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2020-2021学年湖南省长沙市雨花区南雅中学九年级（上）开学数学试卷
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2020-2021学年湖南省长沙市雨花区南雅中学九年级（上）开学数学试卷
一、选择题（每小题3分，共36分）
1．（3分）﹣12020＝（ ）
A．1 B．﹣1 C．2020 D．﹣2020
2．（3分）下列图形中，不是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
3．（3分）今年的政府工作报告中指出：去年脱贫攻坚取得决定性成就，农村贫困人口减少1109万．数字1109万用科学记数法可表示为（ ）
A．1.109×107 B．1.109×106 C．0.1109×108 D．11.09×106
4．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．x5÷x3＝x2 B．（y5）2＝y7 C． D．
5．（3分）下列各函数中，x逐渐增大y反而减小的函数是（ ）
A．y＝x B．y＝﹣x C．y＝x2 D．y＝4x﹣1
6．（3分）下列命题是真命题的是（ ）
A．一组邻边相等的平行四边形是菱形
B．菱形的对角线相等
C．对角线互相垂直的平行四边形是正方形
D．四边都相等的四边形是矩形
7．（3分）不等式组的解集在数轴上可表示为（ ）
A． B．
C． D．
8．（3分）初三数学课本上，用“描点法”画二次函数y＝ax2+bx+c的图象时．列了如下表格：
x
…
﹣2
﹣1
0
1
2
…
y
…
3
4
3
0
﹣5
…
根据表格上的信息回答问题：一元二次方程ax2+bx+c＝﹣5的解为（ ）
A．x1＝2，x2＝﹣2 B．x1＝2，x2＝﹣3 C．x1＝2，x2＝﹣4 D．x1＝2，x2＝﹣5
9．（3分）如图，矩形ABCD的长和宽分别为6和4，E、F、G、H依次是矩形ABCD各边的中点，则四边形EFGH的周长等于（ ）
A．20 B．4 C．10 D．2
10．（3分）乐乐观察“抖空竹“时发现，可以将某一时刻的情形抽象成数学问题：如图，已知AB∥CD，∠BAE＝92°，∠DCE＝121°，则∠AEC的度数是（ ）
A．30° B．29° C．28° D．27°
11．（3分）我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．”其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？设这批椽的数量为x株，则符合题意的方程是（ ）
A．3（x﹣1）＝ B．＝3
C．3x﹣1＝ D．＝3
12．（3分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD，B＝60°，AD＝2，BC＝8，点P从点B出发沿折线BA﹣AD﹣DC匀速运动，同时，点Q从点B出发沿折线BC﹣CD匀速运动，点P与点Q的速度相同，当二者相遇时，运动停止，设点P运动的路程为x，△BPQ的面积为y，则y关于x的函数图象大致是（ ）
A．
B．
C．
D．
二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分）
13．（3分）长沙地铁3号线、5号线即将试运行，为了解市民每周乘坐地铁出行的次数，某校园小记者随机调查了100名市民，得到如下统计表：
次数
7次及以上
6
5
4
3
2
1次及以下
人数
8
12
31
24
15
6
4
这次调查中的众数和中位数分别是 ， ．
14．（3分）若A（），B（），C（）为二次函数y＝x2+4x﹣5的图象上三点，则y1，y2，y3的大小关系为 ＜ ＜ ．
15．（3分）已知菱形ABCD的边长为5cm，对角线AC＝6cm，则其面积为 cm2．
16．（3分）在数学探究活动中，敏敏进行了如下操作：如图，将四边形纸片ABCD沿过点A的直线折叠，使得点B落在CD上的点Q处．折痕为AP；再将△PCQ，△ADQ分别沿PQ，AQ折叠，此时点C，D落在AP上的同一点R处．请完成下列探究：
（1）∠PAQ的大小为 °；
（2）当四边形APCD是平行四边形时，的值为 ．
三、解答题（本大题共9小题，共72分）
17．（6分）计算：（﹣）﹣2+﹣|1﹣|+（π+2020）0．
18．（6分）先化简，再求值：，从﹣1，1，2，3中选择一个合适的数代入并求值．
19．（6分）解方程：
（1）（x+1）2＝2x+2；
（2）2x2﹣4x﹣1＝0．
20．（8分）为提升学生的艺术素养，学习计划开设四门艺术选修课：A书法；B绘画；C乐器；D舞蹈，为了解学生对四门功课的喜欢情况，在全校范围内随机抽取若干名学生进行问卷调查（每个被调查的学生必须选择而且只能选择其中一门），将数据进行整理，并绘制成如下两幅不完整的统计图，请结合图中所给信息解答下列问题：
（1）本次调查的学生共有 人，扇形统计图中∠α的度数是 ；
（2）请把条形统计图补充完整；
（3）如果该校共有2500名学生，请你估计该校D类学生约有多少人？
21．（8分）已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2+2（m﹣3）x+m2+1的两个根．
（1）当m取何值时，原方程有两个不相等的实数根？
（2）若以x1，x2为对角线的菱形边长是，试求m的值．
22．（9分）疫情期间，小明去药店购买A、B两种口罩，每次购买同一种口罩的单价相同．第一次购买A种口罩30个、B种口罩10个共110元；第二次购买A种口罩20个、B种口罩30个共120元．根据以上信息解答下列问题：
（1）求A、B两种口罩的单价；
（2）若第三次购买这两种口罩共60个，且A种口罩的数量不少于B种口罩数量的2倍，请设计出最省钱的购买方案，并说明理由．
23．（9分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AC与BD交于点E，点E是BD的中点，延长CD到点F，使DF＝CD，连接AF，
（1）求证：AE＝CE；
（2）求证：四边形ABDF是平行四边形；
（3）若AB＝2，AF＝4，∠F＝30°，则四边形ABCF的面积为 ．
24．（10分）新定义：有一组对角相等而另一组对角不相等的凸四边形叫做“等对角四边形
（1）已知：如图1，四边形ABCD是“等对角四边形”，∠A≠∠C，∠A＝60°，∠B＝70°，求∠C，∠D的度数
（2）在探究“等对角四边形”性质时：小红画了一个“等对角四边形”ABCD（如图2），其中∠ABC＝∠ADC，AB＝AD，此时她发现CB＝CD成立．请你证明此结论
（3）已知：在“等对角四边形ABCD中，∠DAB＝60°，∠ABC＝90°，AB＝10，AD＝8．求对角线AC的长．
25．（10分）如图，已知抛物线：y1＝﹣x2﹣2x+3与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C．
（1）直接写出点A，B，C的坐标；
（2）将抛物线y1经过向右与向下平移，使得到的抛物线y2与x轴交于B，B'两点（B'在B的右侧），顶点D的对应点为点D'，若∠BD'B'＝90°，求点B'的坐标及抛物线y2的解析式；
（3）在（2）的条件下，若点Q在x轴上，则在抛物线y1或y2上是否存在点P，使以B′，C，Q，P为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出所有符合条件的点P的坐标；如果不存在，请说明理由．
2020-2021学年湖南省长沙市雨花区南雅中学九年级（上）开学数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共36分）
