公式，就得到多边形的内角和．
【解答】解：（7﹣2）•180＝900度，则七边形的内角和等于900度．
14．（4分）如图，△ABC≌△ADE，且点E在BC上，若∠DAB＝30°，则∠CED＝ 150° ．
【分析】根据全等三角形的性质得到∠B＝∠D，根据对顶角相等得到∠BHE＝∠DHA，求出∠BED，根据邻补角的定义计算，得到答案．
【解答】解：∵△ABC≌△ADE，
∴∠B＝∠D，
∵∠BHE＝∠DHA，
∴∠BED＝∠DAB＝30°，
∴∠CED＝180°﹣∠BED＝150°，
故答案为：150°．
15．（4分）如图，在△ABC中，点D是BC的中点，点E是AC上一点，EC＝2AE，已知S△ABC＝24，那么S四边形DCEF＝ 10 ．
【分析】作DK∥AC，交BE于K，连接CF，利用三角形中位线定理可得KD＝EC＝AE，可证明△KDF≌△EAF，得到DF＝AF，因为△ABC的面积为24，所以S△ADC＝12，S△AFC＝S△DFC＝6，因为S△AEF＝S△AFC＝2，根据四边形CDFE的面积＝S△ADC﹣S△AEF，即可得出四边形CDFE的面积．
【解答】解：如图，作DK∥AC，交BE于K，连接CF，
∴∠KDF＝∠EAF，∠DKF＝∠AEF，
∵点D是BC的中点，EC＝2AE，
∴KD＝EC＝AE，
在△KDF和△EAF中
∴△KDF≌△EAF（ASA），
∴DF＝AF，
∵△ABC的面积为24，
∴S△ADC＝12，
∴S△AFC＝S△DFC＝6，
∵S△AEF＝S△AFC＝2，
∴S四边形DCEF＝S△ADC﹣S△AEF＝12﹣2＝10．
故答案为：10．
16．（4分）某顾客到商场购买甲、乙、丙三种款式服装．若购买甲4件，乙7件，丙1件共需450元；若购买甲5件，乙9件，丙1件共需520元，则该顾客购买甲、乙、丙各一件共需 240 元．
【分析】等量关系为：甲4件的总价+乙7件的总价+丙1件的总价＝450，甲5件的总价+乙9件的总价+丙1件的总价＝520，把相关数值代入，都整理为等式左边为x+y+z的等式，设法消去等号右边含未知数的项，可得甲、乙、丙各1件共需的费用．
【解答】解：设购买甲、乙、丙各1件分别需要x，y，z元，
依题意得，，
由①×4﹣②×3得，x+y+z＝240，
即现在购买甲、乙、丙各1件，共需240元．
故答案为：240．
三、解答题：本题共9小题，共86分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（8分）解方程：20﹣3（x+4）＝2（x﹣1）．
【分析】通过去括号，移项，合并同类项，系数化成“1”，进行解答．
【解答】解：20﹣3x﹣12＝2x﹣2，
﹣3x﹣2x＝﹣2﹣20+12，
﹣5x＝﹣10，
x＝2．
18．（8分）解方程组：．
【分析】利用代入消元法解答即可．
【解答】解：，
将①代入②得，x+3（2x+1）＝﹣11．
解得x＝﹣2，
把x＝﹣2代入①，得y＝﹣3．
∴方程组的解为．
19．（8分）解不等式组：并把它的解集在数轴上表示出来．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
【解答】解：解不等式①，得：x≥2，
解不等式②，得：x＜3，
则不等式组的解集为2≤x＜3，
将不等式组的解集表示在数轴上如下：
20．（8分）某学校现有若干间学生宿舍，准备安排给若干名学生住宿．原计划每间住8人，则有10间宿舍无人居住．由于疫情防控需要，每间宿舍只能住5人，则有10人无法入住．问该校现有多少间学生宿舍？
【分析】设该校现有x间学生宿舍，共安排y名学生住宿，根据“原计划每间住8人，则有10间宿舍无人居住．由于疫情防控需要，每间宿舍只能住5人，则有10人无法入住”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论．
【解答】解：设该校现有x间学生宿舍，共安排y名学生住宿，
依题意，得：，
解得：．
答：该校现有30间学生宿舍．
21．（8分）已知：如图1，在△ABC中，CD是AB边上的高，∠A＝∠DCB．
（1）试说明∠ACB＝90°；
（2）如图2，如果AE是角平分线，AE、CD相交于点F．那么∠CFE与∠CEF的大小相等吗？请说明理由．
