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鲁科版 (2019)必修 第三册第2节 电势与等势面学案
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第2节 电势与等势面
学习目标：1.[物理观念](1)知道电势的定义、定义式、单位。(2)理解等势面的概念。知道电场线始终垂直于等势面，了解几种典型电场的等势面的分布。2.[科学思维]通过电势的定义，了解类比推理的方法，能在熟悉的情境中运用等势线模型解决问题。3.[科学探究]会运用类比等高线来理解和探究等势面，与他人合作交流，实事求是，提高探究能力。4.[科学态度与责任]通过等势面探索，体会类比与创新在物理学研究中的重要性，体验形象思维与抽象思维的相互关联，感悟物理学内在之美，激发学习热情。
一、电势
1．定义：电荷在电场中某点的电势能与它的电荷量之比，称为该点的电势。
2．公式和单位：电势的定义公式为φA＝eq \f(Ep,q)，国际单位是伏特，符号是V。
3．相对性：电势也是相对的，常取离场源电荷无穷远处的电势为零，也常选地球为零电势点。电势可以是正值，也可以是负值，没有方向，因此是标量。
4．与电场线关系：沿电场线的方向电势逐渐降低。
说明：电势是标量，有正、负，具有相对性，在同一电场中，正值高于负值。
二、等势面
1．定义：电场中电势相等的点构成的面。
2．性质
(1)在同一等势面上移动电荷，电场力不做功。
(2)电场线与等势面垂直，方向由电势高的等势面指向电势低的等势面。
(3)等差等势面密集处电场线密集，说明此处电场强度较大。
注意：我们常画的等势面一般是等差等势面，即相邻两等势面间的电势的差值相等。
1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)沿一条电场线方向上的各点，电势不可能相同。(√)
(2)电场中某点的电势与Ep成正比，与q成反比。(×)
(3)电荷在等势面上移动时不受电场力作用，所以不做功。(×)
(4)等势面上各点电势、场强均相同。(×)
2．(多选)关于电势的高低，下列说法正确的是( )
A．沿电场线方向电势逐渐降低
B．电势降低的方向一定是电场线的方向
C．正电荷在只受电场力的作用下，一定向电势低的地方运动
D．负电荷在只受电场力的作用下，由静止释放，一定向电势高的地方运动
AD [电场线的方向一定是沿电势降低的方向，反之不一定成立，故A正确，B错误；若正电荷的初速度与电场线反向，则先向电势高的方向做减速运动，再向电势低的地方运动，故C错误；D正确。]
3．在静电场中，下列说法正确的是( )
A．电场强度为零的地方，电势一定为零；电势为零的地方，电场强度也一定为零
B．电场线密集的地方，电势一定高；电场线稀疏的地方，电势一定低
C．电场线与等势面可以垂直，也可以不垂直
D．电场线总是由电势高的等势面指向电势低的等势面
D [电场强度与电势间大小没有必然的关系，选项A错误；电场线密集的地方，电场强度一定大，但电势不一定高，选项B错误；电场线与等势面一定垂直，选项C错误；根据“沿着电场线方向电势逐渐降低”可知，电场线总是由电势高的等势面指向电势低的等势面，选项D正确。]
电场线分布如图所示，电场中有a、b两点试比较电场强度Ea和Eb的大小？电势φa与φb的高低？
提示：Ea＜Eb，φa＞φb。
1．电势的理解
(1)电势的相对性：电场中某点的电势跟零电势位置的选取有关，常选取无限远处或大地的电势为零。
(2)电势的固有性：电势φ＝eq \f(Ep,q)是定义式，φ的大小由电场本身决定，与试探电荷、电荷的电性及电荷量均无关。
(3)电势是标量：一般选无穷远处或大地处电势为零。正值表示该点电势高于零电势点，负值表示该点电势低于零电势点。正、负只表示大小，不表示方向。