1．（3分）﹣12020＝（ ）
A．1 B．﹣1 C．2020 D．﹣2020
【分析】根据有理数的乘方运算，即可得出答案．
【解答】解：﹣12020＝﹣1．
故选：B．
2．（3分）下列图形中，不是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
【解答】解：A、是轴对称图形，故本选项不符合题意；
B、是轴对称图形，故本选项不符合题意；
C、不是轴对称图形，故本选项符合题意；
D、是轴对称图形，故本选项不符合题意．
故选：C．
3．（3分）今年的政府工作报告中指出：去年脱贫攻坚取得决定性成就，农村贫困人口减少1109万．数字1109万用科学记数法可表示为（ ）
A．1.109×107 B．1.109×106 C．0.1109×108 D．11.09×106
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数，故先将1109万换成11090000，再按照科学记数法的表示方法表示即可得出答案．
【解答】解：∵1109万＝11090000，
∴11090000＝1.109×107．
故选：A．
4．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．x5÷x3＝x2 B．（y5）2＝y7 C． D．
【分析】根据同底数幂的除法法则对A进行判断；根据幂的乘方对B进行判断；根据二次根式的加减法对C进行判断；根据二次根式的乘法法则对D进行判断．
【解答】解：A、原式＝x2，所以A选项正确；
B、原式＝y10，所以B选项错误；
C、与不能合并，所以C选项错误；
D、原式＝＝，所以D选项错误．
故选：A．
5．（3分）下列各函数中，x逐渐增大y反而减小的函数是（ ）
A．y＝x B．y＝﹣x C．y＝x2 D．y＝4x﹣1
【分析】根据各个选项中的函数解析式，可以得到y随x的增大如何变化，从而可以解答本题．
【解答】解：函数y＝x中，y随x的增大而增大，故选项A不符合题意；
函数y＝﹣x中，y随x的增大而减小，故选项B符合题意；
函数y＝x2，当x＞0时，y随x的增大而增大，当x＜0时，y随x的增大而减小，故选项C不符合题意；
函数y＝4x﹣1中，y随x的增大而增大，故选项D不符合题意；
故选：B．
6．（3分）下列命题是真命题的是（ ）
A．一组邻边相等的平行四边形是菱形
B．菱形的对角线相等
C．对角线互相垂直的平行四边形是正方形
D．四边都相等的四边形是矩形
【分析】利用菱形、矩形及正方形的判定方法及菱形的性质分别判断后即可确定正确的选项．
【解答】解：A、一组邻边相等的平行四边形是菱形，正确，是真命题，符合题意；
B、菱形的对角线互相垂直，故原命题错误，是假命题，不符合题意；
C、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故原命题错误，不符合题意；
D、四边都相等的四边形是菱形，故原命题错误，是假命题，不符合题意，
故选：A．
7．（3分）不等式组的解集在数轴上可表示为（ ）
A． B．
C． D．
【分析】分别解不等式进而得出不等式组的解集，进而在数轴上表示即可．
【解答】解：，
解①得：x＞﹣1，
解②得：x≤2，
故不等式组的解集为：﹣1＜x≤2，
在数轴上表示解集为：
．
故选：A．
8．（3分）初三数学课本上，用“描点法”画二次函数y＝ax2+bx+c的图象时．列了如下表格：
x
…
﹣2
﹣1
0
1
2
…
y
…
3
4
3
0
﹣5
…
根据表格上的信息回答问题：一元二次方程ax2+bx+c＝﹣5的解为（ ）
A．x1＝2，x2＝﹣2 B．x1＝2，x2＝﹣3 C．x1＝2，x2＝﹣4 D．x1＝2，x2＝﹣5
【分析】由表格中的数据可求出抛物线的解析式，则一元二次方程ax2+bx+c＝﹣5中各项的系数已知，再解方程即可．
【解答】解：由题意可知点（﹣2，3），（0，3），（1，0）在二次函数y＝ax2+bx+c的图象上，
则，
解得：，
所以一元二次方程ax2+bx+c＝﹣5可化为：﹣x2﹣2x+3＝﹣5，
解得：x1＝2，x2＝﹣4，
故选：C．
9．（3分）如图，矩形ABCD的长和宽分别为6和4，E、F、G、H依次是矩形ABCD各边的中点，则四边形EFGH的周长等于（ ）
A．20 B．4 C．10 D．2
【分析】根据矩形ABCD中，E、F、G、H分别是AD、AB、BC、CD的中点，利用三角形中位线定理求证EF＝GH＝FG＝EH，然后利用四条边都相等的平行四边形是菱形．根据菱形的性质来计算四边形EFGH的周长即可．
【解答】解：连接BD，AC．
在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，∠DAB＝90°，则由勾股定理易求得BD＝AC＝2．
∵矩形ABCD中，E、F、G、H分别是AD、AB、BC、CD的中点，
∴EF为△ABC的中位线，
∴EF＝AC＝，EF∥AC，
又GH为△BCD的中位线，
∴GH＝AC＝，GH∥AC，
∴HG＝EF，HG∥EF，
∴四边形EFGH是平行四边形．
同理可得：FG＝BD＝，EH＝AC＝，
∴EF＝GH＝FG＝EH＝，
∴四边形EFGH是菱形．
∴四边形EFGH的周长是：4EF＝4，
故选：B．
10．（3分）乐乐观察“抖空竹“时发现，可以将某一时刻的情形抽象成数学问题：如图，已知AB∥CD，∠BAE＝92°，∠DCE＝121°，则∠AEC的度数是（ ）
A．30° B．29° C．28° D．27°
【分析】延长DC交AE于F，依据AB∥CD，∠BAE＝92°，可得∠CFE＝92°，再根据三角形外角性质，即可得到∠AEC＝∠DCE﹣∠CFE．
【解答】解：如图，延长DC交AE于F，
∵AB∥CD，∠BAE＝92°，
∴∠CFE＝92°，
又∵∠DCE＝121°，
∴∠AEC＝∠DCE﹣∠CFE＝121°﹣92°＝29°．
故选：B．
11．（3分）我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．”其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？设这批椽的数量为x株，则符合题意的方程是（ ）
A．3（x﹣1）＝ B．＝3
C．3x﹣1＝ D．＝3
【分析】根据单价＝总价÷数量结合少拿一株椽后剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，即可得出关于x的分式方程，此题得解．
【解答】解：依题意，得：3（x﹣1）＝．
故选：A．
12．（3分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD，B＝60°，AD＝2，BC＝8，点P从点B出发沿折线BA﹣AD﹣DC匀速运动，同时，点Q从点B出发沿折线BC﹣CD匀速运动，点P与点Q的速度相同，当二者相遇时，运动停止，设点P运动的路程为x，△BPQ的面积为y，则y关于x的函数图象大致是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】①当点P在AB上运动时（0≤x≤6），y＝BQ×BPsinB＝x2，当x＝6时，y＝9；②6＜x＜8，y为一次函数；③当x≥8时，点PC＝6+2+6﹣x＝14﹣x，QC＝x﹣8，则PQ＝22﹣2x，而△BPQ的高常数，即可求解．
【解答】解：由题意得：四边形ABCD为等腰梯形，如下图，分别过点A、D作梯形的高AM、DN交BC于点M、N，
则MN＝AD＝2，BM＝NC＝（BC﹣AD）＝3，
则AB＝2BM＝6，
①当点P在AB上运动时（0≤x≤6），
