初中数学浙教版八年级上册2.3 等腰三角形的性质定理学案

这是一份初中数学浙教版八年级上册2.3 等腰三角形的性质定理学案，共9页。







1．如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，BD平分∠ABC，∠A＝36°，则∠1的度数为(C)


A. 36° B. 60° C. 72° D. 108°


(第1题)


(第2题)








2．如图，△ABC内有一点D，且DA＝DB＝DC.若∠DAB＝20°，∠DAC＝30°，则∠BDC的度数为(A)


A. 100° B. 80° C. 70° D. 50°


3．如图，在△ABC中，AB＝AC，过点A作AD∥BC.若∠1＝70°，则∠BAC的大小为(A)


A. 40° B. 30° C. 70° D. 50°


(第3题)


(第4题)








4．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠ABC，∠ACB的平分线BD，CE交于点O，且BD交AC于点D，CE交AB于点E.某同学分析图形后得出以下结论：①△BCD≌△CBE；②△BAD≌△BCD；③△BDA≌△CEA；④△BOE≌△COD；⑤△ACE≌△BCE.上述结论一定正确的是(D)


A. ①②③ B. ②③④


C. ①③⑤ D. ①③④





(第5题)


5．如图，在△ABC中，D为AB上一点，E为BC上一点，且AC＝CD＝BD＝BE.若∠A＝50°，则∠CDE的度数为(D)


A. 50° B. 51°


C. 51.5° D. 52.5°





(第6题)


6．如图，在△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC，∠ABC＝72°，求∠ABD的度数．


【解】 ∵AB＝AC，∠ABC＝72°，


∴∠ACB＝∠ABC＝72°，


∴∠A＝36°.


∵BD⊥AC，


∴∠ABD＝90°－36°＝54°.


7．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝40°，分别以AB，AC为边作两个等腰三角形ABD和ACE，且AB＝AD，AC＝AE，∠BAD＝∠CAE＝90°.





(第7题)


(1)求∠DBC的度数．


(2)求证：BD＝CE.


【解】 (1)∵AB＝AC，∠BAC＝40°，


∴∠ABC＝eq \f(180°－40°,2)＝70°.


∵AB＝AD，∠BAD＝90°，


∴∠DBA＝eq \f(180°－90°,2)＝45°，


∴∠DBC＝70°＋45°＝115°.


(2)∵AB＝AD，AC＝AE，AB＝AC，


∴AB＝AC＝AD＝AE.


又∵∠BAD＝∠CAE，


∴△ABD≌△ACE(SAS)．∴BD＝CE.





(第8题)


8．如图，将△ADE沿DE折叠，点A恰好落在BC边上的点A′处．若D为AB边的中点，∠B＝50°，求∠BDA′的度数．


【解】 ∵D是AB的中点，


∴BD＝AD.


由折叠的性质，得A′D＝AD，∴BD＝A′D.


∴∠BA′D＝∠B＝50°.


∵∠B＋∠BA′D＋∠BDA′＝180°，


∴∠BDA′＝180°－∠B－∠BA′D＝80°.

















(第9题)





9．如图，在△PAB中，PA＝PB，M，N，K分别是PA，PB，AB上的点，且AM＝BK，BN＝AK.若∠MKN＝44°，则∠P的度数为(D)


A. 44° B. 66° C. 88° D. 92°


【解】 ∵PA＝PB，∴∠A＝∠B.


在△AMK和△BKN中，∵eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(AM＝BK，,∠A＝∠B，,AK＝BN，))


∴△AMK≌△BKN(SAS)．∴∠AMK＝∠BKN.


∵∠MKB＝∠MKN＋∠BKN＝∠A＋∠AMK，


∴∠A＝∠MKN＝44°，


∴∠P＝180°－∠A－∠B＝92°.


10．如图，已知AB＝A1B，A1B1＝A1A2，A2B2＝A2A3，A3B3＝A3A4，….若∠A＝70°，则∠Bn－1AnAn－1的度数为(C)





(第10题)





A. eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(70,2n)))° B. eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(70,2n＋1)))° C. eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(70,2n－1)))° D. eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(70,2n＋2)))°


【解】 在△ABA1中，∵∠A＝70°，AB＝A1B，


∴∠BA1A＝∠A＝70°.


∵A1A2＝A1B1，∠BA1A是△A1A2B1的外角，


∴∠B1A2A1＝eq \f(∠BA1A,2)＝35°.