【分析】（1）根据高定义求出∠CDA＝90°，根据三角形内角和定理求出∠A+∠ACD＝90°，再求出答案即可；
（2）根据角平分线的定义得出∠CAE＝∠BAE，根据三角形内角和定理求出∠CEF＝∠DFA，根据对顶角相等求出即可．
【解答】（1）解：∵CD是AB边上的高，
∴∠CDA＝90°，
∴∠A+∠ACD＝90°，
∵∠A＝∠DCB，
∴∠ACB＝∠ACD+∠BCD＝∠ACD+∠A＝90°；
（2）解：∠CFE＝∠CEF，
理由是：∵AE平分∠CAB，
∴∠CAE＝∠BAE，
∵∠CDA＝∠BCA＝90°，∠DFA＝180°﹣（∠CDA+∠BAE），∠CEA＝180°﹣（∠BCA+∠CAE），
∴∠CEF＝∠DFA，
∵∠DFA＝∠CFE，
∴∠CFE＝∠CEF．
22．（10分）如图，在8×5的方格图（每个小正方形边长为1个单位长度）中，点A、B、C均在格点上．请按下面要求画出图形，（不写画法，但应保留画图痕迹）
（1）将△ABC向右平移2个单位长度，得到△A1B1C1，并写出线段AA1和CC1的关系；
（2）在线段A1C1上找到一点M，使得△B1MC的周长最小．
【分析】（1）首先确定A、B、C三点平移后的位置，再连接即可；
（2）首先确定C关于A1C1的对称点C′，再连接B1C，与交A1C1的交点就是M点．
【解答】解：（1）如图所示：△A1B1C1即为所求，
AA1平行且等于CC1；
（2）首先确定C关于A1C1的对称点C′，再连接B1C，交A1C1的点M，点M即为所求．
23．（10分）如图，四边形ABCD是正方形，△ADE旋转后能与△ABF重合．
（1）判断△AEF的形状，试说明理由；
（2）若CF＝7，CE＝3，求四边形AECF的面积．
【分析】（1）利用旋转的性质得到AE＝AF，∠EAF＝∠DAB＝90°，则可判断△AEF为等腰直角三角形；
（2）利用旋转的性质得到BF＝DE，∠D＝∠ABF＝90°，则可判断F点在CB的延长线上，所以四边形AECF的面积＝S正方形ABCD，再利用CB+BF＝CB+DE＝7，DE＝CB﹣CE＝CB﹣3可计算出BC的长，从而得到四边形AECF的面积．
【解答】解：（1）△AEF为等腰直角三角形．
理由如下：
∵四边形ABCD为正方形，
∴AD＝AB，∠BAC＝∠D＝∠ABC＝90°，
∵△ADE旋转后能与△ABF重合，
∴AE＝AF，∠EAF＝∠DAB＝90°，
∴△AEF为等腰直角三角形；
（2）∵△ADE旋转后能与△ABF重合，
∴BF＝DE，∠D＝∠ABF＝90°，
∴∠ABC+∠ABF＝90°，
∴F点在CB的延长线上，
∴四边形AECF的面积＝S△ABF+S四边形AECB＝S△ADE+S四边形AECB＝S正方形ABCD，
∵CF＝7，
∴CB+BF＝CB+DE＝7，
而DE＝CD﹣CE＝CB﹣CE＝CB﹣3，
∴CB+CB﹣3＝7，解得CB＝5，
∴四边形AECF的面积＝S正方形ABCD＝52＝25．
24．（12分）某中学为了加强学生体育锻炼，准备购进一批篮球和足球．据调查，某体育器材专卖店销售40个足球和60个篮球一共9200元；销售100个足球和30个篮球一共11000元．
（1）求足球和篮球的单价；
（2）该校计划使用10420元资金用于购买足球和篮球120个，且篮球数量不少于足球数量的2倍．购买时恰逢该专卖店在做优惠活动，信息如表：
球类
购买数量低于50个
购买数量不低于50个
足球
原价销售
八折销售
篮球
原价销售
九折销售
问在使用资金不超额的情况下，可有几种购买方案？如何购买费用最少？
【分析】（1）利用二元一次方程组即可求出足球、篮球的单价，
（2）设购买足球x个，则购买篮球（120﹣x）个，根据题意求出x的取值范围，再根据（1）的结论列不等式即可得出购买方案．
【解答】解：（1）设足球每个x元，篮球每个y元，由题意得：
，
解得，
答：足球每个80元，篮球每个100元．
（2）设购买足球x个，则购买篮球（120﹣x）个，根据题意得：
120﹣x≥2x，
解得x≤40，
由题意得：80x+100×0.9（120﹣x）≤10420，
解得x≥38，
∴38≤x≤40，
∵x为正整数，