y＝BQ×BPsinB＝x2，当x＝6时，y＝9，
图象中符合条件的有B、D；
②6＜x＜8，y为一次函数；
③当x≥8时，点PC＝6+2+6﹣x＝14﹣x，QC＝x﹣8，
则PQ＝22﹣2x，
而△BPQ的高常数，故y的表达式为一次函数，
故在B、D中符合条件的为B，
故选：B．
二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分）
13．（3分）长沙地铁3号线、5号线即将试运行，为了解市民每周乘坐地铁出行的次数，某校园小记者随机调查了100名市民，得到如下统计表：
次数
7次及以上
6
5
4
3
2
1次及以下
人数
8
12
31
24
15
6
4
这次调查中的众数和中位数分别是 5 ， 5 ．
【分析】根据中位数和众数的概念求解即可．
【解答】解：这次调查中的众数是5，
这次调查中的中位数是，
故答案为：5；5．
14．（3分）若A（），B（），C（）为二次函数y＝x2+4x﹣5的图象上三点，则y1，y2，y3的大小关系为 y2 ＜ y1 ＜ y3 ．
【分析】此题可根据给出的二次函数判断开口方向向上，对称轴为直线x＝﹣2，再比较图象上三点到对称轴的距离，则距离越大，其纵坐标越大．
【解答】解：对二次函数y＝x2+4x﹣5，a＝1＞0，开口向上，对称轴为直线x＝﹣2．
又A、B、C三点到对称轴的距离分别为|﹣﹣（﹣2）|＝，|﹣﹣（﹣2）|＝，|﹣（﹣2）|＝，
∴y2＜y1＜y3，
故答案是：y2、y1、y3．
15．（3分）已知菱形ABCD的边长为5cm，对角线AC＝6cm，则其面积为 24 cm2．
【分析】根据菱形的性质结合勾股定理得出BD的长，进而利用菱形面积公式求出答案．
【解答】解：如图所示：
∵菱形ABCD的边长为5cm，对角线AC＝6cm，
∴AO＝CO＝3cm，则BO＝＝4（cm），
则BD＝8cm，
则其面积为：×6×8＝24（cm2）．
故答案为：24．
16．（3分）在数学探究活动中，敏敏进行了如下操作：如图，将四边形纸片ABCD沿过点A的直线折叠，使得点B落在CD上的点Q处．折痕为AP；再将△PCQ，△ADQ分别沿PQ，AQ折叠，此时点C，D落在AP上的同一点R处．请完成下列探究：
（1）∠PAQ的大小为 30 °；
（2）当四边形APCD是平行四边形时，的值为 ．
【分析】（1）由折叠的性质可得∠B＝∠AQP，∠DAQ＝∠QAP＝∠PAB，∠DQA＝∠AQR，∠CQP＝∠PQR，∠D＝∠ARQ，∠C＝∠QRP，由平角的性质可得∠D+∠C＝180°，∠AQP＝90°，可证AD∥BC，由平行线的性质可得∠DAB＝90°，即可求解；
（2）由平行四边形和折叠的性质可得AR＝PR，由直角三角形的性质可得AP＝2PB＝2QR，AB＝PB，即可求解．
【解答】解：（1）由折叠的性质可得：∠B＝∠AQP，∠DAQ＝∠QAP＝∠PAB，∠DQA＝∠AQR，∠CQP＝∠PQR，∠D＝∠ARQ，∠C＝∠QRP，
∵∠QRA+∠QRP＝180°，
∴∠D+∠C＝180°，
∴AD∥BC，
∴∠B+∠DAB＝180°，
∵∠DQR+∠CQR＝180°，
∴∠DQA+∠CQP＝90°，
∴∠AQP＝90°，
∴∠B＝∠AQP＝90°，
∴∠DAB＝90°，
∴∠DAQ＝∠QAP＝∠PAB＝30°，
故答案为：30；
（2）由折叠的性质可得：AD＝AR，CP＝PR，
∵四边形APCD是平行四边形，
∴AD＝PC，
∴AR＝PR，
又∵∠AQP＝90°，
∴QR＝AP，
∵∠PAB＝30°，∠B＝90°，
∴AP＝2PB，AB＝PB，
∴PB＝QR，
∴＝，
故答案为：．
三、解答题（本大题共9小题，共72分）
17．（6分）计算：（﹣）﹣2+﹣|1﹣|+（π+2020）0．
【分析】直接利用负整数指数幂的性质以及绝对值的性质、零指数幂的性质、二次根式的性质分别化简得出答案．
【解答】解：原式＝4+2﹣（﹣1）+1
＝4+2﹣+1+1
＝+6．
18．（6分）先化简，再求值：，从﹣1，1，2，3中选择一个合适的数代入并求值．
【分析】根据分式的化简求值的过程计算即可求解．
【解答】解：原式＝＝．
∵x2﹣1≠0，x﹣2≠0，
∴取x＝3，原式＝＝4．
19．（6分）解方程：
（1）（x+1）2＝2x+2；
（2）2x2﹣4x﹣1＝0．
【分析】（1）利用因式分解法求解即可；
（2）利用配方法求解即可．
【解答】解：（1）（x+1）2＝2x+2，
（x+1）2﹣2（x+1）＝0，
（x+1）（x+1﹣2）＝0，
∴x+1＝0或x﹣1＝0，
∴x1＝﹣1，x2＝1；
（2）2x2﹣4x﹣1＝0，
x2﹣2x＝，
x2﹣2x+1＝+1，即（x﹣1）2＝
∴x﹣1＝，
∴x1＝1+，x2＝1﹣．
20．（8分）为提升学生的艺术素养，学习计划开设四门艺术选修课：A书法；B绘画；C乐器；D舞蹈，为了解学生对四门功课的喜欢情况，在全校范围内随机抽取若干名学生进行问卷调查（每个被调查的学生必须选择而且只能选择其中一门），将数据进行整理，并绘制成如下两幅不完整的统计图，请结合图中所给信息解答下列问题：
（1）本次调查的学生共有 40 人，扇形统计图中∠α的度数是 108° ；
（2）请把条形统计图补充完整；
（3）如果该校共有2500名学生，请你估计该校D类学生约有多少人？
【分析】（1）从两个统计图可得，“B组”的有8人，占调查人数的20%，可求出班级人数；样本中，“D组”占，因此圆心角占360°的，可求出度数；
（2）求出“C组”人数，即可补全条形统计图：
（3）样本估计总体，样本中，“D组”占，估计总体500人的，是“D组”人数．
【解答】解：（1）8÷20%＝40（人），C组人数为40﹣4﹣8﹣16＝12（人），360°×＝108°，
故答案为：40，108°，
（2）补全条形统计图如图所示：
（3）2500×＝1000（人）．
答：该校2500名学生中D类的约有1000人．
21．（8分）已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2+2（m﹣3）x+m2+1的两个根．
（1）当m取何值时，原方程有两个不相等的实数根？
（2）若以x1，x2为对角线的菱形边长是，试求m的值．
【分析】（1）若方程有两个不相等的实数根，则有△＝b2﹣4ac＞0，得到关于m的不等式，求解即可；
（2）由根与系数的关系得出x1+x2＝﹣2（m﹣3），x1•x2＝﹣m2+1．根据菱形的对角线互相垂直平分的性质以及勾股定理得出（x1）2+（x2）2＝3，那么（x1+x2）2﹣2x1•x2＝12，由此得出关于m的方程，解方程即可．
【解答】解：（1）由题意得△＝[2（m﹣3）]2﹣4（m2+1）＝32﹣24m，
要使方程有两个不相等的实数根，需要△＞0，
即32﹣24m＞0，解得m＜，
即m＜时，方程有两个不相等的实数根．
（2）∵x1，x2是关于x的一元二次方程x2+2（m﹣3）x+m2+1＝0的两个根，
∴x1+x2＝﹣2（m﹣3），x1•x2＝m2+1．
∵x1，x2为菱形的对角线，
∴x1，x2互相垂直并且平分，
∴（ x1）2+（ x2）2＝3，
∴x12+x22＝12，
∴（x1+x2）2﹣2x1•x2＝12，
∴（x1+x2）2﹣2x1•x2＝12，
∴[﹣2（m﹣3）]2﹣2（m2+1）＝12，
∴m2﹣12m+11＝0，
解得，m1＝1，m2＝11．
∵m＜，
∴m2＝11不合题意，舍去，
∴m的值为1．
22．（9分）疫情期间，小明去药店购买A、B两种口罩，每次购买同一种口罩的单价相同．第一次购买A种口罩30个、B种口罩10个共110元；第二次购买A种口罩20个、B种口罩30个共120元．根据以上信息解答下列问题：
（1）求A、B两种口罩的单价；
（2）若第三次购买这两种口罩共60个，且A种口罩的数量不少于B种口罩数量的2倍，请设计出最省钱的购买方案，并说明理由．