同理，∠B2A3A2＝eq \f(1,2)∠B1A2A1＝eq \f(∠BA1A,22)，∠B3A4A3＝eq \f(1,2)∠B2A3A2＝eq \f(∠BA1A,23)，


……


∴∠Bn－1AnAn－1＝eq \f(∠BA1A,2n－1)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(70,2n－1)))°.


11．如图，在△ABC中，AD＝AC，BE＝BC.


(1)若∠ACB＝96°，求∠DCE的度数．


(2)问：∠DCE与∠A，∠B之间存在怎样的数量关系(直接写出答案)?





(第11题)


【解】 (1)∵AD＝AC，


∴∠ADC＝∠ACD.


∴∠A＝180°－2∠ADC.


∵BE＝BC，


∴∠CEB＝∠ECB.


∴∠B＝180°－2∠CEB.


∵∠ACB＝96°，∴∠A＋∠B＝84°.


∴(180°－2∠ADC)＋(180°－2∠CEB)＝84°.


∴∠CEB＋∠ADC＝138°.∴∠DCE＝42°.


(2)∠DCE＝eq \f(1,2)(∠A＋∠B)．





(第12题)


12．如图，在△ABC中，已知AB＝AC，AD＝AE，∠BAD＝28°，求∠EDC的度数．


【解】 ∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.


同理，∠ADE＝∠AED.


设∠EDC＝α，∠C＝β，


则∠ADE＝∠AED＝∠EDC＋∠C＝α＋β，


∠ADC＝∠ADE＋∠EDC＝α＋β＋α＝2α＋β.


∵∠ADC＝∠BAD＋∠B＝28°＋β，


∴2α＋β＝28°＋β，∴α＝14°，即∠EDC＝14°.





(第13题)


13．如图，在△ABC中，已知BC＝AC，∠BAC的外角平分线交BC的延长线于点D.若∠ADC＝eq \f(1,2)∠CAD，求∠ABC的度数．





(第13题解)


【解】 如解图，设∠ABC＝x，∠CAD＝y，


则∠ACD＝2x，∠ADC＝eq \f(1,2)∠CAD＝eq \f(1,2)y，


∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＋2y＝180°，,2x＋\f(3,2)y＝180°，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝36°，,y＝72°.))∴∠ABC＝36°.








14．(1)已知在△ABC中，∠A＝90°，∠B＝67.5°，请画一条直线，把这个三角形分割成两个等腰三角形(请你选用下面给出的备用图，把所有不同的分割方法都画出来．只需画图，不必说明理由，但要在图中标出相等两角的度数)．


(2)已知在△ABC中，∠C是其最小的内角，过顶点B的一条直线把这个三角形分割成了两个等腰三角形，请探求∠ABC与∠C之间的关系．





(第14题)


【解】 (1)如解图①②(共有2种不同的分割法)．








(第14题解)





(第14题解③)


(2)设∠ABC＝y，∠C＝x，过点B的直线交边AC于点D.


在△DBC中，


①若∠C是顶角，如解图③，则∠CBD＝∠CDB＝90°－eq \f(1,2)x，∠A＝180°－x－y.


故∠ADB＝180°－∠CDB＝90°＋eq \f(1,2)x＞90°，此时只能有∠A＝∠ABD，


即180°－x－y＝y－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(90°－\f(1,2)x))，


∴3x＋4y＝540°，∴∠ABC＝135°－eq \f(3,4)∠C.


②若∠C是底角，


第一种情况：如解图④，当DB＝DC时，∠DBC＝x.在△ABD中，∠ADB＝2x，∠ABD＝y－x.


若AB＝AD，则2x＝y－x，此时有y＝3x，


∴∠ABC＝3∠C.


若AB＝BD，则180°－x－y＝2x，此时有3x＋y＝180°，∴∠ABC＝180°－3∠C.


若AD＝BD，则180°－x－y＝y－x，此时有y＝90°，即∠ABC＝90°，∠C为小于45°的任意锐角．


, (第14题解④)), (第14题解⑤))


第二种情况：如解图⑤，当BD＝BC时，∠BDC＝x，∠ADB＝180°－x＞90°，此时只能有AD＝BD，∴∠A＝∠ABD＝eq \f(1,2)∠BDC＝eq \f(1,2)∠C＜∠C，这与题设∠C是最小角矛盾．


∴当∠C是底角时，BD＝BC不成立．


综上所述，∠ABC与∠C之间的关系是∠ABC＝135°－eq \f(3,4)∠C或∠ABC＝3∠C或∠ABC＝180°－3∠C或∠ABC＝90°，∠C是小于45°的任意锐角．