初中数学浙教版八年级上册2.6 直角三角形学案

这是一份初中数学浙教版八年级上册2.6 直角三角形学案，共5页。

A组


1．具备下列条件的△ABC中，不是直角三角形的是(D)


A． ∠A＋∠B＝∠C


B． ∠A＝2∠B＝2∠C


C． ∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3


D． ∠A＝∠B＝3∠C


2．已知一个三角形的其中一个角等于另两个角的差，则这个三角形一定是直角三角形．





(第3题)





3．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB的垂直平分线DE交AC于点E，交BC的延长线于点F．若∠F＝30°，DE＝1，则BE的长是__2__．


4．等腰三角形一腰上的高线等于这条腰的一半，则这个等腰三角形的顶角的度数为30°或150°．


5．在△ABC中，2∠B＝∠A＋∠C，最小角∠A＝30°，最长边的中线为8 cm，则最短边的长为__8__cm．


6．直角三角形斜边上的高线长与中线长分别为5 cm和6 cm，则它的面积为__30__cm2．


7．如图，CE⊥AD，垂足为E，∠A＝∠C．求证：△ABD是直角三角形．





(第7题)





【解】 ∵CE⊥AD，


∴∠CED＝90°，


∴∠C＋∠D＝90°．


又∵∠A＝∠C，


∴∠A＋∠D＝90°，


∴△ABD是直角三角形．


8．如图，已知AB∥CD，直线EF分别交AB，CD于点E，F，∠BEF的平分线与∠DFE的平分线相交于点P．求证：△PEF是直角三角形．





(第8题)





【解】 ∵AB∥CD，


∴∠BEF＋∠DFE＝180°．


∵∠BEF的平分线与∠DFE的平分线相交于点P，


∴∠PEF＝eq \f(1,2)∠BEF，∠PFE＝eq \f(1,2)∠DFE，


∴∠PEF＋∠PFE＝eq \f(1,2)(∠BEF＋∠DFE)＝90°．


∴△PEF是直角三角形．


B组











(第9题)





9．如图，在△ABC中，AB＝AC＝6，BC＝8，AE平分∠BAC交BC于点E，D为AB的中点，连结DE，则△BDE的周长是__10__．


【解】 ∵AB＝AC，AE平分∠BAC，


∴AE垂直平分BC．


∵BC＝8，∴BE＝4．


∵D是AB的中点，


∴AD＝BD＝DE＝eq \f(1,2)AB＝3．


∴C△BDE＝BD＋DE＋BE＝3＋3＋4＝10．





(第10题)


10．如图，在等边三角形ABC中，D，E分别为AB，BC边上的两动点，且总使AD＝BE，AE与CD交于点F，AG⊥CD于点G，则eq \f(FG,AF)＝__eq \f(1,2)__．


【解】 ∵△ABC是等边三角形，


∴AB＝BC＝AC，∠B＝∠ACB＝60°．


∵AD＝BE，∴CE＝BD．


在△ACE和△CBD中，


∵eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(AC＝CB，,∠ACE＝∠B，,CE＝BD，))


∴△ACE≌△CBD(SAS)．∴∠CAE＝∠BCD．


∴∠AFG＝∠CAF＋∠ACF＝∠BCD＋∠ACF＝∠ACB＝60°．


∵AG⊥CD，∴∠FAG＝30°．∴eq \f(FG,AF)＝eq \f(1,2)．





(第11题)


11．如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，M，N分别是对角线AC，BD的中点，连结MN．


(1)试猜想MN与BD的位置关系，并证明你的结论．


(2)如果∠BCD＝45°，BD＝2，求MN的长．


【解】 (1)MN⊥BD．证明如下：


连结BM，DM．


∵∠ADC＝90°，M是AC的中点，


∴AC＝2DM＝2CM．


同理，AC＝2BM＝2CM，∴BM＝DM．


∵N是BD的中点，∴MN⊥BD．


(2)由(1)，得BM＝CM，DM＝CM，


∴∠BCM＝∠CBM，∠DCM＝∠CDM．


∵∠AMB是△BCM的一个外角，


∴∠AMB＝∠BCM＋∠CBM＝2∠BCM．


同理，∠AMD＝2∠DCM．


∵∠BCD＝45°，∴∠BCM＋∠DCM＝45°．


∴∠BMD＝∠AMB＋∠AMD＝2(∠BCM＋∠DCM)＝90°．∴△BMD是直角三角形．


∵N是BD的中点，BD＝2，∴MN＝eq \f(1,2)BD＝1．


12．如图，AD，BF分别是△ABC的高线与角平分线，BF，AD交于点E，∠1＝∠2．求证：△ABC是直角三角形．





(第12题)


【解】 ∵BF是△ABC的角平分线，


∴∠ABF＝∠CBF．


∵AD是△ABC的高线，


∴∠ADB＝90°，


∴∠CBF＋∠BED＝90°．


∵∠1＝∠2＝∠BED，∴∠ABF＋∠2＝90°，


∴∠BAC＝90°，∴△ABC是直角三角形．





(第13题)


13．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D为BC的中点，CE⊥AD于点E，BF∥AC交CE的延长线于点F，连结DF．求证：AB垂直平分DF．


【解】 ∵∠ACB＝90°，AC＝BC，


∴∠CAB＝∠CBA＝45°，∠CAD＋∠CDE＝90°．


∵CE⊥AD，∴∠CED＝90°．


∴∠CDE＋∠DCE＝90°．


∴∠CAD＝∠DCE，即∠CAD＝∠BCF．


∵BF∥AC，∴∠CBF＋∠ACB＝180°，


∴∠CBF＝180°－∠ACB＝90°．


∴∠CBF＝∠ACD．


在△ACD和△CBF中，∵eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(∠ACD＝∠CBF，,AC＝CB，,∠CAD＝∠BCF，))


∴△ACD≌△CBF(ASA)．


∴CD＝BF．


∵D为BC的中点，


∴CD＝BD，∴BD＝BF．


∵BF∥AC，


∴∠ABF＝∠CAB＝∠DBA＝45°．


∴AB垂直平分DF．


数学乐园








14．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝90°，CD平分∠ACB，点E在AC上，且AE＝AD，EF⊥CD交BC于点F，交CD于点O．求证：BF＝2AD．





(第14题)


导学号：91354012





【解】 连结DF，过点D作DG⊥BC于点G．


∵∠A＝90°，AD＝AE，AB＝AC，


∴∠ADE＝∠AED＝45°，∠B＝∠ACB＝45°，


∴∠ADE＝∠B，∴DE∥BC，


∴∠EDC＝∠BCD．


∵CD平分∠ACB，∴∠BCD＝∠ACD．


∴∠EDC＝∠ACD．∴DE＝EC．


∵EF⊥CD，∴EF垂直平分CD．


∴FD＝FC．∴∠FDC＝∠FCD．


∴∠FDC＝∠ACD．∴DF∥AC．


∴∠DFB＝∠ACB＝45°．


∴∠B＝∠BFD＝45°．


∴BD＝DF，∠BDF＝90°．


∴△DBF为等腰直角三角形．


∵DG⊥BF，∴DG为斜边BF上的中线，


∴DG＝eq \f(1,2)BF．


∵CD平分∠ACB，∠A＝∠DGC＝90°，


∴AD＝DG．∴AD＝eq \f(1,2)BF，即BF＝2AD．