【分析】（1）设A种口罩的单价为x元，B种口罩的单价为y元，根据“第一次购买A种口罩30个、B种口罩10个共110元；第二次购买A种口罩20个、B种口罩30个共120元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设第三次购买A种口罩m个，则购买B种口罩（60﹣m）个，根据购进A种口罩的数量不少于B种口罩数量的2倍，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围，设第三次购买这两种口罩共需w元，根据总价＝单价×数量，即可得出w关于m的函数关系式，再利用一次函数的性质即可解决最值问题．
【解答】解：（1）设A种口罩的单价为x元，B种口罩的单价为y元，
依题意，得：，
解得：．
答：A种口罩的单价为3元，B种口罩为2元．
（2）设第三次购买A种口罩m个，则购买B种口罩（60﹣m）个，
依题意，得：m≥2（60﹣m），
解得：m≥40．
设第三次购买这两种口罩共需w元，则w＝3m+2（60﹣m）＝m+120，
∵k＝1＞0，
∴w随m的增大而增大，
∴当m＝40时，w取得最小值，
∴最省钱的购买方案为：购买A种口罩40个，B种口罩20个．
23．（9分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AC与BD交于点E，点E是BD的中点，延长CD到点F，使DF＝CD，连接AF，
（1）求证：AE＝CE；
（2）求证：四边形ABDF是平行四边形；
（3）若AB＝2，AF＝4，∠F＝30°，则四边形ABCF的面积为 6 ．
【分析】（1）根据平行线的性质得出∠ADE＝∠CBE，根据全等三角形的判定得出△ADE≌△CBE，根据全等三角形的性质得出即可；
（2）根据平行四边形的判定推出即可；
（3）求出高DQ和CH，再根据面积公式求出即可．
【解答】（1）证明：∵点E是BD的中点，
∴BE＝DE，
∵AD∥BC，
∴∠ADE＝∠CBE，
在△ADE和△CBE中
∴△ADE≌△CBE（ASA），
∴AE＝CE；
（2）证明：∵AE＝CE，BE＝DE，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∵DF＝CD，
∴DF＝AB，
即DF＝AB，DF∥AB，
∴四边形ABDF是平行四边形；
（3）解：
过C作CH⊥BD于H，过D作DQ⊥AF于Q，
∵四边形ABCD和四边形ABDF是平行四边形，AB＝2，AF＝4，∠F＝30°，
∴DF＝AB＝2，CD＝AB＝2，BD＝AF＝4，BD∥AF，
∴∠BDC＝∠F＝30°，
∴DQ＝DF＝＝1，CH＝DC＝＝1，
∴四边形ABCF的面积S＝S平行四边形BDFA+S△BDC＝AF×DQ+＝4×1+＝6，
故答案为：6．
24．（10分）新定义：有一组对角相等而另一组对角不相等的凸四边形叫做“等对角四边形
（1）已知：如图1，四边形ABCD是“等对角四边形”，∠A≠∠C，∠A＝60°，∠B＝70°，求∠C，∠D的度数
（2）在探究“等对角四边形”性质时：小红画了一个“等对角四边形”ABCD（如图2），其中∠ABC＝∠ADC，AB＝AD，此时她发现CB＝CD成立．请你证明此结论
（3）已知：在“等对角四边形ABCD中，∠DAB＝60°，∠ABC＝90°，AB＝10，AD＝8．求对角线AC的长．
【分析】（1）根据四边形ABCD是“等对角四边形”得出∠D＝∠B＝70°，根据四边形内角和定理求出∠C即可；
（2）连接BD，根据等边对等角得出∠ABD＝∠ADB，求出∠CBD＝∠CDB，根据等腰三角形的判定得出即可；
（3）分两种情况：
①当∠ADC＝∠ABC＝90°时，延长AD，BC相交于点E，先用含30°角的直角三角形的性质求出AE，得出DE，再用三角函数求出CD，由勾股定理求出AC；
②当∠BCD＝∠DAB＝60°时，过点D作DM⊥AB于点M，DN⊥BC于点N，则∠AMD＝90°，四边形BNDM是矩形，先求出AM、DM，再由矩形的性质得出DN＝BM＝6，BN＝DM＝4，求出CN、BC，根据勾股定理求出AC即可．
【解答】（1）解：∵四边形ABCD是“等对角四边形”，∠A≠∠C，∠A＝60°，∠B＝70°，
∴∠D＝∠B＝70°，
∴∠C＝360°﹣70°﹣70°﹣60°＝160°；
（2）证明：如图2，连接BD，
∵AB＝AD，
∴∠ABD＝∠ADB，
∵∠ABC＝∠ADC，
∴∠ABC﹣∠ABD＝∠ADC﹣∠ADB，
∴∠CBD＝∠CDB，
∴CB＝CD；
（3）解：分两种情况：
①当∠ADC＝∠ABC＝90°时，延长AD，BC相交于点E，如图3所示：
∵∠ABC＝90°，∠DAB＝60°，AB＝10，AD＝8，
∴∠E＝30°，
∴AE＝2AB＝20，
∴DE＝AE﹣AD＝20﹣8═12，
∵∠EDC＝90°，∠E＝30°，
∴CD＝＝4，
∴AC＝＝＝4；
②当∠BCD＝∠DAB＝60°时，
过点D作DM⊥AB于点M，DN⊥BC于点N，如图4所示：
则∠AMD＝90°，四边形BNDM是矩形，
∵∠DAB＝60°，AD＝8，AB＝10，
∴∠ADM＝30°，
∴AM＝AD＝4，
∴DM＝AM＝4，
∴BM＝AB﹣AM＝10﹣4＝6，
∵四边形BNDM是矩形，
∴DN＝BM＝6，BN＝DM＝4，
∵∠BCD＝60°，
∴CN＝＝2，
∴BC＝CN+BN＝6，
∴AC＝＝＝4．
综上所述：AC的长为4或4．
25．（10分）如图，已知抛物线：y1＝﹣x2﹣2x+3与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C．
（1）直接写出点A，B，C的坐标；
（2）将抛物线y1经过向右与向下平移，使得到的抛物线y2与x轴交于B，B'两点（B'在B的右侧），顶点D的对应点为点D'，若∠BD'B'＝90°，求点B'的坐标及抛物线y2的解析式；
（3）在（2）的条件下，若点Q在x轴上，则在抛物线y1或y2上是否存在点P，使以B′，C，Q，P为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出所有符合条件的点P的坐标；如果不存在，请说明理由．
【分析】（1）令x＝0或y1＝0，解方程可得结论．
（2）设平移后的抛物线的解析式为y2＝﹣（x﹣a）2+b，如图1中，过点D′作D′H⊥OB′于H．，连接BD′，B′D′．构建方程组解决问题即可．
（3）观察图象可知，当点P的纵坐标为3或﹣3时，存在满足条件的平行四边形．分别令y1和y2等于3或﹣3，解方程即可解决问题．
【解答】解：（1）对于y1＝﹣x2﹣2x+3，令y1＝0，得到﹣x2﹣2x+3＝0，解得x＝﹣3或1，
∴A（﹣3，0），B（1，0），
令x＝0，得到y1＝3，
∴C（0，3）．
（2）设平移后的抛物线的解析式为y2＝﹣（x﹣a）2+b，
如图1中，过点D′作D′H⊥OB′于H，连接BD′．
∵D′是抛物线的顶点，
∴D′B＝D′B′，D′（a，b），
∵∠BD′B′＝90°，D′H⊥BB′，
∴BH＝HB′，
∴D′H＝BH＝HB′＝b，
∴a＝1+b，
又∵y2＝﹣（x﹣a）2+b，经过B（1，0），
∴b＝（1﹣a）2，
解得a＝2或1（不合题意舍弃），b＝1，
∴B′（3，0），y2＝﹣（x﹣2）2+1＝﹣x2+4x﹣3．
（3）如图2中，
观察图象可知，当点P的纵坐标为3或﹣3时，存在满足条件的平行四边形．
对于y1＝﹣x2﹣2x+3，令y1＝3，x2+2x＝0，解得x＝0或﹣2，可得P1（﹣2，3），
令y1＝﹣3，则x2+2x﹣6＝0，解得x＝﹣1，可得P2（﹣1﹣，﹣3），P3（﹣1+，﹣3），
对于y2＝﹣x2+4x﹣3，令y2＝3，方程无解，
令y2＝﹣3，则x2﹣4x＝0，解得x＝0或4，可得P4（0，﹣3），P5（4，﹣3），
