初中数学北师大版九年级上册3 正方形的性质与判定教学设计

这是一份初中数学北师大版九年级上册3 正方形的性质与判定教学设计，共4页。




1.3 正方形的性质与判定


第1课时 正方形的性质





1．在对平行四边形、矩形、菱形的认识基础上探索正方形的性质，并能运用正方形的性质进行证明与计算．(重难点)


2．进一步了解平行四边形、矩形、菱形及正方形之间的相互关系，并形成文本信息与图形信息相互转化的能力．





阅读教材P20～21，完成下列问题：


(一)知识探究


1．有________相等并且有一个角是________的__________叫做正方形．


2．正方形既是________又是________，它既具有________的性质，又有________的性质．


3．正方形的________相等，都是________，________相等．


4．正方形的对角线________________________．


(二)自学反馈


正方形的性质：


1．边：________都相等且________．


2．角：四个角都是________．


3．对角线：两条对角线互相________且________，并且每一条对角线平分________．


4．正方形既是________图形，又是________图形，正方形有________对称轴．





活动1 小组讨论


例 如图，在正方形ABCD中，E为CD上一点，F为BC边延长线上一点，且CE＝CF.BE与DF之间有怎样的关系？请说明理由．





解：BE＝DF，且BE⊥DF.理由如下：


如图，延长BE交DF于点M.


∵四边形ABCD是正方形，


∴BC＝DC，∠BCE＝90°(正方形的四条边都相等，四个角都是直角)．


∴∠DCF＝180°－∠BCE＝180°－90°＝90°.


∴∠BCE＝∠DCF.


又∵CE＝CF，∴△BCE≌△DCF.


∴BE＝DF，


∵∠DCF＝90°，∴∠CDF＋∠F＝90°.


∴∠CBE＋∠F＝90°.


∴∠BMF＝90°.


∴BE⊥DF.


本题是通过证明△BCE≌△DCF来得到BE与DF之间的关系，证明三角形全等是解决这一类型问题的常用做法．


活动2 跟踪训练


1．菱形，矩形，正方形都具有的性质是( )


A．对角线相等且互相平分 B．对角线相等且互相垂直平分


C．对角线互相平分 D．四条边相等，四个角相等


2．正方形面积为36，则对角线的长为( )


A．6 B．6eq \r(2) C．9 D．9eq \r(2)


3．如图，菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝4，则以AC为边长的正方形ACEF的周长为( )


A．14 B．15 C．16 D．17





4．如图，延长正方形ABCD的边BC至E，使CE＝AC，连接AE交CD于F，则∠AFC＝________°.





5．如图，正方形ABCD的对角线AC、BD交于点O，∠OCF＝∠OBE.求证：OE＝OF.





活动3 课堂小结


eq \a\vs4\al(正方形,的性质)eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(边：正方形的四条边都相等且对边平行.,角：正方形的四个角都是直角.,\a\vs4\al(对角线：正方形的两条对角线互相垂直平分且相等，,每一条对角线平分一组对角.),对称：既是轴对称图形，又是中心对称图形，,它有四条对称轴，其对角线交点为对称中心.))








【预习导学】


(一)知识探究


1．一组邻边 直角 平行四边形 2.矩形 菱形 矩形 菱形


3．四个角 直角 四条边 4.相等且互相垂直平分


(二)自学反馈


1．四条边 对边平行 2.直角 3.垂直平分 相等 一组对角


4．中心对称 轴对称 四条


【合作探究】


活动2 跟踪训练


1．C 2.B 3.C 4.112.5


5．证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，OB＝OC.


∴∠AOB＝∠BOC＝90°.又∵∠OBE＝∠OCF，∴△OBE≌△OCF.∴OE＝OF.





