初中数学北师大版九年级上册第四章 图形的相似4 探索三角形相似的条件第1课时课时作业

这是一份初中数学北师大版九年级上册第四章 图形的相似4 探索三角形相似的条件第1课时课时作业，共10页。试卷主要包含了下列说法中错误的是，如图4－4－5，添加一个条件等内容，欢迎下载使用。

知识点 1 对相似三角形定义的理解


1．下列说法中错误的是( )


A．两个全等三角形一定相似


B．两个直角三角形一定相似


C．两个相似三角形的对应角相等，对应边成比例


D．相似的两个三角形不一定全等


2．已知△ABC∽△A′B′C′，且BC∶B′C′＝AC∶A′C′，若AC＝3，A′C′＝4.5，则△A′B′C′与△ABC的相似比为( )


A．1∶3 B．3∶2 C．3∶5 D．2∶3


3．2017·贵阳期末一个三角形三边的长分别为3，5，7，另一个与它相似的三角形的最长边是21，则该三角形的最短边是( )


A．6 B．9 C．10 D．15


4．如图4－4－1，已知△ADE∽△ACB，且∠ADE＝∠C，则AD∶AC等于( )





图4－4－1


A．AE∶AC


B．DE∶CB


C．AE∶BC


D．DE∶AB


5．若△ABC∽△A′B′C′，AB＝2，BC＝3，A′B′＝1，则B′C′等于( )


A．1.5 B．3 C．2 D．1


6．如图4－4－2所示，已知△ABC∽△ADE，AD＝6 cm，BD＝3 cm，BC＝9.9 cm，∠A＝70°，∠B＝50°.


求：(1)∠ADE的度数；


(2)∠AED的度数；


(3)DE的长．





图4－4－2








知识点 2 利用两角分别相等判定三角形相似


7．如图4－4－3所示的三个三角形，相似的是( )





图4－4－3


A．(1)和(2) B．(2)和(3)


C．(1)和(3) D．(1)和(2)和(3)


8．教材习题4.5第3题变式题如图4－4－4，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，则图中相似三角形有( )


A．0对 B．1对 C．2对 D．3对


图4－4－4


图4－4－5


9．如图4－4－5，添加一个条件：__________(写出一个即可)，使△ADE∽△ACB.


10．将两块大小一样的含30°角的直角三角板叠放在一起，使得它们的斜边AB重合，直角边不重合(如图4－4－6)，AC与BD相交于点E.连接CD，请写出图中的一对相似三角形，并加以证明．





图4－4－6














11．如图4－4－7，在▱ABCD中，E是AD延长线上一点，BE交AC于点F，交DC于点G，则下列结论中错误的是





图4－4－7


( )


A．△ABE∽△DGE


B．△CGB∽△DGE


C．△BCF∽△EAF


D．△ACD∽△GCF


12．2016·贵阳期末如图4－4－8，△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，则图中相似三角形的对数是( )


A．1 B．2 C．3 D．4


图4－4－8


图4－4－9


13．如图4－4－9，已知P是Rt△ABC的斜边BC上任意一点，若过点P作直线PD与直角边AB或AC相交于点D，截得的小三角形与△ABC相似，则点D的位置最多有________处．


14．如图4－4－10，在△ABC中，AB＝AC，BD＝CD，CE⊥AB于点E.求证：△ABD∽△CBE.





图4－4－10




















15．如图4－4－11，△PMN是等边三角形，∠APB＝120°，求证：AM·PB＝PN·AP.





图4－4－11











16．如图4－4－12，点D在等边三角形ABC的BC边上，△ADE为等边三角形，DE与AC相交于点F.


(1)求证：△ABD∽△DCF；


(2)除了△ABD∽△DCF外，请写出图中其他所有的相似三角形．





图4－4－12





17．如图4－4－13，在平面直角坐标系内，已知点A(0，6)，点B(8，0)．动点P从点A开始在线段AO上以每秒1个单位长度的速度向点O移动，同时动点Q从点B开始在线段BA上以每秒2个单位长度的速度向点A移动，设点P，Q移动的时间为t秒．


(1)求直线AB的函数表达式；


(2)当t为何值时，△APQ与△AOB相似？并求出此时点P与点Q的坐标．





图4－4－13
































详解


1．B 2.B


3．B [解析] 设与它相似的三角形的最短边的长为x，


∵一个三角形三边的长分别为3，5，7，另一个与它相似的三角形的最长边是21，


∴eq \f(x,3)＝eq \f(21,7)，解得x＝9.故选B.


