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苏科版九年级上册1.4 用一元二次方程解决问题第1课时学案
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这是一份苏科版九年级上册1.4 用一元二次方程解决问题第1课时学案，共5页。
1.4 第1课时 面积问题与平均增长率问题
知识点 1 面积问题
1．公园有一块正方形的空地，后来从这块空地上划出部分区域栽种鲜花(如图1－4－1)，原空地一边减少了1 m，另一边减少了2 m，剩余空地的面积为18 m2，求原正方形的边长．设原正方形空地的边长为x m，则可列方程为( )
A．(x＋1)(x＋2)＝18 B．x2－3x＋16＝0
C．(x－1)(x－2)＝18 D．x2＋3x＋16＝0
图1－4－1
图1－4－2
2．[2017·兰州] 王叔叔从市场上买了一块长80 cm，宽70 cm的矩形铁皮，准备制作一个工具箱，如图1－4－2，他将矩形铁皮的四个角各剪掉一个边长为x cm的正方形后，剩余的部分刚好能围成一个底面积为3000 cm2的无盖长方体工具箱，根据题意列方程为( )
A．(80－x)(70－x)＝3000
B．80×70－4x2＝3000
C．(80－2x)(70－2x)＝3000
D．80×70－4x2－(70＋80)x＝3000
3．在一幅长60 cm、宽40 cm的矩形风景画的四周镶一条宽度相同的金色边框，制成一幅面积是3500 cm2的矩形挂图，那么金色边框的宽为________cm.
4．如图1－4－3，一农户要建一个矩形猪舍，猪舍的一边利用长为12 m的住房墙，另外三边用25 m长的建筑材料围成，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个1 m宽的门，所围矩形猪舍的长、宽分别为多少时，猪舍面积为80 m2?
图1－4－3
知识点 2 增长(降低)率问题
5．[2017·衡阳] 中国“一带一路”倡议给沿线国家和地区带来很大的经济效益，沿线某地区居民2015年人均年收入200美元，预计2017年人均年收入将达到1000美元．设2015年到2017年该地区居民人均年收入平均增长率为x，可列方程为( )
A．200(1＋2x)＝1000
B．200(1＋x)2＝1000
C．200(1＋x2)＝1000
D．200＋2x＝1000
6．2016·徐州模拟某种药品原价为35元/盒，经过连续两次降价后售价为26元/盒．设平均每次降价的百分率为x，根据题意所列方程正确的是( )
A．35(1－x)2＝35－26 B．35(1－2x)＝26
C．35(1－x)2＝26 D．35(1－x2)＝26
7．某商品的售价为100元，连续两次降价x%后售价降低了36元，则x为( )
A．8 B．20 C．36 D．18
8．[2017·黑龙江] 原价100元的某商品，连续两次降价后售价为81元．若每次降价的百分率相同，则降价的百分率为________．
9．2017·太原期中为积极响应国家提出的“大众创业，万众创新”号召，某市加大了对“双创”工作的支持力度．据悉，2015年该市此项拨款为1.5亿元，2017年的拨款达到2.16亿元，这两年该市对“双创”工作专项拨款的平均增长率为________．
10．已知某工厂计划经过两年时间，把某种产品从现在的年产量100万台提高到121万台，那么平均每年增长的百分率是________；按此平均增长率，预计再经过两年，该工厂的年产量是________万台．
11．某公司今年销售一种产品，1月份获得利润20万元，由于产品畅销，利润逐月增加，3月份的利润比2月份的利润增加4.8万元，假设该产品利润每月的增长率相同，求这个增长率．
12．某机械厂七月份生产零件50万个，第三季度生产零件196万个．设该厂八、九月份平均每月的增长率为x，那么x满足的方程是( )
A．50(1＋x2)＝196
B．50＋50(1＋x2)＝196
C．50＋50(1＋x)＋50(1＋x)2＝196
D．50＋50(1＋x)＋50(1＋2x)＝196
13．要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，根据时间和场地等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛．设比赛组织者应邀请x个队参赛，则x满足的关系式为( )
A.eq \f(1,2)xeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋1))＝28 B.eq \f(1,2)xeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－1))＝28
C．xeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋1))＝28 D．xeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－1))＝28
图1－4－4
14．如图1－4－4是某广场一角的矩形花草区，其长为40 m，宽为26 m，其间有三条等宽的路，一条直路，两条曲路，路以外的地方全部种上花草，要使花草的面积为864 m2，则路的宽度为________m.