综上所述，满足条件的点P的坐标为（﹣2，3）或（﹣1﹣，﹣3）或（﹣1+，﹣3）或（0，﹣3）或（4，﹣3）．
一、选择题（每小题3分，共36分）
1．（3分）﹣12020＝（ ）
A．1 B．﹣1 C．2020 D．﹣2020
2．（3分）下列图形中，不是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
3．（3分）今年的政府工作报告中指出：去年脱贫攻坚取得决定性成就，农村贫困人口减少1109万．数字1109万用科学记数法可表示为（ ）
A．1.109×107 B．1.109×106 C．0.1109×108 D．11.09×106
4．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．x5÷x3＝x2 B．（y5）2＝y7 C． D．
5．（3分）下列各函数中，x逐渐增大y反而减小的函数是（ ）
A．y＝x B．y＝﹣x C．y＝x2 D．y＝4x﹣1
6．（3分）下列命题是真命题的是（ ）
A．一组邻边相等的平行四边形是菱形
B．菱形的对角线相等
C．对角线互相垂直的平行四边形是正方形
D．四边都相等的四边形是矩形
7．（3分）不等式组的解集在数轴上可表示为（ ）
A． B．
C． D．
8．（3分）初三数学课本上，用“描点法”画二次函数y＝ax2+bx+c的图象时．列了如下表格：
x
…
﹣2
﹣1
0
1
2
…
y
…
3
4
3
0
﹣5
…
根据表格上的信息回答问题：一元二次方程ax2+bx+c＝﹣5的解为（ ）
A．x1＝2，x2＝﹣2 B．x1＝2，x2＝﹣3 C．x1＝2，x2＝﹣4 D．x1＝2，x2＝﹣5
9．（3分）如图，矩形ABCD的长和宽分别为6和4，E、F、G、H依次是矩形ABCD各边的中点，则四边形EFGH的周长等于（ ）
A．20 B．4 C．10 D．2
10．（3分）乐乐观察“抖空竹“时发现，可以将某一时刻的情形抽象成数学问题：如图，已知AB∥CD，∠BAE＝92°，∠DCE＝121°，则∠AEC的度数是（ ）
A．30° B．29° C．28° D．27°
11．（3分）我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．”其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？设这批椽的数量为x株，则符合题意的方程是（ ）
A．3（x﹣1）＝ B．＝3
C．3x﹣1＝ D．＝3
12．（3分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD，B＝60°，AD＝2，BC＝8，点P从点B出发沿折线BA﹣AD﹣DC匀速运动，同时，点Q从点B出发沿折线BC﹣CD匀速运动，点P与点Q的速度相同，当二者相遇时，运动停止，设点P运动的路程为x，△BPQ的面积为y，则y关于x的函数图象大致是（ ）
A．
B．
C．
D．
二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分）
13．（3分）长沙地铁3号线、5号线即将试运行，为了解市民每周乘坐地铁出行的次数，某校园小记者随机调查了100名市民，得到如下统计表：
次数
7次及以上
6
5
4
3
2
1次及以下
人数
8
12
31
24
15
6
4
这次调查中的众数和中位数分别是 ， ．
14．（3分）若A（），B（），C（）为二次函数y＝x2+4x﹣5的图象上三点，则y1，y2，y3的大小关系为 ＜ ＜ ．
15．（3分）已知菱形ABCD的边长为5cm，对角线AC＝6cm，则其面积为 cm2．
16．（3分）在数学探究活动中，敏敏进行了如下操作：如图，将四边形纸片ABCD沿过点A的直线折叠，使得点B落在CD上的点Q处．折痕为AP；再将△PCQ，△ADQ分别沿PQ，AQ折叠，此时点C，D落在AP上的同一点R处．请完成下列探究：
（1）∠PAQ的大小为 °；
（2）当四边形APCD是平行四边形时，的值为 ．
三、解答题（本大题共9小题，共72分）
17．（6分）计算：（﹣）﹣2+﹣|1﹣|+（π+2020）0．
18．（6分）先化简，再求值：，从﹣1，1，2，3中选择一个合适的数代入并求值．
19．（6分）解方程：
（1）（x+1）2＝2x+2；
（2）2x2﹣4x﹣1＝0．
20．（8分）为提升学生的艺术素养，学习计划开设四门艺术选修课：A书法；B绘画；C乐器；D舞蹈，为了解学生对四门功课的喜欢情况，在全校范围内随机抽取若干名学生进行问卷调查（每个被调查的学生必须选择而且只能选择其中一门），将数据进行整理，并绘制成如下两幅不完整的统计图，请结合图中所给信息解答下列问题：
（1）本次调查的学生共有 人，扇形统计图中∠α的度数是 ；
（2）请把条形统计图补充完整；
（3）如果该校共有2500名学生，请你估计该校D类学生约有多少人？
21．（8分）已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2+2（m﹣3）x+m2+1的两个根．
（1）当m取何值时，原方程有两个不相等的实数根？
（2）若以x1，x2为对角线的菱形边长是，试求m的值．
22．（9分）疫情期间，小明去药店购买A、B两种口罩，每次购买同一种口罩的单价相同．第一次购买A种口罩30个、B种口罩10个共110元；第二次购买A种口罩20个、B种口罩30个共120元．根据以上信息解答下列问题：
（1）求A、B两种口罩的单价；
（2）若第三次购买这两种口罩共60个，且A种口罩的数量不少于B种口罩数量的2倍，请设计出最省钱的购买方案，并说明理由．
23．（9分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AC与BD交于点E，点E是BD的中点，延长CD到点F，使DF＝CD，连接AF，
（1）求证：AE＝CE；
（2）求证：四边形ABDF是平行四边形；
（3）若AB＝2，AF＝4，∠F＝30°，则四边形ABCF的面积为 ．
24．（10分）新定义：有一组对角相等而另一组对角不相等的凸四边形叫做“等对角四边形
（1）已知：如图1，四边形ABCD是“等对角四边形”，∠A≠∠C，∠A＝60°，∠B＝70°，求∠C，∠D的度数
（2）在探究“等对角四边形”性质时：小红画了一个“等对角四边形”ABCD（如图2），其中∠ABC＝∠ADC，AB＝AD，此时她发现CB＝CD成立．请你证明此结论
（3）已知：在“等对角四边形ABCD中，∠DAB＝60°，∠ABC＝90°，AB＝10，AD＝8．求对角线AC的长．
25．（10分）如图，已知抛物线：y1＝﹣x2﹣2x+3与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C．
（1）直接写出点A，B，C的坐标；
（2）将抛物线y1经过向右与向下平移，使得到的抛物线y2与x轴交于B，B'两点（B'在B的右侧），顶点D的对应点为点D'，若∠BD'B'＝90°，求点B'的坐标及抛物线y2的解析式；
（3）在（2）的条件下，若点Q在x轴上，则在抛物线y1或y2上是否存在点P，使以B′，C，Q，P为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出所有符合条件的点P的坐标；如果不存在，请说明理由．
2020-2021学年湖南省长沙市雨花区南雅中学九年级（上）开学数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共36分）
1．（3分）﹣12020＝（ ）
A．1 B．﹣1 C．2020 D．﹣2020
【分析】根据有理数的乘方运算，即可得出答案．
【解答】解：﹣12020＝﹣1．