∴有3种购买方案：①购买足球38个，篮球82个；②购买足球39个，篮球81个；③购买足球40个，篮球80个．
∵购买篮球的单价大于购买足球的单价，所以方案③购买费用最少．
25．（14分）在△ABC中，∠ACB的平分线CD与外角∠EAC的平分线AF所在的直线交于点D．
（1）如图1，若∠B＝60°，求∠D的度数；
（2）如图2，把△ACD沿AC翻折，点D落在D′处．
①当AD′⊥AD时，求∠BAC的度数；
②试确定∠DAD′与∠BAC的数量关系，并说明理由．
【分析】（1）利用角平分线的定义和三角形的外角的性质进行代换可以得出∠B＝2∠D，已知∠B＝60°，可求∠D的度数；
（2）①根据折叠，可得等角，再利用特殊角，和周角的意义可以计算出∠DAC的度数，再利用平角的意义，可求出∠CAF，进而得出∠BAC的度数；
②设∠DAD′为任意角度，通过折叠、外角、角平分线，平角等代换，得出∠DAD′与∠BAC的数量关系，即∠DAD′与∠BAC互补的结论．
【解答】解：（1）如图1，
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD＝∠DCB＝∠ACB，
∵AF是外角∠EAC的平分线，
∴∠CAF＝∠FAE＝∠CAE，
又∵∠CAF＝∠D+∠ACD，
∠CAE＝∠B+∠ACB，
∴∠D＝∠B＝30°；
（2）如图2，又折叠得：∠DAC＝∠D′AC，
①当AD′⊥AD时，即；∠DAD′＝90°，
∴∠DAC＝∠D′AC＝135°，
∴∠CAF＝180°﹣135°＝45°＝∠FAE，
∴∠BAC＝180°﹣45°﹣45°＝90°，
答：当AD′⊥AD时，∠BAC＝90°．
②设∠DAD′＝α，则∠DAC＝∠D′AC＝（360°﹣α）＝180°﹣α，
∴∠CAF＝180°﹣∠DAC＝180°﹣（180°﹣α）＝α，
∴∠CAE＝2∠CAF＝α，
∴∠BAC＝180°﹣α，
即：∠BAC+∠DAD′＝180°，
答：∠DAD′与∠BAC的数量关系是：∠BAC+∠DAD′＝180°．
一.选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有-项是符合题目要求的.
1．（4分）方程2x＝﹣4的解是（ ）
A．x＝2 B．x＝﹣2 C．x＝﹣ D．x＝﹣6
2．（4分）把不等式2x﹣1＞﹣5的解集在数轴上表示，正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（4分）下面的图形是用数学家名字命名的，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．赵爽弦图 B．笛卡尔心形线
C．科克曲线 D．斐波那契螺旋线
4．（4分）若a＞b，则下列不等式不一定成立的是（ ）
A．a+3＞b+3 B．﹣2a＜﹣2b C．＞ D．a2＞b2
5．（4分）正n边形的每个内角都是140°，则n为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
6．（4分）如图，在△ABC中，∠BAC＝55°，∠C＝20°，将△ABC绕点A逆时针旋转α角度（0＜α＜180°）得到△ADE，若DE∥AB，则α的值为（ ）
A．65° B．75° C．85° D．130°
7．（4分）一个三角形三个内角的度数之比为3：4：5，这个三角形一定是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形
8．（4分）某书店把一本新书按标价的八折出售，仍可获利10%，若该书的进价为24元，则标价为（ ）
A．30元 B．31元 C．32元 D．33元
9．（4分）利用边长相等的正三角形和正六边形地砖能够铺满地板，若在每个顶点处有a块正三角形和b块正六边形（a＞b＞0），则a+b的值为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
10．（4分）已知关于x的不等式3x﹣2a＜4﹣5x有且仅有三个正整数解，则满足条件的整数a的个数是（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.