15．[2017·襄阳] 受益于国家支持新能源汽车发展和“一带一路”倡议等多重利好因素，我市某汽车零部件生产企业的利润逐年提高．据统计，2014年利润为2亿元，2016年利润为2.88亿元．
(1)求该企业从2014年到2016年利润的年平均增长率；
(2)若2017年保持前两年利润的年平均增长率不变，则该企业2017年的利润能否超过3.4亿元？
16．教材“问题1”变式李明准备进行如下操作实验：把一根长40 cm的铁丝剪成两段，并把每段首尾相连各围成一个正方形．
(1)要使这两个正方形的面积和等于58 cm2，李明应该怎样剪这根铁丝？
(2)李明认为这两个正方形的面积之和不可能等于48 cm2.你认为他的说法正确吗？请说明理由．
17．[2017·烟台] 今年，我市某中学响应习总书记“足球进校园”的号召，开设了“足球大课间”活动．现需要购进100个某品牌的足球供学生使用．经调查，该品牌足球2015年的价格为200元/个，2017年的价格为162元/个．
(1)求2015年到2017年该品牌足球单价平均每年降低的百分率；
(2)选购期间发现该品牌足球在两个文体用品商场有不同的促销方案：
图1－4－5
试问去哪个商场购买足球更优惠？
详解详析
1．C 2.C
3．5 [解析] 设金色边框的宽为x cm，则整幅挂图的长为(2x＋60)cm，宽为(2x＋40)cm.依题意，得(2x＋60)(2x＋40)＝3500，整理，得x2＋50x－275＝0，解得x1＝5，x2＝－55(不符合题意，舍去)．
4．解：设矩形猪舍垂直于住房墙的一边长为x m，则平行于住房墙的一边长为(26－2x)m.
依题意，得x(26－2x)＝80.
化简，得x2－13x＋40＝0.
解这个方程，得x1＝5，x2＝8.
当x＝5时，26－2x＝16>12(舍去)；
当x＝8时，26－2x＝10<12.
答：所围矩形猪舍的长为10 m，宽为8 m.
5．B 6.C 7.B
8．10% [解析] 设每次降价的百分率是x.
根据题意列方程，得100(1－x)2＝81，
解得x1＝0.1＝10%，x2＝1.9(不符合题意，舍去)．
故答案为10%.
9．20% [解析] 设这两年该市对“双创”工作专项拨款的平均增长率为x.根据题意，得1.5(1＋x)2＝2.16，
解得x1＝0.2，x2＝－2.2(舍去)．
即这两年该市对“双创”工作专项拨款的平均增长率为20%.
故答案为20%.
10．10% 146.41 [解析] (1)设平均增长率为x，则100(1＋x)2＝121，解得x1＝0.1，x2＝－2.1(舍去)，故年平均增长率为10%；(2)又经过两年，其年产量为121×(1＋10%)2＝146.41(万台)．
11．设这个增长率为x.依题意，得20(1＋x)2－20(1＋x)＝4.8，解得x1＝0.2，x2＝－1.2(不合题意，舍去).0.2×100%＝20%.
答：这个增长率是20%.
12．C [解析] 依题意，得八、九月份的产量分别为50(1＋x)万个，50(1＋x)2万个，
∴50＋50(1＋x)＋50(1＋x)2＝196.
13．B
14．2 [解析] 设路的宽度是x m．根据题意，得(40－2x)(26－x)＝864，整理，得x2－46x＋88＝0，解得x＝2或x＝44(不合题意，舍去)．
15．解：(1)设该企业从2014年到2016年利润的年平均增长率为x.
根据题意，得2(1＋x)2＝2.88，
解这个方程，得x1＝0.2，x2＝－2.2(不合题意，舍去).0.2×100%＝20%.
答：该企业从2014年到2016年利润的年平均增长率为20%.
(2)根据题意，得2.88×(1＋20%)＝3.456(万元)>3.4万元．
答：该企业2017年的利润能超过3.4亿元．
16．解：(1)设其中一个正方形的边长为x cm，则另一个正方形的边长为(10－x)cm.
由题意，得x2＋(10－x)2＝58.
解得x1＝3，x2＝7.
4×3＝12(cm)，4×7＝28(cm)，
∴李明应该把铁丝剪成12 cm和28 cm的两段．
(2)李明的说法正确．理由如下：
设其中一个正方形的边长为y cm，则另一个正方形的边长为(10－y)cm.
由题意，得y2＋(10－y)2＝48，
整理，得y2－10y＋26＝0.
∵(－10)2－4×1×26＝－4＜0，
∴此方程无实数根．
即这两个正方形的面积之和不可能等于48 cm2，
∴李明的说法是正确的．
17．解：(1)设该品牌足球单价平均每年降低的百分率为x.
根据题意，得200(1－x)2＝162，
解得x＝0.1或x＝1.9(舍去)．
0．1×100%＝10%.
答：2015年到2017年该品牌足球单价平均每年降低的百分率为10%.
