初中数学苏科版九年级上册2.6 正多边形与圆学案设计

这是一份初中数学苏科版九年级上册2.6 正多边形与圆学案设计，共4页。

2.6 正多边形与圆


知识点 1 正多边形的相关概念


1．如图2－6－1，⊙O是正五边形ABCDE的外接圆，则∠AOB的度数是( )


A．72° B．60° C．54° D．36°





图2－6－1





图2－6－2








2．教材例题变式如图2－6－2，正六边形ABCDEF内接于⊙O，⊙O的半径为6，则这个正六边形的边心距OM的长为________．


3．如图2－6－3，在正五边形ABCDE中，点F，G分别是BC，CD的中点．


求证：△ABF≌△BCG.





图2－6－3





知识点 2 画正多边形


4．画正六边形．














5．[2016·淮安] 如图2－6－4，正十二边形A1A2…A12，连接A3A7，A7A10，则∠A3A7A10＝________°.





图2－6－4





图2－6－5








6．[2017·凉山] 如图2－6－5，P，Q分别是⊙O的内接正五边形的边AB，BC上的点，BP＝CQ，则∠POQ＝________°.








7．如图2－6－6①②③，等边三角形ABC、正方形ABCD、正五边形ABCDE分别是⊙O的内接三角形、内接四边形、内接五边形，点M，N分别从点B，C开始，以相同的速度在圆周上逆时针运动，AM，BN相交于点P.





图2－6－6


(1)求图①中∠APB的度数．


(2)图②中，∠APB的度数是________，图③中∠APB的度数是________．


(3)根据前面的探索，你能否将本题推广到一般的正n边形的情况？若能，写出推广问题和结论；若不能，请说明理由．





详解详析


1．A [解析] ∵⊙O是正五边形ABCDE的外接圆，


∴∠AOB＝360°÷5＝72°.


2．3 eq \r(3)


3．证明：∵五边形ABCDE是正五边形，


∴AB＝BC＝CD，∠ABC＝∠BCD.


∵F，G分别是BC，CD的中点，


∴BF＝eq \f(1,2)BC，CG＝eq \f(1,2)CD，∴BF＝CG.


在△ABF和△BCG中，


∵AB＝BC，∠ABF＝∠BCG，BF＝CG，


∴△ABF≌△BCG.


4．[解析] 画正六边形的途径有两种，一种是用量角器将圆六等分；另一种是用圆规和直尺将圆六等分．


解： (方法一)用量角器将圆六等分(略)．


(方法二)用直尺和圆规将圆六等分．


作法：1.在⊙O中任意作一条直径AD；





2．分别以点A，D为圆心，⊙O的半径为半径画弧，与⊙O相交于B，F和C，E；


3．依次连接AB，BC，CD，DE，EF，FA，六边形ABCDEF就是所求作的正六边形．


5．75 [解析] 设该正十二边形外接圆的圆心为O，如图，连接A10O和A3O.


由题意知，的长度＝eq \f(5,12)⊙O的周长，


∴∠A3OA10＝eq \f(5,12)×360°＝150°，


∴∠A3A7A10＝75°.








6．72


7．．解：(1)∵点M，N分别从点B，C开始以相同的速度在圆周上逆时针运动，


∴∠BAM＝∠CBN.


又∵∠APN＝∠BPM，


∴∠APN＝∠BPM＝∠ABN＋∠BAM＝∠ABN＋∠CBN＝∠ABC＝60°，


∴∠APB＝120°.


(2)90° 72°


(3)能推广到一般的正n边形的情况．


问题：正n边形ABCD…内接于⊙O，点M，N分别从点B，C开始，以相同的速度在圆周上逆时针运动，AM，BN相交于点P，求∠APB的度数．


结论：∠APB的度数为所在多边形的外角度数，即∠APB＝eq \f(360°,n).