11．（4分）已知关于x的方程4x﹣a＝3的解是x＝2，则a＝ ．
12．（4分）画出一个正五边形的所有对角线，共有 条．
13．（4分）七边形的内角和等于 度．
14．（4分）如图，△ABC≌△ADE，且点E在BC上，若∠DAB＝30°，则∠CED＝ ．
15．（4分）如图，在△ABC中，点D是BC的中点，点E是AC上一点，EC＝2AE，已知S△ABC＝24，那么S四边形DCEF＝ ．
16．（4分）某顾客到商场购买甲、乙、丙三种款式服装．若购买甲4件，乙7件，丙1件共需450元；若购买甲5件，乙9件，丙1件共需520元，则该顾客购买甲、乙、丙各一件共需 元．
三、解答题：本题共9小题，共86分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（8分）解方程：20﹣3（x+4）＝2（x﹣1）．
18．（8分）解方程组：．
19．（8分）解不等式组：并把它的解集在数轴上表示出来．
20．（8分）某学校现有若干间学生宿舍，准备安排给若干名学生住宿．原计划每间住8人，则有10间宿舍无人居住．由于疫情防控需要，每间宿舍只能住5人，则有10人无法入住．问该校现有多少间学生宿舍？
21．（8分）已知：如图1，在△ABC中，CD是AB边上的高，∠A＝∠DCB．
（1）试说明∠ACB＝90°；
（2）如图2，如果AE是角平分线，AE、CD相交于点F．那么∠CFE与∠CEF的大小相等吗？请说明理由．
22．（10分）如图，在8×5的方格图（每个小正方形边长为1个单位长度）中，点A、B、C均在格点上．请按下面要求画出图形，（不写画法，但应保留画图痕迹）
（1）将△ABC向右平移2个单位长度，得到△A1B1C1，并写出线段AA1和CC1的关系；
（2）在线段A1C1上找到一点M，使得△B1MC的周长最小．
23．（10分）如图，四边形ABCD是正方形，△ADE旋转后能与△ABF重合．
（1）判断△AEF的形状，试说明理由；
（2）若CF＝7，CE＝3，求四边形AECF的面积．
24．（12分）某中学为了加强学生体育锻炼，准备购进一批篮球和足球．据调查，某体育器材专卖店销售40个足球和60个篮球一共9200元；销售100个足球和30个篮球一共11000元．
（1）求足球和篮球的单价；
（2）该校计划使用10420元资金用于购买足球和篮球120个，且篮球数量不少于足球数量的2倍．购买时恰逢该专卖店在做优惠活动，信息如表：
球类
购买数量低于50个
购买数量不低于50个
足球
原价销售
八折销售
篮球
原价销售
九折销售
问在使用资金不超额的情况下，可有几种购买方案？如何购买费用最少？
25．（14分）在△ABC中，∠ACB的平分线CD与外角∠EAC的平分线AF所在的直线交于点D．
（1）如图1，若∠B＝60°，求∠D的度数；
（2）如图2，把△ACD沿AC翻折，点D落在D′处．
①当AD′⊥AD时，求∠BAC的度数；
②试确定∠DAD′与∠BAC的数量关系，并说明理由．
2019-2020学年福建省泉州市惠安县七年级（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一.选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有-项是符合题目要求的.
