北师大版九年级上册第二章 一元二次方程1 认识一元二次方程教案

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2．1 认识一元二次方程


第1课时 一元二次方程





1．理解一元二次方程及其相关概念，会判断满足一元二次方程的条件．(重点)


2．体会方程的模型思想．





阅读教材P31～32，完成下列问题：


(一)知识探究


1．只含有________个未知数，并且都可以化成ax2＋bx＋c＝0(a，b，c为常数，a________)的形式的________方程，这样的方程叫做一元二次方程．


2．我们把____________(a，b，c为常数，a≠0)称为一元二次方程的一般形式，其中________，________，________分别为二次项、一次项和常数项，________，________分别称为二次项系数和一次项系数．








(二)自学反馈


1．下列方程中，是一元二次方程的是( )


A．x－y2＝1 B.eq \r(x2－1)＝0


C.eq \f(1,x2)－1＝0 D.eq \f(x2,2)－eq \f(x－1,3)＝0


2．将方程(eq \r(2)x＋1)x＝(eq \r(3)x－2)x＋eq \r(2)化简整理写成一般形式后，其中a、b、c分别是( )


A.eq \r(2)－eq \r(3)，1，eq \r(2) B.eq \r(2)－eq \r(3)，1，－eq \r(2)


C.eq \r(3)－eq \r(2)，－3，eq \r(2) D.eq \r(3)－eq \r(2)，1，eq \r(2)





活动1 小组讨论


例1 判断下列方程是否为一元二次方程：


(1)1－x2＝0； (2)2(x2－1)＝3y；


(3)2x2－3x－1＝0; (4)eq \f(1,x2)－eq \f(2,x)＝0；


(5)(x＋3)2＝(x－3)2; (6)9x2＝5－4x.


解：(1)是；(2)不是；(3)是；(4)不是；(5)不是；(6)是．


判断一个方程是不是一元二次方程，首先需要将方程化简，使方程的右边为0，然后观察其是否具备以下三个条件：(1)是整式方程；(2)只含有一个未知数；(3)未知数的最高次数是2.三个条件缺一不可．


例2 将方程(8－2x)(5－2x)＝18化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项．


解：方程(8－2x)(5－2x)＝18化成一元二次方程的一般形式是2x2－13x＋11＝0，其中的二次项系数、一次项系数及常数项分别是2，－13，11.


(1)将一元二次方程化成一般形式时，通常要将首项化负为正，化分为整；(2)一元二次方程化为一般形式后，若没有出现一次项bx，则b＝0；若没有出现常数项，则c＝0.


活动2 跟踪训练


1．下列方程哪些是一元二次方程？


(1)7x2－6x＝0；


(2)2x2－5xy＋6y＝0；


(3)2x2－eq \f(1,3x)－1＝0；


(4)eq \f(y2,2)＝0；


(5)x2＋2x－3＝1＋x2.


2．将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项．


(1)5x2－1＝4x; (2)4x2＝81；


(3)4x(x＋2)＝25; (4)(3x－2)(x＋1)＝8x－3.


3．已知方程(a－4)x2－(2a－1)x－a－1＝0.


(1)a取何值时，方程为一元二次方程？


(2)a取何值时，方程为一元一次方程？


4．根据下列问题，列出关于x的方程，并将其化成一元二次方程的一般形式：


(1)4个完全相同的正方形的面积之和是25，求正方形的边长x；


(2)一个长方形的长比宽多2，面积是100，求长方形的长x；


(3)把长为1的木条分成两段，使较短一段的长与全长的积，等于较长一段的长的平方，求较短一段的长x.


活动3 课堂小结


1．一元二次方程的概念以及怎样利用概念判断一元二次方程．


2．一元二次方程的一般形式是ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，特别强调a≠0.








【预习导学】


(一)知识探究


1．一 ≠0 整式 2.ax2＋bx＋c＝0 ax2 bx c a b


(二)自学反馈


1．D 2.C


【合作探究】


活动2 跟踪训练


1．(1)、(4)是一元二次方程．


2．(1)5x2－4x－1＝0，二次项系数、一次项系数及常数项分别是5，－4，－1.(2)4x2－81＝0，二次项系数、一次项系数及常数项分别是4，0，－81.(3)4x2＋8x－25＝0，二次项系数、一次项系数及常数项分别是4，8，－25.(4)3x2－7x＋1＝0，二次项系数、一次项系数及常数项分别是3，－7，1.


3．(1)当a－4≠0即a≠4时，方程为一元二次方程．(2)a－4＝0，且2a－1≠0时，原方程为一元一次方程．即a＝4时，原方程为一元一次方程．


4．(1)根据题意，得4x2＝25，将其化成一元二次方程的一般形式是4x2－25＝0.(2)根据题意，得x(x－2)＝100，将其化成一元二次方程的一般形式是x2－2x－100＝0.(3)根据题意，得x＝(1－x)2，将其化成一元二次方程的一般形式是x2－3x＋1＝0.