故选：B．
2．（3分）下列图形中，不是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
【解答】解：A、是轴对称图形，故本选项不符合题意；
B、是轴对称图形，故本选项不符合题意；
C、不是轴对称图形，故本选项符合题意；
D、是轴对称图形，故本选项不符合题意．
故选：C．
3．（3分）今年的政府工作报告中指出：去年脱贫攻坚取得决定性成就，农村贫困人口减少1109万．数字1109万用科学记数法可表示为（ ）
A．1.109×107 B．1.109×106 C．0.1109×108 D．11.09×106
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数，故先将1109万换成11090000，再按照科学记数法的表示方法表示即可得出答案．
【解答】解：∵1109万＝11090000，
∴11090000＝1.109×107．
故选：A．
4．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．x5÷x3＝x2 B．（y5）2＝y7 C． D．
【分析】根据同底数幂的除法法则对A进行判断；根据幂的乘方对B进行判断；根据二次根式的加减法对C进行判断；根据二次根式的乘法法则对D进行判断．
【解答】解：A、原式＝x2，所以A选项正确；
B、原式＝y10，所以B选项错误；
C、与不能合并，所以C选项错误；
D、原式＝＝，所以D选项错误．
故选：A．
5．（3分）下列各函数中，x逐渐增大y反而减小的函数是（ ）
A．y＝x B．y＝﹣x C．y＝x2 D．y＝4x﹣1
【分析】根据各个选项中的函数解析式，可以得到y随x的增大如何变化，从而可以解答本题．
【解答】解：函数y＝x中，y随x的增大而增大，故选项A不符合题意；
函数y＝﹣x中，y随x的增大而减小，故选项B符合题意；
函数y＝x2，当x＞0时，y随x的增大而增大，当x＜0时，y随x的增大而减小，故选项C不符合题意；
函数y＝4x﹣1中，y随x的增大而增大，故选项D不符合题意；
故选：B．
6．（3分）下列命题是真命题的是（ ）
A．一组邻边相等的平行四边形是菱形
B．菱形的对角线相等
C．对角线互相垂直的平行四边形是正方形
D．四边都相等的四边形是矩形
【分析】利用菱形、矩形及正方形的判定方法及菱形的性质分别判断后即可确定正确的选项．
【解答】解：A、一组邻边相等的平行四边形是菱形，正确，是真命题，符合题意；
B、菱形的对角线互相垂直，故原命题错误，是假命题，不符合题意；
C、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故原命题错误，不符合题意；
D、四边都相等的四边形是菱形，故原命题错误，是假命题，不符合题意，
故选：A．
7．（3分）不等式组的解集在数轴上可表示为（ ）
A． B．
C． D．
【分析】分别解不等式进而得出不等式组的解集，进而在数轴上表示即可．
【解答】解：，
解①得：x＞﹣1，
解②得：x≤2，
故不等式组的解集为：﹣1＜x≤2，
在数轴上表示解集为：
．
故选：A．
8．（3分）初三数学课本上，用“描点法”画二次函数y＝ax2+bx+c的图象时．列了如下表格：
x
…
﹣2
﹣1
0
1
2
…
y
…
3
4
3
0
﹣5
…
根据表格上的信息回答问题：一元二次方程ax2+bx+c＝﹣5的解为（ ）
A．x1＝2，x2＝﹣2 B．x1＝2，x2＝﹣3 C．x1＝2，x2＝﹣4 D．x1＝2，x2＝﹣5
【分析】由表格中的数据可求出抛物线的解析式，则一元二次方程ax2+bx+c＝﹣5中各项的系数已知，再解方程即可．
【解答】解：由题意可知点（﹣2，3），（0，3），（1，0）在二次函数y＝ax2+bx+c的图象上，
则，
解得：，
所以一元二次方程ax2+bx+c＝﹣5可化为：﹣x2﹣2x+3＝﹣5，
解得：x1＝2，x2＝﹣4，
故选：C．
9．（3分）如图，矩形ABCD的长和宽分别为6和4，E、F、G、H依次是矩形ABCD各边的中点，则四边形EFGH的周长等于（ ）
A．20 B．4 C．10 D．2
【分析】根据矩形ABCD中，E、F、G、H分别是AD、AB、BC、CD的中点，利用三角形中位线定理求证EF＝GH＝FG＝EH，然后利用四条边都相等的平行四边形是菱形．根据菱形的性质来计算四边形EFGH的周长即可．
【解答】解：连接BD，AC．
在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，∠DAB＝90°，则由勾股定理易求得BD＝AC＝2．
∵矩形ABCD中，E、F、G、H分别是AD、AB、BC、CD的中点，
∴EF为△ABC的中位线，
∴EF＝AC＝，EF∥AC，
又GH为△BCD的中位线，
∴GH＝AC＝，GH∥AC，
∴HG＝EF，HG∥EF，
∴四边形EFGH是平行四边形．
同理可得：FG＝BD＝，EH＝AC＝，
∴EF＝GH＝FG＝EH＝，
∴四边形EFGH是菱形．
∴四边形EFGH的周长是：4EF＝4，
故选：B．
10．（3分）乐乐观察“抖空竹“时发现，可以将某一时刻的情形抽象成数学问题：如图，已知AB∥CD，∠BAE＝92°，∠DCE＝121°，则∠AEC的度数是（ ）
A．30° B．29° C．28° D．27°
【分析】延长DC交AE于F，依据AB∥CD，∠BAE＝92°，可得∠CFE＝92°，再根据三角形外角性质，即可得到∠AEC＝∠DCE﹣∠CFE．
【解答】解：如图，延长DC交AE于F，
∵AB∥CD，∠BAE＝92°，
∴∠CFE＝92°，
又∵∠DCE＝121°，
∴∠AEC＝∠DCE﹣∠CFE＝121°﹣92°＝29°．
故选：B．
11．（3分）我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．”其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？设这批椽的数量为x株，则符合题意的方程是（ ）
A．3（x﹣1）＝ B．＝3
C．3x﹣1＝ D．＝3
【分析】根据单价＝总价÷数量结合少拿一株椽后剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，即可得出关于x的分式方程，此题得解．
【解答】解：依题意，得：3（x﹣1）＝．
故选：A．
12．（3分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD，B＝60°，AD＝2，BC＝8，点P从点B出发沿折线BA﹣AD﹣DC匀速运动，同时，点Q从点B出发沿折线BC﹣CD匀速运动，点P与点Q的速度相同，当二者相遇时，运动停止，设点P运动的路程为x，△BPQ的面积为y，则y关于x的函数图象大致是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】①当点P在AB上运动时（0≤x≤6），y＝BQ×BPsinB＝x2，当x＝6时，y＝9；②6＜x＜8，y为一次函数；③当x≥8时，点PC＝6+2+6﹣x＝14﹣x，QC＝x﹣8，则PQ＝22﹣2x，而△BPQ的高常数，即可求解．
【解答】解：由题意得：四边形ABCD为等腰梯形，如下图，分别过点A、D作梯形的高AM、DN交BC于点M、N，
则MN＝AD＝2，BM＝NC＝（BC﹣AD）＝3，
则AB＝2BM＝6，
①当点P在AB上运动时（0≤x≤6），
y＝BQ×BPsinB＝x2，当x＝6时，y＝9，
图象中符合条件的有B、D；
②6＜x＜8，y为一次函数；
③当x≥8时，点PC＝6+2+6﹣x＝14﹣x，QC＝x﹣8，
则PQ＝22﹣2x，
而△BPQ的高常数，故y的表达式为一次函数，