4．B [解析] 根据相似三角形的定义可知，△ADE∽△ACB，且∠ADE和∠C是对应角，因此AD，AC与DE，CB对应成比例．


5．A [解析] ∵△ABC∽△A′B′C′，


∴eq \f(AB,A′B′)＝eq \f(BC,B′C′)，即eq \f(2,1)＝eq \f(3,B′C′)，


解得B′C′＝1.5.故选A.


6．解：(1)∵△ABC∽△ADE，


∴∠ADE＝∠B＝50°.


(2)在△ADE中，∠A＋∠ADE＋∠AED＝180°，


∴∠AED＝180°－70°－50°＝60°.


(3)∵△ADE∽△ABC，


∴eq \f(AD,AB)＝eq \f(DE,BC)，


即eq \f(6,6＋3)＝eq \f(DE,9.9)，


∴DE＝6.6(cm)．


7．A


8．D [解析] ∵CD是斜边AB上的高，


∴∠ADC＝∠BDC＝90°.


∵∠CAD＝∠BAC，


∴Rt△ACD∽Rt△ABC.


∵∠DBC＝∠CBA，


∴Rt△ABC∽Rt△CBD，


∴Rt△CBD∽Rt△ACD.共有3对．故选D.


9．∠ADE＝∠C(答案不唯一)


10．解：答案不唯一，如△ADE∽△BDA.


证明：∵∠CAB＝30°，∠BAD＝60°，


∴∠DAE＝30°＝∠DBA.


又∵∠ADE＝∠BDA＝90°，


∴△ADE∽△BDA.


11．D [解析] ∵四边形ABCD是平行四边形，


∴AB∥CD，


∴∠EDG＝∠EAB.


又∵∠E＝∠E，


∴△ABE∽△DGE；


∵AE∥BC，


∴∠EDG＝∠BCG，∠E＝∠CBG，


∴△CGB∽△DGE；


∵AE∥BC，


∴∠E＝∠FBC，∠EAF＝∠BCF，


∴△BCF∽△EAF.


第四个无法证得．故选D.


12．C [解析] ∵DE∥BC，EF∥AB，


∴∠ABC＝∠ADE，∠AED＝∠ACB，∠CEF＝∠CAB，∠CFE＝∠CBA，


∴△ADE∽△ABC，△EFC∽△ABC，


∴△ADE∽△EFC.


∴图中相似三角形的对数是：3.


故选C.


13．3 [解析] ∵截得的小三角形与△ABC相似，∴过点P作AC的垂线，作AB的垂线，作BC的垂线，所截得的三角形均满足题意，则点D的位置最多有3处．





14．证明：∵在△ABC中，AB＝AC，BD＝CD，


∴AD⊥BC.


∵CE⊥AB，


∴∠ADB＝∠CEB＝90°.


又∵∠B＝∠B，


∴△ABD∽△CBE.


15．证明：∵△PMN是等边三角形，


∴∠PMN＝60°，PN＝MP，


∴∠AMP＝180°－∠PMN＝120°＝∠APB.


又∵∠A＝∠A，


∴△AMP∽△APB，


∴eq \f(AM,AP)＝eq \f(MP,PB)，


∴AM·PB＝MP·AP，


∴AM·PB＝PN·AP.


16．解：(1)证明：∵△ABC，△ADE均为等边三角形，


∴∠B＝∠C＝∠ADE＝60°，


∴∠ADB＋∠FDC＝∠DFC＋∠FDC，


∴∠ADB＝∠DFC.


∴△ABD∽△DCF.


(2)∵∠C＝∠E，∠AFE＝∠DFC，


∴△AEF∽△DCF，


∴△ABD∽△AEF.


∵△ABC与△ADE均为等边三角形，


∴△ABC∽△ADE.


∵∠ADC＝∠ADF＋∠CDF＝∠C＋∠CDF＝∠AFD，又∠DAF＝∠CAD,


∴△ADF∽△ACD.


故除了△ABD∽△DCF外，图中的相似三角形还有：△AEF∽△DCF，△ABD∽△AEF，△ABC∽△ADE，△ADF∽△ACD.


17．解：(1)直线AB的函数表达式为y＝－eq \f(3,4)x＋6.


(2)在Rt△AOB中，由勾股定理得AB＝10.


由题意，知AP＝t，AQ＝10－2t.可分两种情况讨论：


①当∠APQ＝∠AOB时，有△APQ∽△AOB，得eq \f(AP,AO)＝eq \f(AQ,AB)，解得t＝eq \f(30,11)，


此时，Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(36,11)))，Qeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(40,11)，\f(36,11))).


②当∠AQP＝∠AOB时，


有△APQ∽△ABO，


得eq \f(AP,AB)＝eq \f(AQ,AO)，解得t＝eq \f(50,13)，


此时，Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(28,13)))，Qeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(24,13)，\f(60,13))).