初中数学北师大版九年级上册6 应用一元二次方程第1课时同步达标检测题

这是一份初中数学北师大版九年级上册6 应用一元二次方程第1课时同步达标检测题，共8页。

知识点 1 用一元二次方程解决几何图形问题


1．某中学准备建一个面积为375 m2的矩形游泳池，且游泳池的宽比长短10 m．设游泳池的长为x m，则可列方程为( )


A．x(x－10)＝375 B．x(x＋10)＝375


C．2x(2x－10)＝375 D．2x(2x＋10)＝375


2．2017·贵阳期末如图2－6－1所示，某小区计划在一块长20 m，宽15 m的矩形荒地上建造一个花园(图中阴影部分)，使得花园所占面积为荒地面积的一半，其中每个角上的扇形都相同，则每个扇形的半径x是多少？(精确到0.1 m)





图2－6－1











知识点 2 用一元二次方程解决动态几何图形问题


3．如图2－6－2，A，B，C，D为矩形的四个顶点，AB＝16 cm，BC＝6 cm，动点P，Q分别从点A，C出发，点P以3 cm/s的速度向点B移动，一直到达点B为止；同时点Q以2 cm/s的速度向点D移动．当其中一点到达终点时，另外一点也随之停止移动．经过多长时间，P，Q两点之间的距离是10 cm?





图2－6－2








4．教材习题2.9第2题变式题如图2－6－3所示，在Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＝8 cm，BC＝6 cm, 点P，Q同时由A，B两点出发分别沿AC，BC方向向点C匀速移动，它们的速度都是1 cm/s.当其中一点到达终点时，另外一点也随之停止移动．经过几秒后，△PCQ的面积为Rt△ACB面积的四分之一？





图2－6－3





5．如图2－6－4所示，一根木棍OE垂直平分柱子AB，AB＝200 cm，OE＝260 cm，一只老鼠C由柱子底端点A以2 cm/s的速度向顶端点B爬行，同时，另一只老鼠D由点O以3 cm/s的速度沿木棍OE爬行，当老鼠C在线段OA上时，是否存在某一时刻，使两只老鼠与点O组成的三角形的面积为1800 cm2？若存在，求出爬行的时间；若不存在，请说明理由．





图2－6－4























6．如图2－6－5，在矩形ABCD中，AB＝6 cm，BC＝12 cm，点P从点A沿边AB向点B以1 cm/s的速度移动；同时，点Q从点B沿边BC向点C以2 cm/s的速度移动，经过x s后△PDQ的面积等于28 cm2，则x的值为( )


A．1或4 B．1或6


C．2或4 D．2或6


图2－6－5


图2－6－6


7．如图2－6－6，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝BC＝12 cm，点D从点A开始沿AB边以2 cm/s的速度向点B移动，移动过程中始终保持DE∥BC，DF∥AC，则点D出发________时，四边形DFCE的面积为20 cm2.


8．某单位准备将院内一块长30 m、宽20 m的长方形空地建成一个矩形花园．要求在花园中修两条纵向平行和一条横向弯折的小道，剩余的地方种植花草，如图2－6－7所示．要使种植花草的面积为532 m2，那么小道进出口的宽度应为多少？(注：所有小道进出口的宽度相等，且每段小道均为平行四边形)





图2－6－7














9．如图2－6－8所示，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝5 cm，BC＝7 cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1 cm/s的速度移动，同时点Q从点B开始沿BC边向点C以2 cm/s的速度移动，当其中一点到达终点时，另外一点也随之停止．


(1)几秒后，△PBQ的面积等于4 cm2?


(2)几秒后，PQ的长度等于5 cm?


(3)△PBQ的面积能否等于7 cm2?





图2－6－8














10．如图2－6－9，已知一艘轮船以20海里/时的速度由西向东航行，途中接到台风警报，台风中心正以40海里/时的速度由南向北移动，距台风中心20eq \r(10)海里的圆形区域(包括边界)都属台风区．当轮船到A处时，测得台风中心移到位于点A正南方向的B处，且AB＝100海里，若这艘轮船自A处按原速度继续航行，在途中会不会遇到台风？若会，试求经过多长时间轮船最初遇到台风；若不会，请说明理由．





图2－6－9
































1．A


2．解：根据题意，得4×eq \f(1,4)πx2＝eq \f(1,2)×20×15，


解得x1≈6.9，x2≈－6.9(舍去)．


答：每个扇形的半径x大约是6.9 m.


