苏科版九年级上册第2章 对称图形——圆2.7 弧长及扇形的面积学案及答案

这是一份苏科版九年级上册第2章 对称图形——圆2.7 弧长及扇形的面积学案及答案，共6页。

2.7 弧长及扇形的面积


知识点 1 扇形的弧长


1．若扇形的半径为6，圆心角为120°，则此扇形的弧长是( )


A．3π B．4π C．5π D．6π


2．[教材练习第1题变式] 若120°的圆心角所对的弧长是6π，则此弧所在圆的半径是( )


A．3 B．4 C．9 D．18


3．[2017·哈尔滨] 已知扇形的弧长为4π，半径为8，则此扇形的圆心角为________．


4．如图2－7－1，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝15°，以点C为圆心，CA长为半径的圆交AB于点D.若AC＝6，求eq \(AD,\s\up8(︵))的长．





图2－7－1




















知识点 2 扇形的面积


5．半径为6，圆心角为120°的扇形的面积是( )


A．3π B．6π C．9π D．12π


6．[2017·仙桃] 一个扇形的弧长是10π cm，面积是60π cm2，则此扇形的圆心角的度数是( )


A．300° B．150° C．120° D．75°


7．[2017·泰州] 若扇形的半径为3 cm，弧长为2π cm，则该扇形的面积为________ cm2.


8．[2017·怀化] 如图2－7－2，⊙O的半径为2，点A，B在⊙O上，∠AOB＝90°，则阴影部分的面积为________．





图2－7－2





图2－7－3








9．[2017·荆门] 已知：如图2－7－3，△ABC内接于⊙O，且半径OC⊥AB，点D在半径OB的延长线上，且∠A＝∠BCD＝30°，AC＝2，则由eq \(BC,\s\up8(︵))、线段CD和线段BD所围成的阴影部分的面积为________．


10. [2016春·泰州校级月考] 已知扇形的圆心角为120°，面积为eq \f(25,3π) cm2.求扇形的弧长．


























11．教材例2变式如图2－7－4，一扇形纸扇完全打开后，AB和AC的夹角为120°，AB长为25 cm，贴纸部分的宽BD为15 cm，求纸扇上贴纸部分的面积．





图2－7－4


























图2－7－5


12．如图2－7－5，用一个半径为5 cm的定滑轮带动重物上升，滑轮上一点P旋转了108°，假设绳索(粗细不计)与滑轮之间没有滑动，则重物上升了( )


A．π cm B．2π cm


C．3π cm D．5π cm


13．如图2－7－6，AB为半圆的直径，且AB＝4，半圆绕点B顺时针旋转45°，点A旋转到点A′的位置，则图中阴影部分的面积为( )


A．π B．2π C.eq \f(π,2) D．4π





图2－7－6





图2－7－7








14．[2016·高淳区一模] 如图2－7－7，在Rt△OAB中，∠AOB＝45°，AB＝2，将Rt△OAB绕点O顺时针旋转90°得到Rt△OCD，则AB扫过的面积(图中阴影部分面积)为________．


15．如图2－7－8，△ABC是等边三角形，曲线CDEF叫做等边三角形的渐开线，其中eq \(CD,\s\up8(︵))，eq \(DE,\s\up8(︵))， eq \(EF,\s\up8(︵))的圆心依次是A，B，C.如果AB＝1，求曲线CDEF的长．





图2－7－8






































16. [2016·江宁区二模] 如图2－7－9，正方形ABCD的边长为2 cm，以边BC为直径作半圆O，点E在AB上，且AE＝1.5 cm，连接DE.


(1)DE与半圆O相切吗？若相切，请给出证明；若不相切，请说明理由．


(2)求阴影部分的面积．








图2－7－9





17．如图2－7－10，菱形OABC的顶点A的坐标为(2，0)，∠COA＝60°.将菱形OABC绕坐标原点O逆时针旋转120°得到菱形ODEF.


(1)直接写出点F的坐标；


(2)求线段OB的长及图中阴影部分的面积．





图2－7－10





详解详析


1．B [解析] ∵扇形的半径为6，圆心角为120°，


∴此扇形的弧长＝eq \f(120π×6,180)＝4π.


2．C


3．90° [解析] 设扇形的圆心角为n°，则根据题意可得，4π＝eq \f(8nπ,180)，n＝90.故答案为90°.


4．解：连接CD.