(2)到A商场购买91个足球，赠送9个足球，共100个足球，总价为91×162＝14742(元)．
到B商场购买，总价为100×162×0.9＝14580(元)．
∵14580＜14742，
∴去B商场购买合算．
1.4 第1课时 面积问题与平均增长率问题
知识点 1 面积问题
1．公园有一块正方形的空地，后来从这块空地上划出部分区域栽种鲜花(如图1－4－1)，原空地一边减少了1 m，另一边减少了2 m，剩余空地的面积为18 m2，求原正方形的边长．设原正方形空地的边长为x m，则可列方程为( )
A．(x＋1)(x＋2)＝18 B．x2－3x＋16＝0
C．(x－1)(x－2)＝18 D．x2＋3x＋16＝0
图1－4－1
图1－4－2
2．[2017·兰州] 王叔叔从市场上买了一块长80 cm，宽70 cm的矩形铁皮，准备制作一个工具箱，如图1－4－2，他将矩形铁皮的四个角各剪掉一个边长为x cm的正方形后，剩余的部分刚好能围成一个底面积为3000 cm2的无盖长方体工具箱，根据题意列方程为( )
A．(80－x)(70－x)＝3000
B．80×70－4x2＝3000
C．(80－2x)(70－2x)＝3000
D．80×70－4x2－(70＋80)x＝3000
3．在一幅长60 cm、宽40 cm的矩形风景画的四周镶一条宽度相同的金色边框，制成一幅面积是3500 cm2的矩形挂图，那么金色边框的宽为________cm.
4．如图1－4－3，一农户要建一个矩形猪舍，猪舍的一边利用长为12 m的住房墙，另外三边用25 m长的建筑材料围成，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个1 m宽的门，所围矩形猪舍的长、宽分别为多少时，猪舍面积为80 m2?
图1－4－3
知识点 2 增长(降低)率问题
5．[2017·衡阳] 中国“一带一路”倡议给沿线国家和地区带来很大的经济效益，沿线某地区居民2015年人均年收入200美元，预计2017年人均年收入将达到1000美元．设2015年到2017年该地区居民人均年收入平均增长率为x，可列方程为( )
A．200(1＋2x)＝1000
B．200(1＋x)2＝1000
C．200(1＋x2)＝1000
D．200＋2x＝1000
6．2016·徐州模拟某种药品原价为35元/盒，经过连续两次降价后售价为26元/盒．设平均每次降价的百分率为x，根据题意所列方程正确的是( )
A．35(1－x)2＝35－26 B．35(1－2x)＝26
C．35(1－x)2＝26 D．35(1－x2)＝26
7．某商品的售价为100元，连续两次降价x%后售价降低了36元，则x为( )
A．8 B．20 C．36 D．18
8．[2017·黑龙江] 原价100元的某商品，连续两次降价后售价为81元．若每次降价的百分率相同，则降价的百分率为________．
9．2017·太原期中为积极响应国家提出的“大众创业，万众创新”号召，某市加大了对“双创”工作的支持力度．据悉，2015年该市此项拨款为1.5亿元，2017年的拨款达到2.16亿元，这两年该市对“双创”工作专项拨款的平均增长率为________．
10．已知某工厂计划经过两年时间，把某种产品从现在的年产量100万台提高到121万台，那么平均每年增长的百分率是________；按此平均增长率，预计再经过两年，该工厂的年产量是________万台．
11．某公司今年销售一种产品，1月份获得利润20万元，由于产品畅销，利润逐月增加，3月份的利润比2月份的利润增加4.8万元，假设该产品利润每月的增长率相同，求这个增长率．
12．某机械厂七月份生产零件50万个，第三季度生产零件196万个．设该厂八、九月份平均每月的增长率为x，那么x满足的方程是( )
A．50(1＋x2)＝196
B．50＋50(1＋x2)＝196
C．50＋50(1＋x)＋50(1＋x)2＝196
D．50＋50(1＋x)＋50(1＋2x)＝196
13．要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，根据时间和场地等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛．设比赛组织者应邀请x个队参赛，则x满足的关系式为( )
A.eq \f(1,2)xeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋1))＝28 B.eq \f(1,2)xeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－1))＝28
C．xeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋1))＝28 D．xeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－1))＝28
图1－4－4
14．如图1－4－4是某广场一角的矩形花草区，其长为40 m，宽为26 m，其间有三条等宽的路，一条直路，两条曲路，路以外的地方全部种上花草，要使花草的面积为864 m2，则路的宽度为________m.
