浙教版八年级上册第2章 特殊三角形2.3 等腰三角形的性质定理导学案

这是一份浙教版八年级上册第2章 特殊三角形2.3 等腰三角形的性质定理导学案，共6页。

A组


1．如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，BD平分∠ABC，∠A＝36°，则∠1的度数为(C)


A． 36° B． 60° C． 72° D． 108°


(第1题)


(第2题)








2．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝30°，AB的垂直平分线l交AC于点D，则∠CBD的度数为(B)


A． 30° B． 45° C． 50° D． 75°


3．如图，在△ABC中，AB＝AC，过点A作AD∥BC．若∠1＝70°，则∠BAC的度数为(A)


A． 40° B． 30° C． 70° D． 50°


(第3题)


(第4题)








4．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠ABC，∠ACB的平分线BD，CE交于点O，且BD交AC于点D，CE交AB于点E．某同学分析图形后得出以下结论：①△BCD≌△CBE；②△BAD≌△BCD；③△BDA≌△CEA；④△BOE≌△COD；⑤△ACE≌△BCE．上述结论一定正确的是(D)


A． ①②③ B． ②③④


C． ①③⑤ D． ①③④





(第5题)


5．如图，在△ABC中，D为AB上一点，E为BC上一点，且AC＝CD＝BD＝BE．若∠A＝50°，则∠CDE的度数为(D)


A． 50° B． 51°


C． 51．5° D． 52．5°





(第6题)


6．如图，在△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC，∠ABC＝72°，求∠ABD的度数．


【解】 ∵AB＝AC，∠ABC＝72°，


∴∠ACB＝∠ABC＝72°，


∴∠A＝36°．


∵BD⊥AC，


∴∠ABD＝90°－36°＝54°．











(第7题)


7．如图，将△ADE沿DE折叠，点A恰好落在BC边上的点A′处．若D为AB边的中点，∠B＝50°，求∠BDA′的度数．


【解】 ∵D是AB的中点，


∴BD＝AD．


由折叠的性质，得A′D＝AD，∴BD＝A′D．


∴∠BA′D＝∠B＝50°．


∵∠B＋∠BA′D＋∠BDA′＝180°，


∴∠BDA′＝180°－∠B－∠BA′D＝80°．





(第8题)


8．如图，在△ABC中，已知AB＝AC，AD＝AE，∠BAD＝28°，求∠EDC的度数．


【解】 ∵AB＝AC，∴∠B＝∠C．


同理，∠ADE＝∠AED．


设∠EDC＝α，∠C＝β，


则∠ADE＝∠AED＝∠EDC＋∠C＝α＋β，


∠ADC＝∠ADE＋∠EDC＝α＋β＋α＝2α＋β．


∵∠ADC＝∠BAD＋∠B＝28°＋β，


∴2α＋β＝28°＋β，∴α＝14°，即∠EDC＝14°．


B组











(第9题)





9．如图，在△PAB中，PA＝PB，M，N，K分别是PA，PB，AB上的点，且AM＝BK，BN＝AK．若∠MKN＝44°，则∠P的度数为(D)


A． 44° B． 66° C． 88° D． 92°


【解】 ∵PA＝PB，∴∠A＝∠B．


在△AMK和△BKN中，∵eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(AM＝BK，,∠A＝∠B，,AK＝BN，))


∴△AMK≌△BKN(SAS)．∴∠AMK＝∠BKN．


∵∠MKB＝∠MKN＋∠BKN＝∠A＋∠AMK，


∴∠A＝∠MKN＝44°，


∴∠P＝180°－∠A－∠B＝92°．


10．如图，已知AB＝A1B，A1B1＝A1A2，A2B2＝A2A3，A3B3＝A3A4，…．若∠A＝70°，则∠Bn－1AnAn－1的度数为(C)





(第10题)





A． eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(70,2n)))° B． eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(70,2n＋1)))° C． eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(70,2n－1)))° D． eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(70,2n＋2)))°


【解】 在△ABA1中，∵∠A＝70°，AB＝A1B，


∴∠BA1A＝∠A＝70°．


∵A1A2＝A1B1，∠BA1A是△A1A2B1的外角，


∴∠B1A2A1＝eq \f(∠BA1A,2)＝35°．


同理，∠B2A3A2＝eq \f(1,2)∠B1A2A1＝eq \f(∠BA1A,22)，∠B3A4A3＝eq \f(1,2)∠B2A3A2＝eq \f(∠BA1A,23)，…，


∴∠Bn－1AnAn－1＝eq \f(∠BA1A,2n－1)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(70,2n－1)))°．


11．如图，在△ABC中，分别以AC，BC为边作等边三角形ACD和等边三角形BCE，连结AE，BD交于点O，求∠AOB的度数．





(第11题)