∵AC＝CD，∴∠CAD＝∠CDA.


∵∠ACB＝90°，∠B＝15°，∴∠CAD＝75°，


∴∠ACD＝30°.


∵AC＝6，∴eq \(AD,\s\up8(︵))的长度为eq \f(30×π×6,180)＝π.


5．D 6.B


7．3π


8．π－2


9．2 eq \r(3)－eq \f(2π,3)


10．解：设扇形的半径为R cm.


∵扇形的圆心角为120°，面积为eq \f(25,3π) cm2，


∴eq \f(120π×R2,360)＝eq \f(25,3π)，又R>0，


∴R＝eq \f(5,π)，


∴扇形的弧长＝eq \f(120,180)πR＝eq \f(2,3)π×eq \f(5,π)＝eq \f(10,3)(cm)．


11．解：∵AB＝25 cm，BD＝15 cm，


∴AD＝25－15＝10(cm)．


∵S扇形ABC＝eq \f(120π×252,360)＝eq \f(625π,3)(cm2)，


S扇形ADE＝eq \f(120π×102,360)＝eq \f(100π,3)(cm2)，


∴贴纸部分的面积＝eq \f(625π,3)－eq \f(100π,3)＝175π(cm2)．


12．C


13．B [解析] S阴影＝S扇形BAA′＋S半圆－S半圆＝S扇形BAA′＝eq \f(45×π×42,360)＝2π.故选B.


14．π


[解析] ∵在Rt△OAB中，∠AOB＝45°，AB＝2，


∴AO＝2，BO＝2 eq \r(2).


∵将Rt△OAB绕点O顺时针旋转90°得到Rt△OCD，


∴△OCD≌△OAB，


∴CO＝AO＝2，DO＝BO＝2 eq \r(2)，


∴阴影部分的面积＝S扇形OBD＋S△OAB－S扇形OAC－S△OCD＝S扇形OBD－S扇形OAC＝eq \f(90·π×（2 \r(2)）2,360)－eq \f(90·π×22,360)＝π.


15．解：eq \(CD,\s\up8(︵))的长是eq \f(120π×1,180)＝eq \f(2π,3)，


eq \(DE,\s\up8(︵))的长是eq \f(120π×2,180)＝eq \f(4π,3)，


eq \(EF,\s\up8(︵))的长是eq \f(120π×3,180)＝2π，


则曲线CDEF的长是eq \f(2π,3)＋eq \f(4π,3)＋2π＝4π.


16．解：(1)DE与半圆O相切．


证明：过点O作OF⊥DE，垂足为F.


在Rt△ADE中，AD＝2 cm，AE＝1.5 cm，


∴DE＝2.5 cm.连接OE，OD.


由题意，知OB＝OC＝1 cm，BE＝AB－AE＝0.5 cm.


∵S四边形BCDE＝S△DOE＋S△BOE＋S△CDO，


∴eq \f(1,2)×(0.5＋2)×2＝eq \f(1,2)×2.5·OF＋eq \f(1,2)×1×0.5＋eq \f(1,2)×1×2，


∴OF＝1 cm，


即OF的长等于半圆O的半径．


又∵OF⊥DE，


∴DE与半圆O相切．


(2)阴影部分的面积＝正方形ABCD的面积－△ADE的面积－半圆的面积＝2×2－eq \f(1,2)×eq \f(3,2)×2－eq \f(1,2)×π×12＝eq \f(5－π,2)(cm2)．


即阴影部分的面积为eq \f(5－π,2) cm2.


17．解：(1)因为点A的坐标为(2，0)，所以OA＝2.因为四边形OABC是菱形，所以OC＝OA＝2，所以OF＝2，所以点F的坐标为(－2，0)．


(2)过点B作BG⊥x轴，垂足为G，


在Rt△BAG中，∠BAG＝∠COA＝60°，


所以∠ABG＝30°，


所以AG＝eq \f(1,2)AB＝eq \f(1,2)OA＝1，


所以BG＝eq \r(3).


在Rt△OBG中，OG＝3，BG＝eq \r(3)，


所以OB＝eq \r(32＋3)＝2 eq \r(3)，


S阴影＝S扇形OBE－2S△OBC＝S扇形OBE－2S△OBA＝eq \f(1,3)×π×(2 eq \r(3))2－2×eq \f(1,2)×2×eq \r(3)＝4π－2 eq \r(3).