高中数学人教A版 (2019)必修第一册3.3 幂函数学案设计

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3.3 幂函数

、选择题

LISTNUM OutlineDefault \l 3 下列函数是幂函数的是( )

A.y=7x B.y=x7 C.y=5x D.y=(x＋2)3

LISTNUM OutlineDefault \l 3 已知函数y=xa，y=xb，y=xc的图象如图所示，则a，b，c的大小关系为( )

A.c

LISTNUM OutlineDefault \l 3 下列结论中，正确的是( )

A.幂函数的图象都通过点(0,0)，(1,1)

B.幂函数的图象可以出现在第四象限

C.当幂指数α取1,3，0.5时，幂函数y=xα是增函数

D.当幂指数α=－1时，幂函数y=xα在定义域上是减函数

LISTNUM OutlineDefault \l 3 已知幂函数f(x)的图象经过点(4,2)，则f(x)的增区间为( )

A.(－∞，＋∞) B.(－∞，0) C.(0，＋∞) D.(1，＋∞)

LISTNUM OutlineDefault \l 3 已知幂函数f(x)=xa，当x＞1时，恒有f(x)＜x，则a的取值范围是( )

A.0＜a＜1 B.a＜1 C.a＞0 D.a＜0

LISTNUM OutlineDefault \l 3 已知幂函数f(x)=(2n2-n)xn＋1，若在其定义域上为增函数，则n等于( )

A.1，-eq \f(1,2) B.1 C.-eq \f(1,2) D.-1，eq \f(1,2)

LISTNUM OutlineDefault \l 3 幂函数f(x)=x3m-5(m∈N)在(0，＋∞)上是减函数，且f(-x)=f(x)，则m可能等于( )

A.0 B.1 C.2 D.3

LISTNUM OutlineDefault \l 3 若幂函数y=(m2-3m＋3)xm-2的图象关于原点对称，则m的取值范围为( )

A.1≤m≤2 B.m=1或m=2 C.m=2 D.m=1

、填空题

LISTNUM OutlineDefault \l 3 若幂函数y=xα的图像经过点(8，4)，则函数y=xα的值域是________.

LISTNUM OutlineDefault \l 3 下列命题中，

①幂函数的图象不可能在第四象限；

②当α=0时，函数y=xα的图象是一条直线；

③当α>0时，幂函数y=xα是增函数；

④当α＜0时，幂函数y=xα在第一象限内函数值随x值的增大而减小.

其中正确的序号为________.

LISTNUM OutlineDefault \l 3 若函数f(x)是幂函数，且满足f(4)=3f(2)，则f(0.5)的值等于________.

LISTNUM OutlineDefault \l 3 幂函数f(x)=x3m－5(m∈N)在(0，＋∞)上是减函数，且f(－x)=f(x)，则m等于________.

、解答题

LISTNUM OutlineDefault \l 3 函数f(x)=(m2－3m＋3)xm＋2是幂函数，且函数f(x)为偶函数，求m的值.

LISTNUM OutlineDefault \l 3 已知幂函数f(x)=x－m2＋2m＋3(m∈Z)为偶函数，且在区间(0，＋∞)上是单调增函数.求函数f(x)的解析式.

LISTNUM OutlineDefault \l 3 已知幂函数y=f(x)=x－2m2－m＋3，其中m∈{x|－2

①是区间(0，＋∞)上的增函数；

②对任意的x∈R，都有f(－x)＋f(x)=0.

求同时满足①，②的幂函数f(x)的解析式，并求x∈[0,3]时f(x)的值域.

LISTNUM OutlineDefault \l 3 已知函数，满足f(2)

(1)求k的值与f(x)的解析式.

(2)对于(1)中的函数f(x)，试判断是否存在m，使得函数g(x)=f(x)－2x＋m在[0，2]上的值域为[2，3]，若存在，请求出m的值；若不存在，请说明理由.