1．（4分）方程2x＝﹣4的解是（ ）
A．x＝2 B．x＝﹣2 C．x＝﹣ D．x＝﹣6
【分析】把x系数化为1，即可求出解．
【解答】解：方程2x＝﹣4，
解得：x＝﹣2．
故选：B．
2．（4分）把不等式2x﹣1＞﹣5的解集在数轴上表示，正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】按照移项，合并，系数化为1的方法计算即可．
【解答】解：移项得：2x＞1﹣5，
合并得：2x＞﹣4，
解得：x＞﹣2，
故选：C．
3．（4分）下面的图形是用数学家名字命名的，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．赵爽弦图 B．笛卡尔心形线
C．科克曲线 D．斐波那契螺旋线
【分析】根据把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【解答】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
C、是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项正确；
D、不是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
故选：C．
4．（4分）若a＞b，则下列不等式不一定成立的是（ ）
A．a+3＞b+3 B．﹣2a＜﹣2b C．＞ D．a2＞b2
【分析】根据不等式的性质逐个判断即可．
【解答】解：A．∵a＞b，
∴a+3＞b+3，故本选项不符合题意；
B．∵a＞b，
∴﹣2a＜﹣2b，故本选项不符合题意；
C．∵a＞b，
∴，故本选项不符合题意；
D．当a＝1，b＝﹣2时，满足a＞b，但是此时a2＜b2，故本选项符合题意；
故选：D．
5．（4分）正n边形的每个内角都是140°，则n为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【分析】根据多边形每个内角与其相邻的内角互补，则正n边形的每个外角的度数＝180°﹣140°＝40°，然后根据多边形的外角和为360°即可得到n的值．
【解答】解：∵正n边形的每个内角都是140°，
∴正n边形的每个外角的度数＝180°﹣140°＝40°，
∴n＝＝9．
故选：C．
6．（4分）如图，在△ABC中，∠BAC＝55°，∠C＝20°，将△ABC绕点A逆时针旋转α角度（0＜α＜180°）得到△ADE，若DE∥AB，则α的值为（ ）
A．65° B．75° C．85° D．130°
【分析】根据三角形内角和定理求出∠ABC，根据旋转得出∠EDA＝∠ABC＝105°，根据平行线的性质求出∠DAB即可．
【解答】解：∵在△ABC中，∠BAC＝55°，∠C＝20°，
∴∠ABC＝180°﹣∠BAC﹣∠C═180°﹣55°﹣20°＝105°，
∵将△ABC绕点A逆时针旋转α角度（0＜α＜180°）得到△ADE，
∴∠ADE＝∠ABC＝105°，
∵DE∥AB，
∴∠ADE+∠DAB＝180°，
∴∠DAB＝180°﹣∠ADE＝75°
∴旋转角α的度数是75°，
故选：B．
7．（4分）一个三角形三个内角的度数之比为3：4：5，这个三角形一定是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形
【分析】由题意知：把这个三角形的内角和180°平均分了12份，最大角占总和的，根据分数乘法的意义求出三角形最大内角即可．
【解答】解：因为3+4+5＝12，
5÷12＝，
180°×＝75°，
所以这个三角形里最大的角是锐角，
所以另两个角也是锐角，
三个角都是锐角的三角形是锐角三角形，
所以这个三角形是锐角三角形．
故选：A．
8．（4分）某书店把一本新书按标价的八折出售，仍可获利10%，若该书的进价为24元，则标价为（ ）
A．30元 B．31元 C．32元 D．33元
【分析】设这本新书的标价为x元，根据利润＝售价﹣进价，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．
【解答】解：设这本新书的标价为x元，
依题意得：0.8x﹣24＝24×10%，
解得：x＝33．
故选：D．
9．（4分）利用边长相等的正三角形和正六边形地砖能够铺满地板，若在每个顶点处有a块正三角形和b块正六边形（a＞b＞0），则a+b的值为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【分析】正多边形的组合能否进行平面镶嵌，关键是看位于同一顶点处的几个角之和能否为360°．若能，则说明可以进行平面镶嵌；反之，则说明不能进行平面镶嵌．
【解答】解：∵正三边形和正六边形内角分别为60°、120°，
60°×4+120°＝360°，或60°×2+120°×2＝360°，
∴a＝4，b＝1或a＝2，b＝2，
∵a＞b＞0，
∴a＝4，b＝1，
∴a+b＝4+1＝5，
故选：B．
10．（4分）已知关于x的不等式3x﹣2a＜4﹣5x有且仅有三个正整数解，则满足条件的整数a的个数是（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
【分析】先求出不等式的解集，根据不等式的整数解得出关于a的不等式组，求出不等式组的解集，再求出整数a即可．
【解答】解：解不等式3x﹣2a＜4﹣5x得：x＜，
∵关于x的不等式3x﹣2a＜4﹣5x有且仅有三个正整数解，是1，2，3，
∴3＜≤4，
解得：10＜a≤14，
∴整数a可以是11，12，13，14，共4个，
故选：B．
二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.