2．电势高低的判断方法
【例1】 如图所示，电子在一条电场线上从a点运动到b点，电势能增加，试判定a、b两点电势的高低。
思路点拨：(1)沿电场线方向电势逐渐降低。
(2)电场力做负功，电势能增加。
(3)正电荷受力方向与电场线的切线方向相同，负电荷则相反。
[解析] 解法一：利用电场线的方向来判断
由于电势能增加，电场力一定做负功，即电场力方向和电荷运动方向相反，由b指向a，而负电荷所受电场力的方向和场强方向相反，场强方向应是由a指向b，因此电场线的方向是由a指向b。
沿着电场线的方向电势越来越低，a点电势比b点电势高。
解法二：利用电势能判断
正电荷在电势越高的地方电势能越大，负电荷在电势越高的地方电势能越小，而本题已知条件是负电荷在a点电势能较低，故a点电势高。
[答案] a点电势比b点电势高
由以上分析可知，电势高低的判断方法有多种，但解法二较为简便，因此在具体应用时，可根据题目中的条件，灵活选择方法判断。
eq \([跟进训练])
1.三个点电荷电场的电场线分布如图所示，图中a、b两点处的场强大小分别为Ea、Eb，电势分别为φa、φb，则( )
A．Ea>Eb，φa>φb
B．Ea
C．Ea>Eb，φa<φb
D．Eaφb
C [由图可以看出a处电场线更密，所以Ea>Eb，根据对称性，a处的电势应与右侧负电荷附近对称点的电势相等，再根据沿电场线方向电势降低可以判定φb>φa，故C正确。]
如图所示为匀强电场中的等势面，把电荷从同一等势面上的A点移到B点时，电荷的电势能是否变化？静电力做功情况如何？等势面与电场线有何关系？
提示：不变化，不做功、垂直。
1．等势面的特点
(1)在同一等势面上任意两点间移动电荷，电场力不做功。
(2)在空间中两等势面不相交。
(3)电场线方向总是和等势面垂直，且从电势较高的等势面指向电势较低的等势面。
(4)在电场线密集的地方，等差等势面密集；在电场线稀疏的地方，等差等势面稀疏。
(5)等势面是为了描述电场的性质而假想的面。
(6)等势面的分布与电势零点的选取无关。
2．几种常见电场的等势面
【例2】 空间中P、Q两点处各固定一个点电荷，其中P点处为正电荷，P、Q两点附近电场的等势面分布如图所示，a、b、c、d为电场中的四个点。则( )
A．P、Q两点处的电荷等量同号
B．a点和b点的电场强度相同
C．c点的电势低于d点的电势
D．负电荷从a到c，电势能减少
思路点拨：(1)根据等量同种或异种电荷等势面判定。
(2)电场强度是矢量，大小、方向都相同才相同。
(3)沿电场线方向电势逐渐降低。
D [根据题图可知，该电场是等量异号点电荷的电场，故A错误；根据电场的对称性知，a、b两点的电场强度大小相等，而方向不同，故B错误；c点所在等势面距离P点(正电荷)比d点所在等势面距离P点近，故c点的电势较高，故C错误；负电荷从a到c，电场力做正功，所以电势能减少，故D正确。]
等势面和电场线的应用
(1)已知等势面的情况，可作等势面的垂线来确定电场线，并由“电势降低”的方向确定电场线的方向。
(2)已知电场线时，可作电场线的垂线来确定等势面，并由“沿电场线方向电势降低”确定等势面的电势高低。
eq \([跟进训练])
2．一对等量正点电荷的电场线(实线)和等势线(虚线)如图所示，图中A、B两点电场强度分别是EA、EB，电势分别是φA、φB，负电荷q在A、B时的电势能分别是EpA、EpB，下列
判断正确的是( )
A．EA＞EB，φA＞φB，EpA＜EpB
B．EA＞EB，φA＜φB，EpA＜EpB
C．EA＜EB，φA＞φB，EpA＞EpB
D．EA＜EB，φA＜φB，EpA＞EpB
A [A处的电场线比B处的密集，故EA>EB；离正电荷越近电势越高，故φA>φB；负电荷在A、B处的电势能EpA
1．物理观念：电势的定义、定义式、单位，等势面及特点。
2．科学思维：电势φA＝eq \f(Ep,q)的理解及其应用，等势面的理解及其应用。
