数学必修 第一册1.4 充分条件与必要条件导学案

这是一份数学必修 第一册1.4 充分条件与必要条件导学案，共6页。

1.4 充分条件与必要条件


、选择题


LISTNUM OutlineDefault \l 3 方程“ax2＋2x－1=0至少有一个正实根”的充要条件是( )


A.－1≤a<0 B.a>－1 C.a≥－1 D.－1≤a<0或a>0





LISTNUM OutlineDefault \l 3 “x>1”是“|x|>1”的( )


A.充分而不必要条件


B.必要而不充分条件


C.充分必要条件


D.既不充分又不必要条件





LISTNUM OutlineDefault \l 3 设a，b是实数，则“a＋b＞0”是“ab＞0”的( )


A.充分不必要条件


B.必要不充分条件


C.充分必要条件


D.既不充分又不必要条件





LISTNUM OutlineDefault \l 3 设集合A={x∈R|x－2＞0}，B={x∈R|x＜0}，C={x∈R|x(x－2)＞0}，则“x∈A∪B”是“x∈C”的( )


A.充分而不必要条件


B.必要而不充分条件


C.充分必要条件


D.既不充分又不必要条件





LISTNUM OutlineDefault \l 3 “x=1”是“x2－2x＋1=0”的( )


A.充要条件 B.充分而不必要条件


C.必要而不充分条件 D.既不充分又不必要条件





LISTNUM OutlineDefault \l 3 设x∈R，则“2－x≥0”是“|x－1|≤1”的( )


A.充分而不必要条件


B.必要而不充分条件


C.充要条件


D.既不充分也不必要条件





LISTNUM OutlineDefault \l 3 设x∈R，则“1

A.必要不充分条件 B.充分不必要条件


C.充要条件 D.既不充分又不必要条件





LISTNUM OutlineDefault \l 3 已知集合A={1，a}，B={1,2,3}，则“a=3”是“A⊆B”的( )


A.充分不必要条件 B.必要不充分条件


C.充要条件 D.既不充分又不必要条件





、填空题


LISTNUM OutlineDefault \l 3 条件p：1－x<0，条件q：x>a，若p是q的充分不必要条件，则a的取值范围是________.








LISTNUM OutlineDefault \l 3 “a和b都是偶数”是“a＋b是偶数”的________条件.





LISTNUM OutlineDefault \l 3 “k＞4，b＜5”是“一次函数y=(k-4)x＋b-5的图象交y轴于负半轴，交x轴于正半轴”的________条件.(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分又不必要”)





LISTNUM OutlineDefault \l 3 已知P={x|a-4＜x＜a＋4}，Q={x|1＜x＜3}，“x∈P”是“x∈Q”的必要条件，则实数a的取值范围是________.





、解答题


LISTNUM OutlineDefault \l 3 是否存在实数p，使4x＋p<0是x2－x－2>0的充分条件？如果存在，求出p的取值范围；否则，说明理由.
































LISTNUM OutlineDefault \l 3 求证：一元二次方程ax2＋bx＋c=0有一正根和一负根的充要条件是ac<0.









































LISTNUM OutlineDefault \l 3 已知a，b，c∈R，a≠0.判断“a-b＋c=0”是“二次方程ax2＋bx＋c=0有一根为-1”的什么条件？并说明理由.



































LISTNUM OutlineDefault \l 3 设a，b，c为△ABC的三边，求证：方程x2＋2ax＋b2=0与x2＋2cx-b2=0有公共根的充要条件是∠A=90°.


























参考答案


LISTNUM OutlineDefault \l 3 \s 1 答案为：C；


解析：a=0时，方程ax2＋2x－1=0有一正根，排除A、D两项；


a=－1时，方程化为x2－2x＋1=0，即(x－1)2=0，x=1>0.








LISTNUM OutlineDefault \l 3 答案为：A；


解析：x>1⇒|x|>1，而|x|>1⇒x>1或x<－1，故“x>1”是“|x|>1”的充分而不必要条件.








LISTNUM OutlineDefault \l 3 答案为：D；


解析：特值法：当a=10，b=－1时，a＋b＞0，ab＜0，故a＋b＞0ab＞0；


当a=－2，b=－1时，ab＞0，但a＋b＜0，所以ab＞0 a＋b＞0.


故“a＋b＞0”是“ab＞0”的既不充分又不必要条件.








LISTNUM OutlineDefault \l 3 答案为：C；


解析：A∪B={x∈R|x＜0或x＞2}，C={x∈R|x＜0或x＞2}，


∵A∪B=C，∴x∈A∪B是x∈C的充分必要条件.








LISTNUM OutlineDefault \l 3 答案为：A；


解析：因为x2－2x＋1=0有两个相等的实数根，为x=1，所以“x=1”是“x2－2x＋1=0”的充要条件.