故在B、D中符合条件的为B，
故选：B．
二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分）
13．（3分）长沙地铁3号线、5号线即将试运行，为了解市民每周乘坐地铁出行的次数，某校园小记者随机调查了100名市民，得到如下统计表：
次数
7次及以上
6
5
4
3
2
1次及以下
人数
8
12
31
24
15
6
4
这次调查中的众数和中位数分别是 5 ， 5 ．
【分析】根据中位数和众数的概念求解即可．
【解答】解：这次调查中的众数是5，
这次调查中的中位数是，
故答案为：5；5．
14．（3分）若A（），B（），C（）为二次函数y＝x2+4x﹣5的图象上三点，则y1，y2，y3的大小关系为 y2 ＜ y1 ＜ y3 ．
【分析】此题可根据给出的二次函数判断开口方向向上，对称轴为直线x＝﹣2，再比较图象上三点到对称轴的距离，则距离越大，其纵坐标越大．
【解答】解：对二次函数y＝x2+4x﹣5，a＝1＞0，开口向上，对称轴为直线x＝﹣2．
又A、B、C三点到对称轴的距离分别为|﹣﹣（﹣2）|＝，|﹣﹣（﹣2）|＝，|﹣（﹣2）|＝，
∴y2＜y1＜y3，
故答案是：y2、y1、y3．
15．（3分）已知菱形ABCD的边长为5cm，对角线AC＝6cm，则其面积为 24 cm2．
【分析】根据菱形的性质结合勾股定理得出BD的长，进而利用菱形面积公式求出答案．
【解答】解：如图所示：
∵菱形ABCD的边长为5cm，对角线AC＝6cm，
∴AO＝CO＝3cm，则BO＝＝4（cm），
则BD＝8cm，
则其面积为：×6×8＝24（cm2）．
故答案为：24．
16．（3分）在数学探究活动中，敏敏进行了如下操作：如图，将四边形纸片ABCD沿过点A的直线折叠，使得点B落在CD上的点Q处．折痕为AP；再将△PCQ，△ADQ分别沿PQ，AQ折叠，此时点C，D落在AP上的同一点R处．请完成下列探究：
（1）∠PAQ的大小为 30 °；
（2）当四边形APCD是平行四边形时，的值为 ．
【分析】（1）由折叠的性质可得∠B＝∠AQP，∠DAQ＝∠QAP＝∠PAB，∠DQA＝∠AQR，∠CQP＝∠PQR，∠D＝∠ARQ，∠C＝∠QRP，由平角的性质可得∠D+∠C＝180°，∠AQP＝90°，可证AD∥BC，由平行线的性质可得∠DAB＝90°，即可求解；
（2）由平行四边形和折叠的性质可得AR＝PR，由直角三角形的性质可得AP＝2PB＝2QR，AB＝PB，即可求解．
【解答】解：（1）由折叠的性质可得：∠B＝∠AQP，∠DAQ＝∠QAP＝∠PAB，∠DQA＝∠AQR，∠CQP＝∠PQR，∠D＝∠ARQ，∠C＝∠QRP，
∵∠QRA+∠QRP＝180°，
∴∠D+∠C＝180°，
∴AD∥BC，
∴∠B+∠DAB＝180°，
∵∠DQR+∠CQR＝180°，
∴∠DQA+∠CQP＝90°，
∴∠AQP＝90°，
∴∠B＝∠AQP＝90°，
∴∠DAB＝90°，
∴∠DAQ＝∠QAP＝∠PAB＝30°，
故答案为：30；
（2）由折叠的性质可得：AD＝AR，CP＝PR，
∵四边形APCD是平行四边形，
∴AD＝PC，
∴AR＝PR，
又∵∠AQP＝90°，
∴QR＝AP，
∵∠PAB＝30°，∠B＝90°，
∴AP＝2PB，AB＝PB，
∴PB＝QR，
∴＝，
故答案为：．
三、解答题（本大题共9小题，共72分）
17．（6分）计算：（﹣）﹣2+﹣|1﹣|+（π+2020）0．
【分析】直接利用负整数指数幂的性质以及绝对值的性质、零指数幂的性质、二次根式的性质分别化简得出答案．
【解答】解：原式＝4+2﹣（﹣1）+1
＝4+2﹣+1+1
＝+6．
18．（6分）先化简，再求值：，从﹣1，1，2，3中选择一个合适的数代入并求值．
【分析】根据分式的化简求值的过程计算即可求解．
【解答】解：原式＝＝．
∵x2﹣1≠0，x﹣2≠0，
∴取x＝3，原式＝＝4．
19．（6分）解方程：
（1）（x+1）2＝2x+2；
（2）2x2﹣4x﹣1＝0．
【分析】（1）利用因式分解法求解即可；
（2）利用配方法求解即可．
【解答】解：（1）（x+1）2＝2x+2，
（x+1）2﹣2（x+1）＝0，
（x+1）（x+1﹣2）＝0，
∴x+1＝0或x﹣1＝0，
∴x1＝﹣1，x2＝1；
（2）2x2﹣4x﹣1＝0，
x2﹣2x＝，
x2﹣2x+1＝+1，即（x﹣1）2＝
∴x﹣1＝，
∴x1＝1+，x2＝1﹣．
20．（8分）为提升学生的艺术素养，学习计划开设四门艺术选修课：A书法；B绘画；C乐器；D舞蹈，为了解学生对四门功课的喜欢情况，在全校范围内随机抽取若干名学生进行问卷调查（每个被调查的学生必须选择而且只能选择其中一门），将数据进行整理，并绘制成如下两幅不完整的统计图，请结合图中所给信息解答下列问题：
（1）本次调查的学生共有 40 人，扇形统计图中∠α的度数是 108° ；
（2）请把条形统计图补充完整；
（3）如果该校共有2500名学生，请你估计该校D类学生约有多少人？
【分析】（1）从两个统计图可得，“B组”的有8人，占调查人数的20%，可求出班级人数；样本中，“D组”占，因此圆心角占360°的，可求出度数；
（2）求出“C组”人数，即可补全条形统计图：
（3）样本估计总体，样本中，“D组”占，估计总体500人的，是“D组”人数．
【解答】解：（1）8÷20%＝40（人），C组人数为40﹣4﹣8﹣16＝12（人），360°×＝108°，
故答案为：40，108°，
（2）补全条形统计图如图所示：
（3）2500×＝1000（人）．
答：该校2500名学生中D类的约有1000人．
21．（8分）已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2+2（m﹣3）x+m2+1的两个根．
（1）当m取何值时，原方程有两个不相等的实数根？
（2）若以x1，x2为对角线的菱形边长是，试求m的值．
【分析】（1）若方程有两个不相等的实数根，则有△＝b2﹣4ac＞0，得到关于m的不等式，求解即可；
（2）由根与系数的关系得出x1+x2＝﹣2（m﹣3），x1•x2＝﹣m2+1．根据菱形的对角线互相垂直平分的性质以及勾股定理得出（x1）2+（x2）2＝3，那么（x1+x2）2﹣2x1•x2＝12，由此得出关于m的方程，解方程即可．
【解答】解：（1）由题意得△＝[2（m﹣3）]2﹣4（m2+1）＝32﹣24m，
要使方程有两个不相等的实数根，需要△＞0，
即32﹣24m＞0，解得m＜，
即m＜时，方程有两个不相等的实数根．
（2）∵x1，x2是关于x的一元二次方程x2+2（m﹣3）x+m2+1＝0的两个根，
∴x1+x2＝﹣2（m﹣3），x1•x2＝m2+1．
∵x1，x2为菱形的对角线，
∴x1，x2互相垂直并且平分，
∴（ x1）2+（ x2）2＝3，
∴x12+x22＝12，
∴（x1+x2）2﹣2x1•x2＝12，
∴（x1+x2）2﹣2x1•x2＝12，
∴[﹣2（m﹣3）]2﹣2（m2+1）＝12，
∴m2﹣12m+11＝0，
解得，m1＝1，m2＝11．
∵m＜，
∴m2＝11不合题意，舍去，
∴m的值为1．
22．（9分）疫情期间，小明去药店购买A、B两种口罩，每次购买同一种口罩的单价相同．第一次购买A种口罩30个、B种口罩10个共110元；第二次购买A种口罩20个、B种口罩30个共120元．根据以上信息解答下列问题：
（1）求A、B两种口罩的单价；
（2）若第三次购买这两种口罩共60个，且A种口罩的数量不少于B种口罩数量的2倍，请设计出最省钱的购买方案，并说明理由．