第2课时 正方形的判定





1．掌握正方形的判定定理，并能综合运用特殊四边形的性质和判定解决问题．(重难点)


2．发现决定中点四边形形状的因素，熟练运用特殊四边形的判定及性质对中点四边形进行判断．





阅读教材P22～24，完成下列问题：


(一)知识探究


1．对角线相等的________是正方形．


2．对角线垂直的________是正方形．


3．有一个是直角的________是正方形．


(二)自学反馈


1．已知四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝90°，如果添加一个条件，即可推出该四边形是正方形，那么这个条件可以是( )


A．∠D＝90° B．AB＝CD


C．AD＝BC D．BC＝CD


2．下列命题正确的是( )


A．两条对角线相等的菱形是正方形


B．对角线与一边的夹角是45°的四边形是正方形


C．两邻角相等，且有一角是直角的四边形是正方形


D．对角线相等且互相垂直的四边形是正方形


3．在四边形ABCD中，O是对角线的交点，能判定这个四边形是正方形的条件是( )


A．AC＝BD，AB∥CD，AB＝CD


B．AD∥BC，∠A＝∠C


C．AO＝BO＝CO＝DO，AC⊥BD


D．AO＝CO，BO＝DO，AB＝BC


4．如图，将一张矩形纸片ABCD折叠，使AB落在AD边上，然后打开，折痕为AE，顶点B的落点为F.则四边形ABEF是________形．








活动1 小组讨论


例 如图，在矩形ABCD中，BE平分∠ABC，CE平分∠DCB，BF∥CE，CF∥BE.求证：四边形BECF是正方形．





证明：∵BF∥CE，CF∥BE，


∴四边形BECF是平行四边形．


∵四边形ABCD是矩形，


∴∠ABC＝90°，∠DCB＝90°.


又∵BE平分∠ABC，CE平分∠DCB，


∴∠EBC＝eq \f(1,2)∠ABC＝45°，∠ECB＝eq \f(1,2)∠DCB＝45°.


∴∠EBC＝∠ECB.


∴EB＝EC.


∴平行四边形BECF是菱形．


在△EBC中，


∵∠EBC＝45°，∠ECB＝45°，


∴∠BEC＝90°.


∴菱形BECF是正方形．


掌握平行四边形、矩形、菱形成为正方形所需要的条件是解决这类问题的关键．


活动2 跟踪训练


1．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，BD平分∠ABC，DE⊥BC，DF⊥AB，垂足分别为E、F，求证：四边形BEDF是正方形．





2．如图，E、F、G、H分别是正方形ABCD四条边上的点，AE＝BF＝CG＝DH，四边形EFGH是什么图形？证明你的结论．





3．如图所示，点E，F，G，H分别是CD，BC，AB，DA的中点，求证：四边形EFGH是平行四边形．





活动3 课堂小结


1．对角线相等的菱形是正方形；


2．对角线垂直的矩形是正方形；


3．有一个角是直角的菱形是正方形．





【预习导学】


(一)知识探究


1．菱形 2.矩形 3.菱形


(二)自学反馈


1．D 2.A 3.C 4.正方


【合作探究】


活动2 跟踪训练


1．证明：∵∠ABC＝90°，DE⊥BC，DF⊥AB，∴四边形BEDF是矩形．∵BD平分∠ABC，DE⊥BC，DF⊥AB，∴DE＝DF.∴四边形BEDF是正方形．


2．四边形EFGH是正方形．证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝CD＝DA.∵AE＝BF＝CG＝DH，∴HA＝EB＝FC＝GD.∵∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，∴Rt△AEH≌Rt△BFE≌Rt△CGF≌Rt△DHG.∴HE＝EF＝FG＝GH.∴四边形EFGH是菱形．又∠AHE＝∠BEF，∠AHE＋∠AEH＝90°，∴∠BEF＋∠AEH＝90°.∴∠HEF＝90°.∴四边形EFGH是正方形．


3．证明：连接BD.∵点E，F，G，H分别是CD，BC，AB，DA的中点，∴EF是△BCD的中位线，GH是△ABD的中位线．∴EF∥BD，EF＝eq \f(1,2)BD，GH∥BD，GH＝eq \f(1,2)BD.∴EF∥GH，EF＝GH.∴四边形EFGH是平行四边形．