11．（4分）已知关于x的方程4x﹣a＝3的解是x＝2，则a＝ 5 ．
【分析】直接把x的值进而代入求出答案．
【解答】解：∵关于x的方程4x﹣a＝3的解是x＝2，
∴8﹣a＝3，
解得：a＝5．
故答案为：5．
12．（4分）画出一个正五边形的所有对角线，共有 5 条．
【分析】根据求多边形对角线的公式解答即可．
【解答】解：如图所示：
五边形的对角线共有＝5（条）．
故答案为：5．
13．（4分）七边形的内角和等于 900 度．
【分析】n边形的内角和是（n﹣2）•180°，把多边形的边数代入公式，就得到多边形的内角和．
【解答】解：（7﹣2）•180＝900度，则七边形的内角和等于900度．
14．（4分）如图，△ABC≌△ADE，且点E在BC上，若∠DAB＝30°，则∠CED＝ 150° ．
【分析】根据全等三角形的性质得到∠B＝∠D，根据对顶角相等得到∠BHE＝∠DHA，求出∠BED，根据邻补角的定义计算，得到答案．
【解答】解：∵△ABC≌△ADE，
∴∠B＝∠D，
∵∠BHE＝∠DHA，
∴∠BED＝∠DAB＝30°，
∴∠CED＝180°﹣∠BED＝150°，
故答案为：150°．
15．（4分）如图，在△ABC中，点D是BC的中点，点E是AC上一点，EC＝2AE，已知S△ABC＝24，那么S四边形DCEF＝ 10 ．
【分析】作DK∥AC，交BE于K，连接CF，利用三角形中位线定理可得KD＝EC＝AE，可证明△KDF≌△EAF，得到DF＝AF，因为△ABC的面积为24，所以S△ADC＝12，S△AFC＝S△DFC＝6，因为S△AEF＝S△AFC＝2，根据四边形CDFE的面积＝S△ADC﹣S△AEF，即可得出四边形CDFE的面积．
【解答】解：如图，作DK∥AC，交BE于K，连接CF，
∴∠KDF＝∠EAF，∠DKF＝∠AEF，
∵点D是BC的中点，EC＝2AE，
∴KD＝EC＝AE，
在△KDF和△EAF中
∴△KDF≌△EAF（ASA），
∴DF＝AF，
∵△ABC的面积为24，
∴S△ADC＝12，
∴S△AFC＝S△DFC＝6，
∵S△AEF＝S△AFC＝2，
∴S四边形DCEF＝S△ADC﹣S△AEF＝12﹣2＝10．
故答案为：10．
16．（4分）某顾客到商场购买甲、乙、丙三种款式服装．若购买甲4件，乙7件，丙1件共需450元；若购买甲5件，乙9件，丙1件共需520元，则该顾客购买甲、乙、丙各一件共需 240 元．
【分析】等量关系为：甲4件的总价+乙7件的总价+丙1件的总价＝450，甲5件的总价+乙9件的总价+丙1件的总价＝520，把相关数值代入，都整理为等式左边为x+y+z的等式，设法消去等号右边含未知数的项，可得甲、乙、丙各1件共需的费用．
【解答】解：设购买甲、乙、丙各1件分别需要x，y，z元，
依题意得，，
由①×4﹣②×3得，x+y+z＝240，
即现在购买甲、乙、丙各1件，共需240元．
故答案为：240．
三、解答题：本题共9小题，共86分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（8分）解方程：20﹣3（x+4）＝2（x﹣1）．
【分析】通过去括号，移项，合并同类项，系数化成“1”，进行解答．
【解答】解：20﹣3x﹣12＝2x﹣2，
﹣3x﹣2x＝﹣2﹣20+12，
﹣5x＝﹣10，
x＝2．
18．（8分）解方程组：．
【分析】利用代入消元法解答即可．
【解答】解：，
将①代入②得，x+3（2x+1）＝﹣11．
解得x＝﹣2，
把x＝﹣2代入①，得y＝﹣3．
∴方程组的解为．
19．（8分）解不等式组：并把它的解集在数轴上表示出来．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