【解】 设AC与BD交于点H．


∵△ACD，△BCE都是等边三角形，


∴CD＝CA，CB＝CE，∠ACD＝∠BCE＝60°，


∴∠DCB＝∠ACE，


∴△DCB≌△ACE(SAS)，


∴∠CDB＝∠CAE．


又∵∠DCH＋∠DHC＋∠CDB＝180°，


∠AOH＋∠AHO＋∠CAE＝180°，


∠DHC＝∠AHO，


∴∠AOH＝∠DCH＝60°．


∴∠AOB＝180°－∠AOH＝120°．


12．如图，在△ABC中，AB＝AC，BD，CE是△ABC的两条高线，BD与CE相交于点O．


(1)求证：OB＝OC．


(2)若∠ABC＝70°，求∠BOC的度数．





(第12题)


【解】 (1)∵AB＝AC，


∴∠ABC＝∠ACB．


∵BD，CE是△ABC的两条高线，


∴∠BEC＝∠CDB＝90°．


又∵BC＝CB，


∴△BEC≌△CDB(AAS)，


∴BE＝CD．


又∵∠BOE＝∠COD，∠BEO＝∠CDO＝90°，


∴△BOE≌△COD(AAS)，


∴OB＝OC．


(2)连结DE．


∵∠ABC＝70°，AB＝AC，


∴∠A＝180°－2×70°＝40°．


∵∠A＋∠AED＋∠ADE＝180°，∠OED＋∠ODE＋∠DOE＝180°，


∴∠A＋∠AEO＋∠ADO＋∠DOE＝360°．


又∵∠AEO＝∠ADO＝90°，


∴∠A＋∠DOE＝180°，


∴∠BOC＝∠DOE＝180°－40°＝140°．





(第13题)


13．如图，在△ABC中，已知BC＝AC，∠BAC的外角平分线交BC的延长线于点D．若∠ADC＝eq \f(1,2)∠CAD，求∠ABC的度数．





(第13题解)


【解】 如解图，设∠ABC＝x，∠CAD＝y，


则∠ACD＝2x，∠ADC＝eq \f(1,2)∠CAD＝eq \f(1,2)y，


∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＋2y＝180°，,2x＋\f(3,2)y＝180°，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝36°，,y＝72°.))∴∠ABC＝36°．


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14．(1)已知在△ABC中，∠A＝90°，∠B＝67．5°，请画一条直线，把这个三角形分割成两个等腰三角形(请你选用下面给出的备用图，把所有不同的分割方法都画出来．只需画图，不必说明理由，但要在图中标出相等两角的度数)．


(2)已知在△ABC中，∠C是其最小的内角，过顶点B的一条直线把这个三角形分割成了两个等腰三角形，请探求∠ABC与∠C之间的关系．





(第14题)


导学号：91354010


【解】 (1)如解图①②(共有2种不同的分割法)．





(第14题解)








(第14题解③)


(2)设∠ABC＝y，∠C＝x，过点B的直线交边AC于点D．


在△DBC中，


①若∠C是顶角，如解图③，则∠CBD＝∠CDB＝90°－eq \f(1,2)x，∠A＝180°－x－y．


故∠ADB＝180°－∠CDB＝90°＋eq \f(1,2)x＞90°，此时只能有∠A＝∠ABD，


即180°－x－y＝y－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(90°－\f(1,2)x))，


∴3x＋4y＝540°，∴∠ABC＝135°－eq \f(3,4)∠C．


②若∠C是底角，


第一种情况：如解图④，当DB＝DC时，∠DBC＝x．在△ABD中，∠ADB＝2x，∠ABD＝y－x．


若AB＝AD，则2x＝y－x，此时有y＝3x，


∴∠ABC＝3∠C．


若AB＝BD，则180°－x－y＝2x，此时有3x＋y＝180°，∴∠ABC＝180°－3∠C．


若AD＝BD，则180°－x－y＝y－x，此时有y＝90°，即∠ABC＝90°，∠C为小于45°的任意锐角．


, ④), ⑤)


(第14题解)


第二种情况：如解图⑤，当BD＝BC时，∠BDC＝x，∠ADB＝180°－x＞90°，此时只能有AD＝BD，∴∠A＝∠ABD＝eq \f(1,2)∠BDC＝eq \f(1,2)∠C＜∠C，这与题设∠C是最小角矛盾．


∴当∠C是底角时，BD＝BC不成立．


综上所述，∠ABC与∠C之间的关系是∠ABC＝135°－eq \f(3,4)∠C或∠ABC＝3∠C或∠ABC＝180°－3∠C或∠ABC＝90°(∠C是小于45°的任意锐角)．