3．科学方法：类比法、比值法、作图法等。
1．在静电场中，关于场强和电势的说法中正确的是( )
A．电场强度大的地方电势一定高
B．电势为零的地方场强也一定为零
C．场强为零的地方电势也一定为零
D．场强大小相同的点电势不一定相同
D [电场强度和电势没有必然联系，场强大的地方电势不一定高，电势高处的电场强度也不一定大，故选项D正确。]
2．关于静电场的等势面，下列说法正确的是( )
A．两个电势不同的等势面可能相交
B．电场线与等势面处处相互垂直
C．同一等势面上各点电场强度一定相等
D．将一负的试探电荷从电势较高的等势面移至电势较低的等势面，电场力做正功
B [在静电场中，两个电势不同的等势面不会相交，选项A错误；电场线与等势面一定相互垂直，选项B正确；同一等势面上的电场强度可能相等，也可能不相等，选项C错误；电场线总是由电势高的等势面指向电势低的等势面，沿电场线移动负试探电荷时，电场力做负功，选项D错误。]
3．将一正电荷从无穷远处移至电场中M点，电场力做功为6.0×10－9 J，若将一个等量的负电荷从电场中N点移向无穷远处，电场力做功为7.0×10－9 J，则M、N两点的电势φM、φN的关系为( )
A．φM＜φN＜0 B．φN＞φM＞0
C．φN＜φM＜0D．φM＞φN＞0
C [取无穷远处电势φ∞＝0。对正电荷：W∞M＝0－EpM＝－qφM，φM＝eq \f(－W∞M,q)＝－eq \f(6×10－9 J,q)；对负电荷：WN∞＝EpN－0＝－qφN，φN＝eq \f(－WN∞,q)＝－eq \f(7×10－9 J,q)；所以φN＜φM＜0，选项C正确。]
4．(多选)如图所示，虚线同心圆是某静电场中的一簇等势面，其电势分别是φa、φb和φc，一带正电粒子射入电场中，运动轨迹如图中实线KLMN所示。由图可知( )
A．粒子从K到L的过程中，静电力做负功，电势能增加
B．粒子从M到N的过程中，静电力做负功，电势能增加
C．φa＞φb＞φc
D．φa＜φb＜φc
AD [由题图所示等势面的分布规律可知，该电场为点电荷的电场。由运动轨迹可知，运动的正粒子跟场源电荷的相互作用是排斥，所以场源电荷是正电荷。根据电场线与等势面垂直，电场线的分布是发散状辐射向外的，粒子从K到L受静电力的方向与速度方向成钝角，静电力做负功，电势能增加，A正确；从M到N，受到的静电力与速度方向成锐角，静电力做正功，电势能减少，B错误；根据沿电场线方向电势降低可知，D正确，C错误。]
5．如图为某一平面内非匀强电场的等势线分布图，已知相邻的等势线间的电势差大小相等，其中A、B两点的电势分别为φA＝10 V，φB＝2 V。
(1)比较A、B两点电场强度的大小。
(2)若将一电子从A点沿某一路径运动到B点，则电子的电势能如何变化？变化了多少？
提示：(1)因B处等势面密，则B处电场强度大，即EB＞EA。
(2)电子在A、B处的电势能分别为EPA＝－1.6×10－18J EPB＝－3.2×10－19J，由A到B
ΔEp＝EPB－EPA＝1.28×10－18J，增加了1.28×10－18J。
[答案] (1)EB＞EA (2)增加 1.28×10－18J电势的理解及电势高低的判断
判断角度
判断方法
场源电荷
正负法
取无穷远处电势为零，正电荷周围电势为正值，负电荷周围电势为负值；靠近正电荷处电势高，靠近负电荷处电势低
电场线
方向法
沿着电场线方向电势逐渐降低；逆着电场线方向电势逐渐升高
电场力
做功法
电场力做正功，电势能减少，若为正电荷，电势降低；若为负电荷，电势升高。电场力做负功，电势能增加，若为正电荷，电势升高；若为负电荷，电势降低
电势能
高低法
正电荷的电势能大处电势高，负电荷的电势能大处电势低
等势面的理解与计算
等势面
图形
特点
点电荷
以点电荷为球心的一簇球面
等量异种点电荷
两簇对称的曲面
等量同种点电荷