【分析】（1）设A种口罩的单价为x元，B种口罩的单价为y元，根据“第一次购买A种口罩30个、B种口罩10个共110元；第二次购买A种口罩20个、B种口罩30个共120元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设第三次购买A种口罩m个，则购买B种口罩（60﹣m）个，根据购进A种口罩的数量不少于B种口罩数量的2倍，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围，设第三次购买这两种口罩共需w元，根据总价＝单价×数量，即可得出w关于m的函数关系式，再利用一次函数的性质即可解决最值问题．
【解答】解：（1）设A种口罩的单价为x元，B种口罩的单价为y元，
依题意，得：，
解得：．
答：A种口罩的单价为3元，B种口罩为2元．
（2）设第三次购买A种口罩m个，则购买B种口罩（60﹣m）个，
依题意，得：m≥2（60﹣m），
解得：m≥40．
设第三次购买这两种口罩共需w元，则w＝3m+2（60﹣m）＝m+120，
∵k＝1＞0，
∴w随m的增大而增大，
∴当m＝40时，w取得最小值，
∴最省钱的购买方案为：购买A种口罩40个，B种口罩20个．
23．（9分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AC与BD交于点E，点E是BD的中点，延长CD到点F，使DF＝CD，连接AF，
（1）求证：AE＝CE；
（2）求证：四边形ABDF是平行四边形；
（3）若AB＝2，AF＝4，∠F＝30°，则四边形ABCF的面积为 6 ．
【分析】（1）根据平行线的性质得出∠ADE＝∠CBE，根据全等三角形的判定得出△ADE≌△CBE，根据全等三角形的性质得出即可；
（2）根据平行四边形的判定推出即可；
（3）求出高DQ和CH，再根据面积公式求出即可．
【解答】（1）证明：∵点E是BD的中点，
∴BE＝DE，
∵AD∥BC，
∴∠ADE＝∠CBE，
在△ADE和△CBE中
∴△ADE≌△CBE（ASA），
∴AE＝CE；
（2）证明：∵AE＝CE，BE＝DE，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∵DF＝CD，
∴DF＝AB，
即DF＝AB，DF∥AB，
∴四边形ABDF是平行四边形；
（3）解：
过C作CH⊥BD于H，过D作DQ⊥AF于Q，
∵四边形ABCD和四边形ABDF是平行四边形，AB＝2，AF＝4，∠F＝30°，
∴DF＝AB＝2，CD＝AB＝2，BD＝AF＝4，BD∥AF，
∴∠BDC＝∠F＝30°，
∴DQ＝DF＝＝1，CH＝DC＝＝1，
∴四边形ABCF的面积S＝S平行四边形BDFA+S△BDC＝AF×DQ+＝4×1+＝6，
故答案为：6．
24．（10分）新定义：有一组对角相等而另一组对角不相等的凸四边形叫做“等对角四边形
（1）已知：如图1，四边形ABCD是“等对角四边形”，∠A≠∠C，∠A＝60°，∠B＝70°，求∠C，∠D的度数
（2）在探究“等对角四边形”性质时：小红画了一个“等对角四边形”ABCD（如图2），其中∠ABC＝∠ADC，AB＝AD，此时她发现CB＝CD成立．请你证明此结论
（3）已知：在“等对角四边形ABCD中，∠DAB＝60°，∠ABC＝90°，AB＝10，AD＝8．求对角线AC的长．
【分析】（1）根据四边形ABCD是“等对角四边形”得出∠D＝∠B＝70°，根据四边形内角和定理求出∠C即可；
（2）连接BD，根据等边对等角得出∠ABD＝∠ADB，求出∠CBD＝∠CDB，根据等腰三角形的判定得出即可；
（3）分两种情况：
①当∠ADC＝∠ABC＝90°时，延长AD，BC相交于点E，先用含30°角的直角三角形的性质求出AE，得出DE，再用三角函数求出CD，由勾股定理求出AC；
②当∠BCD＝∠DAB＝60°时，过点D作DM⊥AB于点M，DN⊥BC于点N，则∠AMD＝90°，四边形BNDM是矩形，先求出AM、DM，再由矩形的性质得出DN＝BM＝6，BN＝DM＝4，求出CN、BC，根据勾股定理求出AC即可．
【解答】（1）解：∵四边形ABCD是“等对角四边形”，∠A≠∠C，∠A＝60°，∠B＝70°，
∴∠D＝∠B＝70°，
∴∠C＝360°﹣70°﹣70°﹣60°＝160°；
（2）证明：如图2，连接BD，
∵AB＝AD，
∴∠ABD＝∠ADB，
∵∠ABC＝∠ADC，
∴∠ABC﹣∠ABD＝∠ADC﹣∠ADB，
∴∠CBD＝∠CDB，
∴CB＝CD；
（3）解：分两种情况：
①当∠ADC＝∠ABC＝90°时，延长AD，BC相交于点E，如图3所示：
∵∠ABC＝90°，∠DAB＝60°，AB＝10，AD＝8，
∴∠E＝30°，
∴AE＝2AB＝20，
∴DE＝AE﹣AD＝20﹣8═12，
∵∠EDC＝90°，∠E＝30°，
∴CD＝＝4，
∴AC＝＝＝4；
②当∠BCD＝∠DAB＝60°时，
过点D作DM⊥AB于点M，DN⊥BC于点N，如图4所示：
则∠AMD＝90°，四边形BNDM是矩形，
∵∠DAB＝60°，AD＝8，AB＝10，
∴∠ADM＝30°，
∴AM＝AD＝4，
∴DM＝AM＝4，
∴BM＝AB﹣AM＝10﹣4＝6，
∵四边形BNDM是矩形，
∴DN＝BM＝6，BN＝DM＝4，
∵∠BCD＝60°，
∴CN＝＝2，
∴BC＝CN+BN＝6，
∴AC＝＝＝4．
综上所述：AC的长为4或4．
25．（10分）如图，已知抛物线：y1＝﹣x2﹣2x+3与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C．
（1）直接写出点A，B，C的坐标；
（2）将抛物线y1经过向右与向下平移，使得到的抛物线y2与x轴交于B，B'两点（B'在B的右侧），顶点D的对应点为点D'，若∠BD'B'＝90°，求点B'的坐标及抛物线y2的解析式；
（3）在（2）的条件下，若点Q在x轴上，则在抛物线y1或y2上是否存在点P，使以B′，C，Q，P为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出所有符合条件的点P的坐标；如果不存在，请说明理由．
【分析】（1）令x＝0或y1＝0，解方程可得结论．
（2）设平移后的抛物线的解析式为y2＝﹣（x﹣a）2+b，如图1中，过点D′作D′H⊥OB′于H．，连接BD′，B′D′．构建方程组解决问题即可．
（3）观察图象可知，当点P的纵坐标为3或﹣3时，存在满足条件的平行四边形．分别令y1和y2等于3或﹣3，解方程即可解决问题．
【解答】解：（1）对于y1＝﹣x2﹣2x+3，令y1＝0，得到﹣x2﹣2x+3＝0，解得x＝﹣3或1，
∴A（﹣3，0），B（1，0），
令x＝0，得到y1＝3，
∴C（0，3）．
（2）设平移后的抛物线的解析式为y2＝﹣（x﹣a）2+b，
如图1中，过点D′作D′H⊥OB′于H，连接BD′．
∵D′是抛物线的顶点，
∴D′B＝D′B′，D′（a，b），
∵∠BD′B′＝90°，D′H⊥BB′，
∴BH＝HB′，
∴D′H＝BH＝HB′＝b，
∴a＝1+b，
又∵y2＝﹣（x﹣a）2+b，经过B（1，0），
∴b＝（1﹣a）2，
解得a＝2或1（不合题意舍弃），b＝1，
∴B′（3，0），y2＝﹣（x﹣2）2+1＝﹣x2+4x﹣3．
（3）如图2中，
观察图象可知，当点P的纵坐标为3或﹣3时，存在满足条件的平行四边形．
对于y1＝﹣x2﹣2x+3，令y1＝3，x2+2x＝0，解得x＝0或﹣2，可得P1（﹣2，3），
令y1＝﹣3，则x2+2x﹣6＝0，解得x＝﹣1，可得P2（﹣1﹣，﹣3），P3（﹣1+，﹣3），
对于y2＝﹣x2+4x﹣3，令y2＝3，方程无解，
令y2＝﹣3，则x2﹣4x＝0，解得x＝0或4，可得P4（0，﹣3），P5（4，﹣3），
综上所述，满足条件的点P的坐标为（﹣2，3）或（﹣1﹣，﹣3）或（﹣1+，﹣3）或（0，﹣3）或（4，﹣3）．
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