【解答】解：解不等式①，得：x≥2，
解不等式②，得：x＜3，
则不等式组的解集为2≤x＜3，
将不等式组的解集表示在数轴上如下：
20．（8分）某学校现有若干间学生宿舍，准备安排给若干名学生住宿．原计划每间住8人，则有10间宿舍无人居住．由于疫情防控需要，每间宿舍只能住5人，则有10人无法入住．问该校现有多少间学生宿舍？
【分析】设该校现有x间学生宿舍，共安排y名学生住宿，根据“原计划每间住8人，则有10间宿舍无人居住．由于疫情防控需要，每间宿舍只能住5人，则有10人无法入住”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论．
【解答】解：设该校现有x间学生宿舍，共安排y名学生住宿，
依题意，得：，
解得：．
答：该校现有30间学生宿舍．
21．（8分）已知：如图1，在△ABC中，CD是AB边上的高，∠A＝∠DCB．
（1）试说明∠ACB＝90°；
（2）如图2，如果AE是角平分线，AE、CD相交于点F．那么∠CFE与∠CEF的大小相等吗？请说明理由．
【分析】（1）根据高定义求出∠CDA＝90°，根据三角形内角和定理求出∠A+∠ACD＝90°，再求出答案即可；
（2）根据角平分线的定义得出∠CAE＝∠BAE，根据三角形内角和定理求出∠CEF＝∠DFA，根据对顶角相等求出即可．
【解答】（1）解：∵CD是AB边上的高，
∴∠CDA＝90°，
∴∠A+∠ACD＝90°，
∵∠A＝∠DCB，
∴∠ACB＝∠ACD+∠BCD＝∠ACD+∠A＝90°；
（2）解：∠CFE＝∠CEF，
理由是：∵AE平分∠CAB，
∴∠CAE＝∠BAE，
∵∠CDA＝∠BCA＝90°，∠DFA＝180°﹣（∠CDA+∠BAE），∠CEA＝180°﹣（∠BCA+∠CAE），
∴∠CEF＝∠DFA，
∵∠DFA＝∠CFE，
∴∠CFE＝∠CEF．
22．（10分）如图，在8×5的方格图（每个小正方形边长为1个单位长度）中，点A、B、C均在格点上．请按下面要求画出图形，（不写画法，但应保留画图痕迹）
（1）将△ABC向右平移2个单位长度，得到△A1B1C1，并写出线段AA1和CC1的关系；
（2）在线段A1C1上找到一点M，使得△B1MC的周长最小．
【分析】（1）首先确定A、B、C三点平移后的位置，再连接即可；
（2）首先确定C关于A1C1的对称点C′，再连接B1C，与交A1C1的交点就是M点．
【解答】解：（1）如图所示：△A1B1C1即为所求，
AA1平行且等于CC1；
（2）首先确定C关于A1C1的对称点C′，再连接B1C，交A1C1的点M，点M即为所求．
23．（10分）如图，四边形ABCD是正方形，△ADE旋转后能与△ABF重合．
（1）判断△AEF的形状，试说明理由；
（2）若CF＝7，CE＝3，求四边形AECF的面积．
【分析】（1）利用旋转的性质得到AE＝AF，∠EAF＝∠DAB＝90°，则可判断△AEF为等腰直角三角形；
（2）利用旋转的性质得到BF＝DE，∠D＝∠ABF＝90°，则可判断F点在CB的延长线上，所以四边形AECF的面积＝S正方形ABCD，再利用CB+BF＝CB+DE＝7，DE＝CB﹣CE＝CB﹣3可计算出BC的长，从而得到四边形AECF的面积．
【解答】解：（1）△AEF为等腰直角三角形．
理由如下：
∵四边形ABCD为正方形，
∴AD＝AB，∠BAC＝∠D＝∠ABC＝90°，
∵△ADE旋转后能与△ABF重合，
∴AE＝AF，∠EAF＝∠DAB＝90°，
∴△AEF为等腰直角三角形；
（2）∵△ADE旋转后能与△ABF重合，
∴BF＝DE，∠D＝∠ABF＝90°，
∴∠ABC+∠ABF＝90°，
∴F点在CB的延长线上，