3．解：设经过x s，P，Q两点之间的距离是10 cm，根据题意，得


62＋(16－5x)2＝102，


整理，得25x2－160x＋192＝0，


解得x1＝1.6，x2＝4.8.


答：经过1.6 s或4.8 s，P，Q两点之间的距离是10 cm.


4．解：设经过x s后，△PCQ的面积为Rt△ACB面积的四分之一．


根据题意，得eq \f(1,2)(6－x)(8－x)＝eq \f(1,2)×6×8×eq \f(1,4)，


化简，得x2－14x＋36＝0，


解得x1＝7＋eq \r(13)(舍去)，x2＝7－eq \r(13).


所以经过(7－eq \r(13))s后，△PCQ的面积为Rt△ACB面积的四分之一．


5．解：存在．


因为OE垂直平分AB，AB＝200 cm，


所以OA＝100 cm.


当老鼠C在OA上运动时，设两只老鼠同时爬行x s时，两只老鼠与点O组成的△COD的面积为1800 cm2，


则AC＝2x cm，OC＝(100－2x)cm，OD＝3x cm.


由S△OCD＝eq \f(1,2)OC·OD，


得eq \f(1,2)(100－2x)·3x＝1800.


整理，得x2－50x＋600＝0.


解得x1＝20，x2＝30.


当x＝20时，2x＝40<100；


当x＝30时，2x＝60<100，


所以x＝20和x＝30均符合题意．


所以当两只老鼠同时爬行20 s或30 s时，它们与点O组成的△COD的面积为1800 cm2.


6．C [解析] ∵S矩形ABCD－S△APD－S△BPQ－S△CDQ＝S△PDQ，∴12×6－eq \f(1,2)×12x－eq \f(1,2)×2x(6－x)－eq \f(1,2)×6×(12－2x)＝28，化简、整理，得x2－6x＋8＝0，解得x1＝2，x2＝4.


7．1 s或5 s [解析] 设点D出发x s时，四边形DFCE的面积为20 cm2，由题意，得eq \f(1,2)×12×12－eq \f(1,2)×4x2－eq \f(1,2)×(12－2x)2＝20，化简、整理得x2－6x＋5＝0，


解得x1＝1，x2＝5.


8．解：设小道进出口的宽度应为x m，根据题意，得(30－2x)(20－x)＝532.


整理，得x2－35x＋34＝0.


解得x1＝1，x2＝34.


∵34>30，∴不合题意，舍去，∴x＝1.


答：小道进出口的宽度应为1 m.


9．解：(1)设x s后，△PBQ的面积等于4 cm2.


此时AP＝x cm，BP＝(5－x)cm，BQ＝2x cm.


由S△PBQ＝eq \f(1,2)BP·BQ＝4，


得eq \f(1,2)(5－x)·2x＝4.


整理，得x2－5x＋4＝0.


解得x1＝1，x2＝4.


当x＝4时，2x＝8>7，


说明此时点Q越过点C，不符合要求，舍去，


∴1 s后，△PBQ的面积等于4 cm2.


(2)设y s后PQ的长度等于5 cm，此时AP＝y cm，BP＝(5－y)cm，BQ＝2y cm.


由BP2＋BQ2＝52，


得(5－y)2＋(2y)2＝52.


整理，得y2－2y＝0.


解得y1＝0(不合题意，舍去)，y2＝2.


∴2 s后，PQ的长度等于5 cm.


(3)假设△PBQ的面积能等于7 cm2，此时点P，Q的运动时间为z s，则eq \f(1,2)(5－z)·2z＝7，


整理，得z2－5z＋7＝0.


∵(－5)2－4×7＝－3<0，


∴方程没有实数根，


∴△PBQ的面积不可能等于7 cm2.





10．解：假设轮船途中会遇到台风，且经过t h最初遇到，此时轮船位于C处，台风中心移到E处，连接CE，则AC＝20t，AE＝AB－BE＝100－40t.


∵AC2＋AE2＝EC2，


∴(20t)2＋(100－40t)2＝(20eq \r(10))2，


400t2＋10000－8000t＋1600t2＝4000，


t2－4t＋3＝0，


(t－1)(t－3)＝0，


解得t1＝1，t2＝3(不合题意，舍去)．


答：若这艘轮船自A处按原速度继续航行，在途中会遇到台风，经过1 h轮船最初遇到台风．