LISTNUM OutlineDefault \l 3 答案为：B；


解析：由2－x≥0，得x≤2，


由|x－1|≤1，得0≤x≤2.


∵0≤x≤2⇒x≤2，x≤2⇒/ 0≤x≤2，


故“2－x≥0”是“|x－1|≤1”的必要而不充分条件.








LISTNUM OutlineDefault \l 3 答案为：B；


解析：∵“1

∴“1

LISTNUM OutlineDefault \l 3 答案为：A；


解析：因为A={1，a}，B={1,2,3}，若a=3，则A={1,3}，所以A⊆B，所以a=3⇒A⊆B；


若A⊆B，则a=2或a=3，所以A⊆B⇒/ a=3，所以“a=3”是“A⊆B”的充分不必要条件.





LISTNUM OutlineDefault \l 3 答案为：(－∞，1)；


解析：p：x>1，若p是q的充分不必要条件，则p⇒q，但qp，


也就是说，p对应集合是q对应集合的真子集，所以a<1.








LISTNUM OutlineDefault \l 3 答案为：充分不必要；


解析：a和b都是偶数⇒a＋b是偶数；a＋b是偶数 a和b都是偶数.








LISTNUM OutlineDefault \l 3 答案为：充要；


解析：当k＞4，b＜5时，函数y=(k-4)x＋b-5的图象如图所示.





由一次函数y=(k-4)x＋b-5的图象交y轴于负半轴，交x轴于正半轴时，即x=0，y=b-5＜0，∴b＜5.


当y=0时，x=＞0，∵b＜5，∴k＞4.故填“充要”.


LISTNUM OutlineDefault \l 3 答案为：{a|-1≤a≤5}；


解析：因为“x∈P”是“x∈Q”的必要条件，所以Q⊆P，


所以所以-1≤a≤5.





LISTNUM OutlineDefault \l 3 解：由x2－x－2>0，解得x>2或x<－1.


令A={x|x>2或x<－1}，


由4x＋p<0得B=eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x<－\f(p,4))))).


当B⊆A时，即－eq \f(p,4)≤－1，即p≥4.


此时x<－eq \f(p,4)≤－1⇒x2－x－2>0，


所以p的取值范围为[4，＋∞).








LISTNUM OutlineDefault \l 3 解：充分性：(由ac<0推证方程有一正根和一负根)


∵ac<0，


∴一元二次方程ax2＋bx＋c=0的判别式


Δ=b2－4ac>0.


∴方程一定有两不等实根.


设为x1，x2，则x1x2=eq \f(c,a)<0，


∴方程的两根异号.


即方程ax2＋bx＋c=0有一正根和一负根.


必要性：(由方程有一正根和一负根推证ac<0)


∵方程ax2＋bx＋c=0有一正根和一负根，


设为x1，x2，则由根与系数的关系得x1x2=eq \f(c,a)<0，即ac<0.


综上可知：一元二次方程ax2＋bx＋c=0有一正根和一负根的充要条件是ac<0.








LISTNUM OutlineDefault \l 3 解：“a-b＋c=0”是“二次方程ax2＋bx＋c=0有一根为-1”的充要条件.


理由如下：


当a，b，c∈R，a≠0时，


若“a-b＋c=0”，则-1满足二次方程ax2＋bx＋c=0，即“二次方程ax2＋bx＋c=0有一根为-1”，


故“a-b＋c=0”是“二次方程ax2＋bx＋c=0有一根为-1”的充分条件，


若“二次方程ax2＋bx＋c=0有一根为-1”，则“a-b＋c=0”，


故“a-b＋c=0”是“二次方程ax2＋bx＋c=0有一根为-1”的必要条件，


综上所述，“a-b＋c=0”是“二次方程ax2＋bx＋c=0有一根为-1”的充要条件.





LISTNUM OutlineDefault \l 3 证明：


必要性：设方程x2＋2ax＋b2=0与x2＋2cx-b2=0有公共根x0，


则x02＋2ax0＋b2=0，x02＋2cx0-b2=0.


两式相减，得x0=，将此式代入x02＋2ax0＋b2=0，可得b2＋c2=a2，故∠A=90°.


充分性：∵∠A=90°，∴b2=a2-c2.①


将①代入方程x2＋2ax＋b2=0，


可得x2＋2ax＋a2-c2=0，即(x＋a-c)(x＋a＋c)=0.


将①代入方程x2＋2cx-b2=0，


可得x2＋2cx＋c2-a2=0，即(x＋c-a)(x＋c＋a)=0.


故两方程有公共根x=-(a＋c).


∴方程x2＋2ax＋b2=0与x2＋2cx-b2=0有公共根的充要条件是∠A=90°.