数学八年级上册2.4 等腰三角形的判定定理学案设计

这是一份数学八年级上册2.4 等腰三角形的判定定理学案设计，共5页。

A组


1．在△ABC中，AB＝c，BC＝a，AC＝b，下列条件不能判定△ABC是等腰三角形的是(D)


A． ∠A∶∠B∶∠C＝1∶1∶3


B． a∶b∶c＝2∶2∶3


C． ∠B＝50°，∠C＝80°


D． 2∠A＝∠B＋∠C


2．给出下列三角形：①有两个角等于60°；②有一个角等于60°的等腰三角形；③三个外角(每个顶点处各取一个外角)都相等的三角形；④一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形．其中是等边三角形的是(D)


A．①②③ B．①②④


C．①③ D．①②③④





(第3题)





3．如图，在△ABC中，AB＝7，AC＝5，BC＝6，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点D，过点D作BC的平行线交AB于点E，交AC于点F，则△AEF的周长为(C)


A． 9 B． 11


C． 12 D． 13


4．如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，请你再添加一个条件，确定△ABC是等腰三角形．你添加的条件是BD＝CD(答案不唯一)．


,(第4题)) ,(第5题))


5．如图，已知OA＝5，P是射线ON上的一个动点，∠AON＝60°．当OP＝__5__时，△AOP为等边三角形．





(第6题)





6．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，EG∥AD，找出图中的等腰三角形，并给出证明．


【解】 △AEF是等腰三角形．证明如下：


∵AD平分∠BAC，


∴∠BAD＝∠CAD．


∵EG∥AD，


∴∠E＝∠CAD，∠EFA＝∠BAD，


∴∠E＝∠EFA，


∴△AEF是等腰三角形．





(第7题)


7．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°， AD⊥BC，BE平分∠ABC．求证： △AEF是等腰三角形．


【解】 ∵BE平分∠ABC，


∴∠ABE＝∠CBE．


∵AD⊥BC，∴∠ADB＝90°．


∵∠ADB＋∠CBE＋∠BFD＝180°，


∠BAC＋∠ABE＋∠BEA＝180°，


∴∠BFD＝∠BEA．


∵∠BFD＝∠AFE，∴∠BEA＝∠AFE．


∴△AEF是等腰三角形．


8．如图，已知AB＝AD，∠ABC＝∠ADC, 则BC＝CD，请说明理由．


(第8题)


(第8题解)








【解】 如解图，连结BD．


∵AB＝AD，∴∠ABD＝∠ADB．


∵∠ABC＝∠ADC，


∴∠ABD－∠ABC＝∠ADB－∠ADC，


即∠CBD＝∠CDB，∴BC＝CD．


B组














(第9题)


9．如图，E是等边三角形ABC中AC边上的点，∠1＝∠2，BE＝CD，则△ADE的形状是(B)


A．一般等腰三角形


B．等边三角形


C．不等边三角形


D．不能确定形状


【解】 ∵△ABC为等边三角形，


∴AB＝AC，∠BAC＝60°．


又∵∠1＝∠2，BE＝CD，


∴△ABE≌△ACD(SAS)．


∴AE＝AD，∠CAD＝∠BAE＝60°．


∴△ADE是等边三角形．





(第10题)


10．如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，且DE∥AB，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F．


(1)求∠F的度数．


(2)若CD＝2，求DF的长．


【解】 (1)∵△ABC为等边三角形，


∴∠B＝∠ACB＝60°．


∵DE∥AB，


∴∠EDF＝∠B＝60°．


∵EF⊥DE，


∴∠DEF＝90°，


∴∠F＝180°－∠DEF－∠EDF＝30°．


(2)∵∠ACB＝60°，∠F＝30°，


∴∠CEF＝∠ACB－∠F＝30°＝∠F，


∴CE＝CF．


∵∠EDF＝∠ACB＝60°，


∴△CDE为等边三角形，


∴CD＝CE，


∴DF＝DC＋CF＝DC＋CE＝2CD＝4．


11．如图①，A是线段BC上一点，△ABD和△ACE都是等边三角形．


(1)连结BE，DC，求证：BE＝DC．


(2)如图②，将△ABD绕点A顺时针旋转得到△AB′D′．


①当旋转角为__60__度时，边AD′落在AE上．


②在①的条件下，延长DD′交CE于点P，连结BD′，CD′．当线段AB，AC满足什么数量关系时，△BDD′与△CPD′全等？并给予证明．





(第11题)