∴四边形AECF的面积＝S△ABF+S四边形AECB＝S△ADE+S四边形AECB＝S正方形ABCD，
∵CF＝7，
∴CB+BF＝CB+DE＝7，
而DE＝CD﹣CE＝CB﹣CE＝CB﹣3，
∴CB+CB﹣3＝7，解得CB＝5，
∴四边形AECF的面积＝S正方形ABCD＝52＝25．
24．（12分）某中学为了加强学生体育锻炼，准备购进一批篮球和足球．据调查，某体育器材专卖店销售40个足球和60个篮球一共9200元；销售100个足球和30个篮球一共11000元．
（1）求足球和篮球的单价；
（2）该校计划使用10420元资金用于购买足球和篮球120个，且篮球数量不少于足球数量的2倍．购买时恰逢该专卖店在做优惠活动，信息如表：
球类
购买数量低于50个
购买数量不低于50个
足球
原价销售
八折销售
篮球
原价销售
九折销售
问在使用资金不超额的情况下，可有几种购买方案？如何购买费用最少？
【分析】（1）利用二元一次方程组即可求出足球、篮球的单价，
（2）设购买足球x个，则购买篮球（120﹣x）个，根据题意求出x的取值范围，再根据（1）的结论列不等式即可得出购买方案．
【解答】解：（1）设足球每个x元，篮球每个y元，由题意得：
，
解得，
答：足球每个80元，篮球每个100元．
（2）设购买足球x个，则购买篮球（120﹣x）个，根据题意得：
120﹣x≥2x，
解得x≤40，
由题意得：80x+100×0.9（120﹣x）≤10420，
解得x≥38，
∴38≤x≤40，
∵x为正整数，
∴有3种购买方案：①购买足球38个，篮球82个；②购买足球39个，篮球81个；③购买足球40个，篮球80个．
∵购买篮球的单价大于购买足球的单价，所以方案③购买费用最少．
25．（14分）在△ABC中，∠ACB的平分线CD与外角∠EAC的平分线AF所在的直线交于点D．
（1）如图1，若∠B＝60°，求∠D的度数；
（2）如图2，把△ACD沿AC翻折，点D落在D′处．
①当AD′⊥AD时，求∠BAC的度数；
②试确定∠DAD′与∠BAC的数量关系，并说明理由．
【分析】（1）利用角平分线的定义和三角形的外角的性质进行代换可以得出∠B＝2∠D，已知∠B＝60°，可求∠D的度数；
（2）①根据折叠，可得等角，再利用特殊角，和周角的意义可以计算出∠DAC的度数，再利用平角的意义，可求出∠CAF，进而得出∠BAC的度数；
②设∠DAD′为任意角度，通过折叠、外角、角平分线，平角等代换，得出∠DAD′与∠BAC的数量关系，即∠DAD′与∠BAC互补的结论．
【解答】解：（1）如图1，
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD＝∠DCB＝∠ACB，
∵AF是外角∠EAC的平分线，
∴∠CAF＝∠FAE＝∠CAE，
又∵∠CAF＝∠D+∠ACD，
∠CAE＝∠B+∠ACB，
∴∠D＝∠B＝30°；
（2）如图2，又折叠得：∠DAC＝∠D′AC，
①当AD′⊥AD时，即；∠DAD′＝90°，
∴∠DAC＝∠D′AC＝135°，
∴∠CAF＝180°﹣135°＝45°＝∠FAE，
∴∠BAC＝180°﹣45°﹣45°＝90°，
答：当AD′⊥AD时，∠BAC＝90°．
②设∠DAD′＝α，则∠DAC＝∠D′AC＝（360°﹣α）＝180°﹣α，
∴∠CAF＝180°﹣∠DAC＝180°﹣（180°﹣α）＝α，
∴∠CAE＝2∠CAF＝α，
∴∠BAC＝180°﹣α，
即：∠BAC+∠DAD′＝180°，
答：∠DAD′与∠BAC的数量关系是：∠BAC+∠DAD′＝180°．
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