两簇对称的曲面
匀强电场
垂直于电场线的一簇平面
形状不规则的带电导体
不规则曲面
第2节 电势与等势面
学习目标：1.[物理观念](1)知道电势的定义、定义式、单位。(2)理解等势面的概念。知道电场线始终垂直于等势面，了解几种典型电场的等势面的分布。2.[科学思维]通过电势的定义，了解类比推理的方法，能在熟悉的情境中运用等势线模型解决问题。3.[科学探究]会运用类比等高线来理解和探究等势面，与他人合作交流，实事求是，提高探究能力。4.[科学态度与责任]通过等势面探索，体会类比与创新在物理学研究中的重要性，体验形象思维与抽象思维的相互关联，感悟物理学内在之美，激发学习热情。
一、电势
1．定义：电荷在电场中某点的电势能与它的电荷量之比，称为该点的电势。
2．公式和单位：电势的定义公式为φA＝eq \f(Ep,q)，国际单位是伏特，符号是V。
3．相对性：电势也是相对的，常取离场源电荷无穷远处的电势为零，也常选地球为零电势点。电势可以是正值，也可以是负值，没有方向，因此是标量。
4．与电场线关系：沿电场线的方向电势逐渐降低。
说明：电势是标量，有正、负，具有相对性，在同一电场中，正值高于负值。
二、等势面
1．定义：电场中电势相等的点构成的面。
2．性质
(1)在同一等势面上移动电荷，电场力不做功。
(2)电场线与等势面垂直，方向由电势高的等势面指向电势低的等势面。
(3)等差等势面密集处电场线密集，说明此处电场强度较大。
注意：我们常画的等势面一般是等差等势面，即相邻两等势面间的电势的差值相等。
1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)沿一条电场线方向上的各点，电势不可能相同。(√)
(2)电场中某点的电势与Ep成正比，与q成反比。(×)
(3)电荷在等势面上移动时不受电场力作用，所以不做功。(×)
(4)等势面上各点电势、场强均相同。(×)
2．(多选)关于电势的高低，下列说法正确的是( )
A．沿电场线方向电势逐渐降低
B．电势降低的方向一定是电场线的方向
C．正电荷在只受电场力的作用下，一定向电势低的地方运动
D．负电荷在只受电场力的作用下，由静止释放，一定向电势高的地方运动
AD [电场线的方向一定是沿电势降低的方向，反之不一定成立，故A正确，B错误；若正电荷的初速度与电场线反向，则先向电势高的方向做减速运动，再向电势低的地方运动，故C错误；D正确。]
3．在静电场中，下列说法正确的是( )
A．电场强度为零的地方，电势一定为零；电势为零的地方，电场强度也一定为零
B．电场线密集的地方，电势一定高；电场线稀疏的地方，电势一定低
C．电场线与等势面可以垂直，也可以不垂直
D．电场线总是由电势高的等势面指向电势低的等势面
D [电场强度与电势间大小没有必然的关系，选项A错误；电场线密集的地方，电场强度一定大，但电势不一定高，选项B错误；电场线与等势面一定垂直，选项C错误；根据“沿着电场线方向电势逐渐降低”可知，电场线总是由电势高的等势面指向电势低的等势面，选项D正确。]
电场线分布如图所示，电场中有a、b两点试比较电场强度Ea和Eb的大小？电势φa与φb的高低？
提示：Ea＜Eb，φa＞φb。
1．电势的理解
(1)电势的相对性：电场中某点的电势跟零电势位置的选取有关，常选取无限远处或大地的电势为零。
(2)电势的固有性：电势φ＝eq \f(Ep,q)是定义式，φ的大小由电场本身决定，与试探电荷、电荷的电性及电荷量均无关。
(3)电势是标量：一般选无穷远处或大地处电势为零。正值表示该点电势高于零电势点，负值表示该点电势低于零电势点。正、负只表示大小，不表示方向。
2．电势高低的判断方法
【例1】 如图所示，电子在一条电场线上从a点运动到b点，电势能增加，试判定a、b两点电势的高低。
思路点拨：(1)沿电场线方向电势逐渐降低。
(2)电场力做负功，电势能增加。