15．[2017·襄阳] 受益于国家支持新能源汽车发展和“一带一路”倡议等多重利好因素，我市某汽车零部件生产企业的利润逐年提高．据统计，2014年利润为2亿元，2016年利润为2.88亿元．
(1)求该企业从2014年到2016年利润的年平均增长率；
(2)若2017年保持前两年利润的年平均增长率不变，则该企业2017年的利润能否超过3.4亿元？
16．教材“问题1”变式李明准备进行如下操作实验：把一根长40 cm的铁丝剪成两段，并把每段首尾相连各围成一个正方形．
(1)要使这两个正方形的面积和等于58 cm2，李明应该怎样剪这根铁丝？
(2)李明认为这两个正方形的面积之和不可能等于48 cm2.你认为他的说法正确吗？请说明理由．
17．[2017·烟台] 今年，我市某中学响应习总书记“足球进校园”的号召，开设了“足球大课间”活动．现需要购进100个某品牌的足球供学生使用．经调查，该品牌足球2015年的价格为200元/个，2017年的价格为162元/个．
(1)求2015年到2017年该品牌足球单价平均每年降低的百分率；
(2)选购期间发现该品牌足球在两个文体用品商场有不同的促销方案：
图1－4－5
试问去哪个商场购买足球更优惠？
详解详析
1．C 2.C
3．5 [解析] 设金色边框的宽为x cm，则整幅挂图的长为(2x＋60)cm，宽为(2x＋40)cm.依题意，得(2x＋60)(2x＋40)＝3500，整理，得x2＋50x－275＝0，解得x1＝5，x2＝－55(不符合题意，舍去)．
4．解：设矩形猪舍垂直于住房墙的一边长为x m，则平行于住房墙的一边长为(26－2x)m.
依题意，得x(26－2x)＝80.
化简，得x2－13x＋40＝0.
解这个方程，得x1＝5，x2＝8.
当x＝5时，26－2x＝16>12(舍去)；
当x＝8时，26－2x＝10<12.
答：所围矩形猪舍的长为10 m，宽为8 m.
5．B 6.C 7.B
8．10% [解析] 设每次降价的百分率是x.
根据题意列方程，得100(1－x)2＝81，
解得x1＝0.1＝10%，x2＝1.9(不符合题意，舍去)．
故答案为10%.
9．20% [解析] 设这两年该市对“双创”工作专项拨款的平均增长率为x.根据题意，得1.5(1＋x)2＝2.16，
解得x1＝0.2，x2＝－2.2(舍去)．
即这两年该市对“双创”工作专项拨款的平均增长率为20%.
故答案为20%.
10．10% 146.41 [解析] (1)设平均增长率为x，则100(1＋x)2＝121，解得x1＝0.1，x2＝－2.1(舍去)，故年平均增长率为10%；(2)又经过两年，其年产量为121×(1＋10%)2＝146.41(万台)．
11．设这个增长率为x.依题意，得20(1＋x)2－20(1＋x)＝4.8，解得x1＝0.2，x2＝－1.2(不合题意，舍去).0.2×100%＝20%.
答：这个增长率是20%.
12．C [解析] 依题意，得八、九月份的产量分别为50(1＋x)万个，50(1＋x)2万个，
∴50＋50(1＋x)＋50(1＋x)2＝196.
13．B
14．2 [解析] 设路的宽度是x m．根据题意，得(40－2x)(26－x)＝864，整理，得x2－46x＋88＝0，解得x＝2或x＝44(不合题意，舍去)．
15．解：(1)设该企业从2014年到2016年利润的年平均增长率为x.
根据题意，得2(1＋x)2＝2.88，
解这个方程，得x1＝0.2，x2＝－2.2(不合题意，舍去).0.2×100%＝20%.
答：该企业从2014年到2016年利润的年平均增长率为20%.
(2)根据题意，得2.88×(1＋20%)＝3.456(万元)>3.4万元．
答：该企业2017年的利润能超过3.4亿元．
16．解：(1)设其中一个正方形的边长为x cm，则另一个正方形的边长为(10－x)cm.
由题意，得x2＋(10－x)2＝58.
解得x1＝3，x2＝7.
4×3＝12(cm)，4×7＝28(cm)，
∴李明应该把铁丝剪成12 cm和28 cm的两段．
(2)李明的说法正确．理由如下：
设其中一个正方形的边长为y cm，则另一个正方形的边长为(10－y)cm.
由题意，得y2＋(10－y)2＝48，
整理，得y2－10y＋26＝0.
∵(－10)2－4×1×26＝－4＜0，
∴此方程无实数根．
即这两个正方形的面积之和不可能等于48 cm2，
∴李明的说法是正确的．
17．解：(1)设该品牌足球单价平均每年降低的百分率为x.
根据题意，得200(1－x)2＝162，
解得x＝0.1或x＝1.9(舍去)．
0．1×100%＝10%.
答：2015年到2017年该品牌足球单价平均每年降低的百分率为10%.
(2)到A商场购买91个足球，赠送9个足球，共100个足球，总价为91×162＝14742(元)．
到B商场购买，总价为100×162×0.9＝14580(元)．
∵14580＜14742，
∴去B商场购买合算．
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