【解】 (1)∵△ABD和△ACE都是等边三角形．


∴AB＝AD，AE＝AC，∠BAD＝∠CAE＝60°，


∴∠BAD＋∠DAE＝∠CAE＋∠DAE，


即∠BAE＝∠DAC．


在△BAE和△DAC中，∵eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(AB＝AD，,∠BAE＝∠DAC，,AE＝AC，))


∴△BAE≌△DAC(SAS)，∴BE＝DC．


(2)①∵∠BAD＝∠CAE＝60°，


∴∠DAE＝180°－60°×2＝60°．


∵边AD′落在AE上，


∴旋转角＝∠DAE＝60°．


②当AC＝2AB时，△BDD′与△CPD′全等．


证明如下：


由旋转可知，AB′与AD重合，


∴AB＝DB＝DD′＝AD′．


又∵BD′＝BD′，∴△ABD′≌△DBD′(SSS)．


∴∠ABD′＝∠DBD′＝eq \f(1,2)∠ABD＝eq \f(1,2)×60°＝30°．


同理，∠AD′B＝∠DD′B＝30°，∴DP∥BC．


∵△ACE是等边三角形，


∴AC＝AE＝CE，∠ACE＝60°．


∵AC＝2AB，∴AE＝2AD′．


∴∠PCD′＝∠ACD′＝eq \f(1,2)∠ACE＝eq \f(1,2)×60°＝30°．


∴∠ABD′＝∠ACD′．∴BD′＝CD′．


∵DP∥BC，∴∠PD′C＝∠ACD′＝30°．


∴∠DBD′＝∠DD′B＝∠PCD′＝∠PD′C＝30°．


在△BDD′与△CPD′中，∵eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(∠DBD′＝∠PCD′，,BD′＝CD′，,∠DD′B＝∠PD′C，))


∴△BDD′≌△CPD′(ASA)．


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(第12题)


12．如图，△ABC和△ADC都是等边三角形，点E，F同时分别从点B，A出发，以相同的速度各自沿BA，AD的方向运动到点A，D停止，连结EC，FC．


(1)在点E，F运动的过程中，∠ECF的度数是否随之变化？请说明理由．


(2)在点E，F运动的过程中，以A，E，C，F为顶点的四边形的面积变化了吗？请说明理由．


(3)连结EF，在图中找出所有和∠ACE相等的角，并说明理由．


(4)若点E，F在射线BA，射线AD上继续运动下去，(1)中的结论还成立吗？直接写出结论，不必说明理由．导学号：91354011


【解】 (1)没有变化．理由如下：


∵点E，F的速度相同，且同时运动，


∴BE＝AF．


∵△ABC和△ADC都是等边三角形，


∴BC＝AC，∠B＝∠ACB＝∠CAF＝60°．


在△BCE和△ACF中，∵eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(BE＝AF，,∠B＝∠CAF＝60°，,BC＝AC，))





∴△BCE≌△ACF(SAS)，∴∠BCE＝∠ACF，


∴∠ECF＝∠ACF＋∠ACE＝∠BCE＋∠ACE＝∠ACB＝60°．


(2)没有变化．理由如下：


由(1)知，△BCE与△ACF的面积相等，


∴S四边形AECF＝S△ACF＋S△ACE＝S△BCE＋S△ACE＝S△ABC．


∴四边形AECF的面积没有变化．


(3)∠AFE＝∠DCF＝∠ACE．理由如下：


∵△ABC和△ADC都是等边三角形，


∴∠EAC＝∠FDC＝60°，AB＝AC＝DC＝AD．


∵BE＝AF，∴AB－BE＝AD－AF，即AE＝DF，


∴△ACE≌△DCF(SAS)，


∴∠ACE＝∠DCF，EC＝FC．


又∵∠ECF＝60°，


∴△ECF是等边三角形，∴∠EFC＝60°，


∴∠AFE＋∠DFC＝120°．


∵∠D＝60°，∴∠DCF＋∠DFC＝120°，


∴∠AFE＝∠DCF＝∠ACE．


(4)(1)中的结论仍成立．