(3)正电荷受力方向与电场线的切线方向相同，负电荷则相反。
[解析] 解法一：利用电场线的方向来判断
由于电势能增加，电场力一定做负功，即电场力方向和电荷运动方向相反，由b指向a，而负电荷所受电场力的方向和场强方向相反，场强方向应是由a指向b，因此电场线的方向是由a指向b。
沿着电场线的方向电势越来越低，a点电势比b点电势高。
解法二：利用电势能判断
正电荷在电势越高的地方电势能越大，负电荷在电势越高的地方电势能越小，而本题已知条件是负电荷在a点电势能较低，故a点电势高。
[答案] a点电势比b点电势高
由以上分析可知，电势高低的判断方法有多种，但解法二较为简便，因此在具体应用时，可根据题目中的条件，灵活选择方法判断。
eq \([跟进训练])
1.三个点电荷电场的电场线分布如图所示，图中a、b两点处的场强大小分别为Ea、Eb，电势分别为φa、φb，则( )
A．Ea>Eb，φa>φb
B．Ea
C．Ea>Eb，φa<φb
D．Ea
C [由图可以看出a处电场线更密，所以Ea>Eb，根据对称性，a处的电势应与右侧负电荷附近对称点的电势相等，再根据沿电场线方向电势降低可以判定φb>φa，故C正确。]
如图所示为匀强电场中的等势面，把电荷从同一等势面上的A点移到B点时，电荷的电势能是否变化？静电力做功情况如何？等势面与电场线有何关系？
提示：不变化，不做功、垂直。
1．等势面的特点
(1)在同一等势面上任意两点间移动电荷，电场力不做功。
(2)在空间中两等势面不相交。
(3)电场线方向总是和等势面垂直，且从电势较高的等势面指向电势较低的等势面。
(4)在电场线密集的地方，等差等势面密集；在电场线稀疏的地方，等差等势面稀疏。
(5)等势面是为了描述电场的性质而假想的面。
(6)等势面的分布与电势零点的选取无关。
2．几种常见电场的等势面
【例2】 空间中P、Q两点处各固定一个点电荷，其中P点处为正电荷，P、Q两点附近电场的等势面分布如图所示，a、b、c、d为电场中的四个点。则( )
A．P、Q两点处的电荷等量同号
B．a点和b点的电场强度相同
C．c点的电势低于d点的电势
D．负电荷从a到c，电势能减少
思路点拨：(1)根据等量同种或异种电荷等势面判定。
(2)电场强度是矢量，大小、方向都相同才相同。
(3)沿电场线方向电势逐渐降低。
D [根据题图可知，该电场是等量异号点电荷的电场，故A错误；根据电场的对称性知，a、b两点的电场强度大小相等，而方向不同，故B错误；c点所在等势面距离P点(正电荷)比d点所在等势面距离P点近，故c点的电势较高，故C错误；负电荷从a到c，电场力做正功，所以电势能减少，故D正确。]
等势面和电场线的应用
(1)已知等势面的情况，可作等势面的垂线来确定电场线，并由“电势降低”的方向确定电场线的方向。
(2)已知电场线时，可作电场线的垂线来确定等势面，并由“沿电场线方向电势降低”确定等势面的电势高低。
eq \([跟进训练])
2．一对等量正点电荷的电场线(实线)和等势线(虚线)如图所示，图中A、B两点电场强度分别是EA、EB，电势分别是φA、φB，负电荷q在A、B时的电势能分别是EpA、EpB，下列
判断正确的是( )
A．EA＞EB，φA＞φB，EpA＜EpB
B．EA＞EB，φA＜φB，EpA＜EpB
C．EA＜EB，φA＞φB，EpA＞EpB
D．EA＜EB，φA＜φB，EpA＞EpB
A [A处的电场线比B处的密集，故EA>EB；离正电荷越近电势越高，故φA>φB；负电荷在A、B处的电势能EpA
1．物理观念：电势的定义、定义式、单位，等势面及特点。
2．科学思维：电势φA＝eq \f(Ep,q)的理解及其应用，等势面的理解及其应用。
3．科学方法：类比法、比值法、作图法等。
1．在静电场中，关于场强和电势的说法中正确的是( )
A．电场强度大的地方电势一定高
B．电势为零的地方场强也一定为零