参考答案

LISTNUM OutlineDefault \l 3 \s 1 答案为：B；

LISTNUM OutlineDefault \l 3 答案为：A；

解析：由幂函数的图象特征知，c<0，a>0，b>0.

由幂函数的性质知，当x>1时，幂指数大的幂函数的函数值就大，则a>b.

综上所述，可知c

LISTNUM OutlineDefault \l 3 答案为：C；

解析：当幂指数α=－1时，幂函数y=x－1的图象不通过原点，故选项A不正确；

因为所有的幂函数在区间(0，＋∞)上都有定义，且y=xα(α∈R)，y>0，所以幂函数的图象不可能出现在第四象限，故选项B不正确；

当α=－1时，y=x－1在区间(－∞，0)和(0，＋∞)上是减函数，但在它的定义域上不是减函数，故选项D不正确.

LISTNUM OutlineDefault \l 3 答案为：C；

LISTNUM OutlineDefault \l 3 答案为：B；

LISTNUM OutlineDefault \l 3 答案为：C；

LISTNUM OutlineDefault \l 3 答案为：B；

解析：幂函数f(x)=x3m-5(m∈N)在(0，＋∞)上是减函数，

∴3m-5＜0，即m＜eq \f(5,3).又m∈N，∴m=0,1.

∵f(-x)=f(x)，∴函数f(x)是偶函数.

当m=0时，f(x)=x-5是奇函数；当m=1时，f(x)=x-2是偶函数.∴m=1.

LISTNUM OutlineDefault \l 3 答案为：D

LISTNUM OutlineDefault \l 3 答案为：[0，＋∞)；

LISTNUM OutlineDefault \l 3 答案为：①④；

LISTNUM OutlineDefault \l 3 答案为：eq \f(1,3)；

LISTNUM OutlineDefault \l 3 答案为：1；

解析：因为幂函数f(x)=x3m－5(m∈N)在(0，＋∞)上是减函数，

所以3m－5<0，即m

所以m=0，1，因为f(－x)=f(x)，所以函数f(x)是偶函数，

当m=0时，f(x)=x－5，是奇函数；

当m=1时，f(x)=x－2，是偶函数.

所以m=1.

LISTNUM OutlineDefault \l 3 解：因为f(x)=(m2－3m＋3)xm＋2是幂函数，

所以m2－3m＋3=1，即m2－3m＋2=0.

所以m=1，或m=2.

当m=1时，f(x)=x3为奇函数，不符合题意.

当m=2时，f(x)=x4为偶函数，满足题目要求.

所以m=2.

LISTNUM OutlineDefault \l 3 解：∵f(x)在区间(0，＋∞)上是单调增函数，

∴－m2＋2m＋3>0，

即m2－2m－3<0，－1

又m∈Z，

∴m=0,1,2，

而m=0,2时，f(x)=x3不是偶函数，m=1时，f(x)=x4是偶函数，

∴f(x)=x4.

LISTNUM OutlineDefault \l 3 解：因为m∈{x|－2

所以m=－1,0,1.

因为对任意x∈R，都有f(－x)＋f(x)=0，

即f(－x)=－f(x)，

所以f(x)是奇函数.

当m=－1时，f(x)=x2只满足条件①而不满足条件②；

当m=1时，f(x)=x0，条件①、②都不满足.

当m=0时，f(x)=x3，条件①、②都满足，且在区间[0,3]上是增函数，

所以x∈[0,3]时，函数f(x)的值域为[0,27].

LISTNUM OutlineDefault \l 3 解：

(1)由f(2)0，解得－1

又k∈N，则k=0，1.

所以当k=0，1时，f(x)=x2.

(2)由已知得g(x)=x2－2x＋m=(x－1)2＋m－1，

当x∈[0，2]时，易求得g(x)∈[m－1，m]，

由已知值域为[2，3]，得m=3.

故存在满足条件的m，且m=3.

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