第2课时 一元二次方程的解





1．经历估计一元二次方程解的过程，增进对方程解的认识．


2．能根据实际问题建立一元二次方程的数学模型．(难点)





阅读教材P33～34，完成下列问题：


(一)知识探究


1．能使一元二次方程左、右两边都________的未知数的值，叫做一元二次方程的解．


2．估计一元二次方程的解，应先确定方程解的大致范围，然后在这一范围内有规律地取一些未知数的值，如果把一个值代入方程使得左边的计算结果________右边的计算结果，把另一个值代入方程使得左边的计算结果________右边的计算结果，那么方程的解就在这两个值________．


(二)自学反馈


幼儿园某教室矩形地面的长为8 m，宽为5 m，现准备在地面正中间铺设一块面积为18 m2的地毯，四周未铺地毯的条形区域的宽度都相同，你能求出这个宽度吗？








活动1 小组讨论


例 如图，一个长为10 m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8 m．如果梯子的顶端下滑1 m，那么梯子的底端滑动多少米？





(1)如果设梯子底端滑动x m，那么你能列出怎样的方程？


解：根据题意，得72＋(x＋6)2＝102，即x2＋12x－15＝0.


(2)完成下表，并得出滑动距离x(m)的大致范围；


解：由上表可知，滑动距离x的大致范围是1＜x＜1.5.


(3)完成下表，并得出x的整数部分是几？十分位是几？


解：由上表可知，x的整数部分是1，十分位是1.


活动2 跟踪训练


1．根据下列表格的对应值可知，方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0，a、b、c为常数)一个解x的范围是( )


A．3＜x＜3.23 B．3.23＜x＜3.24


C．3.24＜x＜3.25 D．3.25＜x＜3.26


2．根据关于x的一元二次方程x2＋px＋q＝0，可列表如下：


则方程x2＋px＋q＝0的正数解满足( )


A．解的整数部分是0，十分位是5


B．解的整数部分是0，十分位是8


C．解的整数部分是1，十分位是1


D．解的整数部分是1，十分位是2


3．为估算方程x2－2x－8＝0的解，填写下表，由此可判断方程x2－2x－8＝0的解为________．


4.某大学为改善校园环境，计划在一块长80 m，宽60 m的长方形场地中央建一个长方形网球场，网球场占地面积为3 500 m2.四周为宽度相等的人行走道，如图所示，若设人行走道宽为x m.





(1)你能列出相应的方程吗？


(2)x可能小于0吗？说说你的理由．


(3)x可能大于40吗？可能大于30吗？说说你的理由．


(4)你知道人行走道的宽是多少吗？说说你的求解过程．


活动3 课堂小结


1．一元二次方程的解(根)的概念．


2．用估算方法求一元二次方程的近似解的步骤：(1)先确定大致范围；(2)再取值计算，逐步逼近．








【预习导学】


(一)知识探究


1．相等 2.小于 大于 之间


(二)自学反馈


设教室未铺地毯区域的宽为x m，根据题意，得(8－2x)(5－2x)＝18.列出下表：


由上表看出，当(8－2x)(5－2x)＝18时，x＝1.


故可知所求的宽为1 m.


【合作探究】


活动2 跟踪训练


1．C 2.C 3.－2和4


4．(1)(80－2x)(60－2x)＝3 500，即x2－70x＋325＝0.(2)x的值不可能小于0，因为人行走道的宽度不可能为负数．(3)x的值不可能大于40，也不可能大于30，因为当x＞30时，网球场的宽60－2x＜0，这是不符合实际的，当然x更不可能大于40.


(4)人行走道的宽为5 m，求解过程如下：


显然，当x＝5时，x2－70x＋325＝0，∴人行走道的宽为5 m．





x
0
0.5
1
1.5
2
…
x2＋12x－15
－15
－8.75
－2
5.25
13
…
x
…
1.1
1.2
1.3
1.4
…
x2＋12x－15
…
－0.59
0.84
2.29
3.76
…
x
3.23
3.24
3.25
3.26
ax2＋bx＋c
－0.06
－0.02
0.03
0.09
x
0
0.5
1
1.1
1.2
1.3
x2＋px＋q
－15
－8.75
－2
－0.59
0.84
2.29
x
－2
－1
0
1
2
3
4
x2－2x－8
0
－5
－8
－9
－8
－5
0
x
0
0.5
1
1.5
2
2.5
(8－2x)(5－2x)
40
28
18
10
4
0
x
2
3
4
5
6
7
…
x2－70x＋325
189
124
61
0
－59
－116
…