数学必修第一册2.2 基本不等式学案

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这是一份数学必修第一册2.2 基本不等式学案，共6页。

2.2 基本不等式

、选择题

LISTNUM OutlineDefault \l 3 已知0

A.eq \f(1,3) B.eq \f(1,2) C.eq \f(3,4) D.eq \f(2,3)

LISTNUM OutlineDefault \l 3 下列不等式正确的是( )

A．a＋eq \f(1,a)≥2 B．(-a)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,a)))≤-2 C．a2＋eq \f(1,a2)≥2 D．(-a)2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,a)))2≤-2

LISTNUM OutlineDefault \l 3 已知a，b∈R，且a＋b=1，则ab＋eq \f(1,ab)的最小值为( )

A．2 B.eq \f(5,2) C.eq \f(17,4) D．2eq \r(2)

LISTNUM OutlineDefault \l 3 若x＞0，则函数y=－x－eq \f(1,x)( )

A．有最大值－2 B．有最小值－2 C．有最大值2 D．有最小值2

LISTNUM OutlineDefault \l 3 若a≥0，b≥0且a＋b=2，则( )

A．ab≤eq \f(1,2) B．ab≥eq \f(1,2) C．a2＋b2≥2 D．a2＋b2≤3

LISTNUM OutlineDefault \l 3 下列各式中，对任何实数x都成立的一个式子是( )

A．lg(x2＋1)≥lg(2x) B．x2＋1＞2x C.eq \f(1,x2＋1)≤1 D．x＋eq \f(1,x)≥2

LISTNUM OutlineDefault \l 3 下列命题正确的是( )

A．函数y=x＋eq \f(1,x)的最小值为2

B．若a，b∈R且ab>0，则eq \f(b,a)＋eq \f(a,b)≥2

C．函数eq \r(x2＋2)＋eq \f(1,\r(x2＋2))的最小值为2

D．函数y=2－3x－eq \f(4,x)的最小值为2－4eq \r(3)

LISTNUM OutlineDefault \l 3 a，b∈R，则a2＋b2与2|ab|的大小关系是( )

A．a2＋b2≥2|ab| B．a2＋b2=2|ab|

C．a2＋b2≤2|ab| D．a2＋b2＞2|ab|

、填空题

LISTNUM OutlineDefault \l 3 若x，y均为正实数，且x＋4y=1，则x·y的最大值为________．

LISTNUM OutlineDefault \l 3 当x>eq \f(1,2)时，函数y=x＋eq \f(8,2x－1)的最小值为________．

LISTNUM OutlineDefault \l 3 已知a，b∈R，如果ab=1，那么a＋b最小值为_____；如果a＋b=1，那么ab最大值为_____．

LISTNUM OutlineDefault \l 3 设x>－1，则函数y=eq \f(（x＋5）（x＋2）,x＋1)的最小值是________．

、解答题

LISTNUM OutlineDefault \l 3 某汽车公司购买了4辆大客车，每辆200万元，用于长途客运，预计每辆车每年收入约100万元，每辆车第一年各种费用约为16万元，且从第二年开始每年比上一年所需费用要增加16万元．

(1)写出4辆车运营的总利润y (万元)与运营年数x(x∈N*)的函数关系式；

(2)这4辆车运营多少年，可使年平均运营利润最大？

LISTNUM OutlineDefault \l 3 已知x，y>0，且x＋2y＋xy=30，求xy的范围．

LISTNUM OutlineDefault \l 3 已知a，b，c为正数，证明：eq \f(2b＋3c－a,a)＋eq \f(a＋3c－2b,2b)＋eq \f(a＋2b－3c,3c)≥3.

LISTNUM OutlineDefault \l 3 已知a，b，c为不全相等的正实数，则abc=1.

求证：eq \r(a)＋eq \r(b )＋eq \r(c)＜eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)＋eq \f(1,c).

参考答案

LISTNUM OutlineDefault \l 3 \s 1 答案为：B；

解析：由x(3-3x)=eq \f(1,3)×3x(3-3x)≤eq \f(1,3)×eq \f(9,4)=eq \f(3,4)，当且仅当3x=3-3x，即x=eq \f(1,2)时等号成立．

LISTNUM OutlineDefault \l 3 答案为：C；

解析：因为a2＋eq \f(1,a2)中a2>0，所以eq \f(a2＋\f(1,a2),2)≥eq \r(a2·\f(1,a2))，即eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a2＋\f(1,a2)))≥1，所以a2＋eq \f(1,a2)≥2.

LISTNUM OutlineDefault \l 3 答案为：C；

LISTNUM OutlineDefault \l 3 答案为：A；

解析：因为x＞0，所以x＋eq \f(1,x)≥2.

所以－x－eq \f(1,x)≤－2.当且仅当x=1时，等号成立，故函数y=－x－eq \f(1,x)有最大值－2.

LISTNUM OutlineDefault \l 3 答案为：C；

解析：因为a2＋b2≥2ab，所以(a2＋b2)＋(a2＋b2)≥(a2＋b2)＋2ab，

即2(a2＋b2)≥(a＋b)2=4，所以a2＋b2≥2.