C．场强为零的地方电势也一定为零
D．场强大小相同的点电势不一定相同
D [电场强度和电势没有必然联系，场强大的地方电势不一定高，电势高处的电场强度也不一定大，故选项D正确。]
2．关于静电场的等势面，下列说法正确的是( )
A．两个电势不同的等势面可能相交
B．电场线与等势面处处相互垂直
C．同一等势面上各点电场强度一定相等
D．将一负的试探电荷从电势较高的等势面移至电势较低的等势面，电场力做正功
B [在静电场中，两个电势不同的等势面不会相交，选项A错误；电场线与等势面一定相互垂直，选项B正确；同一等势面上的电场强度可能相等，也可能不相等，选项C错误；电场线总是由电势高的等势面指向电势低的等势面，沿电场线移动负试探电荷时，电场力做负功，选项D错误。]
3．将一正电荷从无穷远处移至电场中M点，电场力做功为6.0×10－9 J，若将一个等量的负电荷从电场中N点移向无穷远处，电场力做功为7.0×10－9 J，则M、N两点的电势φM、φN的关系为( )
A．φM＜φN＜0 B．φN＞φM＞0
C．φN＜φM＜0D．φM＞φN＞0
C [取无穷远处电势φ∞＝0。对正电荷：W∞M＝0－EpM＝－qφM，φM＝eq \f(－W∞M,q)＝－eq \f(6×10－9 J,q)；对负电荷：WN∞＝EpN－0＝－qφN，φN＝eq \f(－WN∞,q)＝－eq \f(7×10－9 J,q)；所以φN＜φM＜0，选项C正确。]
4．(多选)如图所示，虚线同心圆是某静电场中的一簇等势面，其电势分别是φa、φb和φc，一带正电粒子射入电场中，运动轨迹如图中实线KLMN所示。由图可知( )
A．粒子从K到L的过程中，静电力做负功，电势能增加
B．粒子从M到N的过程中，静电力做负功，电势能增加
C．φa＞φb＞φc
D．φa＜φb＜φc
AD [由题图所示等势面的分布规律可知，该电场为点电荷的电场。由运动轨迹可知，运动的正粒子跟场源电荷的相互作用是排斥，所以场源电荷是正电荷。根据电场线与等势面垂直，电场线的分布是发散状辐射向外的，粒子从K到L受静电力的方向与速度方向成钝角，静电力做负功，电势能增加，A正确；从M到N，受到的静电力与速度方向成锐角，静电力做正功，电势能减少，B错误；根据沿电场线方向电势降低可知，D正确，C错误。]
5．如图为某一平面内非匀强电场的等势线分布图，已知相邻的等势线间的电势差大小相等，其中A、B两点的电势分别为φA＝10 V，φB＝2 V。
(1)比较A、B两点电场强度的大小。
(2)若将一电子从A点沿某一路径运动到B点，则电子的电势能如何变化？变化了多少？
提示：(1)因B处等势面密，则B处电场强度大，即EB＞EA。
(2)电子在A、B处的电势能分别为EPA＝－1.6×10－18J EPB＝－3.2×10－19J，由A到B
ΔEp＝EPB－EPA＝1.28×10－18J，增加了1.28×10－18J。
[答案] (1)EB＞EA (2)增加 1.28×10－18J电势的理解及电势高低的判断
判断角度
判断方法
场源电荷
正负法
取无穷远处电势为零，正电荷周围电势为正值，负电荷周围电势为负值；靠近正电荷处电势高，靠近负电荷处电势低
电场线
方向法
沿着电场线方向电势逐渐降低；逆着电场线方向电势逐渐升高
电场力
做功法
电场力做正功，电势能减少，若为正电荷，电势降低；若为负电荷，电势升高。电场力做负功，电势能增加，若为正电荷，电势升高；若为负电荷，电势降低
电势能
高低法
正电荷的电势能大处电势高，负电荷的电势能大处电势低
等势面的理解与计算
等势面
图形
特点
点电荷
以点电荷为球心的一簇球面
等量异种点电荷
两簇对称的曲面
等量同种点电荷
两簇对称的曲面
匀强电场
垂直于电场线的一簇平面
形状不规则的带电导体
不规则曲面
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