LISTNUM OutlineDefault \l 3 答案为：C；

解析：对于A，当x≤0时，无意义，故A不恒成立；对于B，当x=1时，x2＋1=2x，故B不成立；对于D，当x＜0时，不成立．对于C，x2＋1≥1，所以eq \f(1,x2＋1)≤1成立，故选C.

LISTNUM OutlineDefault \l 3 答案为：B；

解析：A错误，当x<0时或≠1时不成立；B正确，

因为ab>0，所以eq \f(b,a)>0，eq \f(a,b)>0，且eq \f(b,a)＋eq \f(a,b)≥2；C错误，

若运用基本不等式，需eq \r(x2＋2)2=1，x2=－1无实数解；D错误，

y=2－(3x＋eq \f(4,x))≤2－4eq \r(3).

LISTNUM OutlineDefault \l 3 答案为：A；

解析：因为a2＋b2－2|ab|=(|a|－|b|)2≥0，

所以a2＋b2≥2|ab|(当且仅当|a|=|b|时，等号成立)．

LISTNUM OutlineDefault \l 3 答案为：eq \f(1,16)；

解析：1=x＋4y≥2eq \r(4xy)=4eq \r(xy)，∴xy≤eq \f(1,16)，当且仅当x=4y时等号成立．

LISTNUM OutlineDefault \l 3 答案为：eq \f(9,2)；

解析：设t=2x-1，∵x>eq \f(1,2)，∴2x-1>0，即t>0，∴y=eq \f(t＋1,2)＋eq \f(8,t)=eq \f(t,2)＋eq \f(8,t)＋eq \f(1,2)≥2eq \r(\f(t,2)·\f(8,t))＋eq \f(1,2)=eq \f(9,2).

当且仅当eq \f(t,2)=eq \f(8,t)，即t=4， x=eq \f(5,2)时，取等号．

LISTNUM OutlineDefault \l 3 答案为：2，eq \f(1,4)；

解析：因为a，b∈R，所以eq \f(a＋b,2)≥eq \r(ab)，所以a＋b≥2eq \r(ab)=2.

故当ab=1时，a＋b取最小值2，此时a=b=1.

又当a＋b=1时，eq \r(ab )≤eq \f(a＋b,2)=eq \f(1,2).所以ab≤eq \f(1,4).

LISTNUM OutlineDefault \l 3 答案为：9；

解析：因为x>－1，所以x＋1>0，设x＋1=t>0，则x=t－1，

于是有y=eq \f(（t＋4）（t＋1）,t)=eq \f(t2＋5t＋4,t)=t＋eq \f(4,t)＋5≥2eq \r(t·\f(4,t))＋5=9，

当且仅当t=eq \f(4,t)，即t=2时取“=”，此时x=1.

所以当x=1时，函数y=eq \f(（x＋5）（x＋2）,x＋1)取得最小值9.

LISTNUM OutlineDefault \l 3 解：

(1)依题意，每辆车x年总收入为100x万元，

总支出为200＋16×(1＋2＋…＋x)

=200＋eq \f(1,2)x(x＋1)·16(万元)．∴y=4eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(100x－200－\f(1,2)xx＋1·16))=16(-2x2＋23x-50)．

(2)年平均利润为eq \f(y,x)=16eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(23－2x－\f(50,x)))=16eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(23－2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(25,x))))).

又x∈N*，∴x＋eq \f(25,x)≥2eq \r(x·\f(25,x))=10，

当且仅当x=5时，等号成立，此时eq \f(y,x)≤16×(23-20)=48.

∴运营5年可使年平均运营利润最大，最大利润为48万元．

LISTNUM OutlineDefault \l 3 解：因为x，y是正实数，故30=x＋2y＋xy≥2eq \r(2xy)＋xy，

当且仅当x=2y，

即x=6，y=3时，等号成立．

所以xy＋2eq \r(2)eq \r(xy)－30≤0.

令eq \r(xy)=t，则t>0，

得t2＋2eq \r(2)t－30≤0，

解得－5eq \r(2)≤t≤3eq \r(2).

又t>0，知0

LISTNUM OutlineDefault \l 3 证明：

左式=eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2b,a)＋\f(3c,a)－1))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a,2b)＋\f(3c,2b)－1))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a,3c)＋\f(2b,3c)－1))=eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2b,a)＋\f(a,2b)))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3c,a)＋\f(a,3c)))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3c,2b)＋\f(2b,3c)))－3

≥2eq \r(\f(2b,a)·\f(a,2b))＋2eq \r(\f(3c,a)·\f(a,3c))＋2eq \r(\f(3c,2b)·\f(2b,3c))－3=3，

当且仅当a2=4b2=9c2，即a=2b=3c时，等号成立．

LISTNUM OutlineDefault \l 3 证明：因为 a，b，c都是正实数，且abc=1，

所以eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)≥2eq \r(\f(1,ab))=2eq \r(c)，

eq \f(1,b)＋eq \f(1,c)≥2eq \r(\f(1,bc))=2eq \r(a)，

eq \f(1,a)＋eq \f(1,c)≥2eq \r(\f(1,ac))=2eq \r(b)，

以上三个不等式相加，得2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a)＋\f(1,b)＋\f(1,c)))≥2(eq \r(a)＋eq \r(b)＋eq \r(c))，

即eq \r(a)＋eq \r(b)＋eq \r(c)＜eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)＋eq \f(1,c).

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