人教版九年级上册22.1 二次函数的图象和性质综合与测试课后练习题

这是一份人教版九年级上册22.1 二次函数的图象和性质综合与测试课后练习题，共20页。试卷主要包含了1二次函数图像与性质综合等内容，欢迎下载使用。
22.1二次函数图像与性质综合





1．如图，抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴是x＝1，下列结论：


①abc＞0；②b2﹣4ac＞0；③8a+c＜0；④5a+b+2c＞0，


正确的有（ ）





A．4个B．3个C．2个D．1个


2．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标为（﹣1，n），其部分图象如图所示．以下结论错误的是（ ）





A．abc＞0


B．4ac﹣b2＜0


C．3a+c＞0


D．关于x的方程ax2+bx+c＝n+1无实数根


3．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（﹣1，0）和B，与y轴交于点C．下列结论：①abc＜0，②2a+b＜0，③4a﹣2b+c＞0，④3a+c＞0，其中正确的结论个数为（ ）





A．1个B．2个C．3个D．4个


4．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，下列结论：


①ac＜0；②3a+c＝0；③4ac﹣b2＜0；④当x＞﹣1时，y随x的增大而减小．


其中正确的有（ ）





A．4个B．3个C．2个D．1个


5．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，有如下结论：


①abc＞0；


②2a+b＝0；


③3b﹣2c＜0；


④am2+bm≥a+b（m为实数）．


其中正确结论的个数是（ ）





A．1个B．2个C．3个D．4个


6．如图，现要在抛物线y＝x（4﹣x）上找点P（a，b），针对b的不同取值，所找点P的个数，三人的说法如下，


甲：若b＝5，则点P的个数为0；


乙：若b＝4，则点P的个数为1；


丙：若b＝3，则点P的个数为1．


下列判断正确的是（ ）





A．乙错，丙对B．甲和乙都错C．乙对，丙错D．甲错，丙对


7．如图，直线y1＝kx与抛物线y2＝ax2+bx+c交于A、B两点，则y＝ax2+（b﹣k）x+c的图象可能是（ ）





A．B．


C．D．


8．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x＝1．给出下列结论：


①ac＜0；


②b2﹣4ac＞0；


③2a﹣b＝0；


④a﹣b+c＝0．


其中，正确的结论有（ ）





A．1个B．2个C．3个D．4个


9．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点（4，0），其对称轴为直线x＝1，结合图象给出下列结论：


①ac＜0；


②4a﹣2b+c＞0；


③当x＞2时，y随x的增大而增大；


④关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实数根．


其中正确的结论有（ ）





A．1个B．2个C．3个D．4个


10．对称轴为直线x＝1的抛物线y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，且a≠0）如图所示，小明同学得出了以下结论：①abc＜0，②b2＞4ac，③4a+2b+c＞0，④3a+c＞0，⑤a+b≤m（am+b）（m为任意实数），⑥当x＜﹣1时，y随x的增大而增大．其中结论正确的个数为（ ）





A．3B．4C．5D．6


11．二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，则下列选项错误的是（ ）





A．若（﹣2，y1），（5，y2）是图象上的两点，则y1＞y2


B．3a+c＝0


C．方程ax2+bx+c＝﹣2有两个不相等的实数根


D．当x≥0时，y随x的增大而减小


12．如图，二次函数y＝a（x+1）2+k的图象与x轴交于A（﹣3，0），B两点，下列说法错误的是（ ）





A．a＜0


B．图象的对称轴为直线x＝﹣1


C．点B的坐标为（1，0）


D．当x＜0时，y随x的增大而增大


13．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴为直线x＝﹣1，下列结论不正确的是（ ）





A．b2＞4ac


B．abc＞0


C．a﹣c＜0


D．am2+bm≥a﹣b（m为任意实数）


14．如图，正方形四个顶点的坐标依次为（1，1），（3，1），（3，3），（1，3）．若抛物线y＝ax2的图象与正方形有公共点，则实数a的取值范围是（ ）





A．≤a≤3B．≤a≤1C．≤a≤3D．≤a≤1


15．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：


①b2﹣4ac＞0；②abc＜0；③4a+b＝0；④4a﹣2b+c＞0．


其中正确结论的个数是（ ）





A．4B．3C．2D．1


16．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象与x轴交于A，B两点，与y轴正半轴交于点C，它的对称轴为直线x＝﹣1．则下列选项中正确的是（ ）





A．abc＜0


B．4ac﹣b2＞0


C．c﹣a＞0


D．当x＝﹣n2﹣2（n为实数）时，y≥c


17．抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴直线x＝﹣2．抛物线与x轴的一个交点在点（﹣4，0）和点（﹣3，0）之间，其部分图象如图所示，下列结论中正确的个数有（ ）


①4a﹣b＝0；②c≤3a；③关于x的方程ax2+bx+c＝2有两个不相等实数根；④b2+2b＞4ac．





A．1个B．2个C．3个D．4个


18．如图，抛物线y＝ax2+bx+4交y轴于点A，交过点A且平行于x轴的直线于另一点B，交x轴于C，D两点（点C在点D右边），对称轴为直线x＝，连接AC，AD，BC．若点B关于直线AC的对称点恰好落在线段OC上，下列结论中错误的是（ ）





A．点B坐标为（5，4）B．AB＝AD


C．a＝﹣D．OC•OD＝16


19．抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴是直线x＝﹣1，且过点（1，0）．顶点位于第二象限，其部分图象如图所示，给出以下判断：


①ab＞0且c＜0；


②4a﹣2b+c＞0；


③8a+c＞0；


④c＝3a﹣3b；


⑤直线y＝2x+2与抛物线y＝ax2+bx+c两个交点的横坐标分别为x1，x2，则x1+x2+x1x2＝5．


其中正确的个数有（ ）





A．5个B．4个C．3个D．2个


20．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象过点（﹣2，0），对称轴为直线x＝1．有以下结论：


①abc＞0；


②8a+c＞0；


③若A（x1，m），B（x2，m）是抛物线上的两点，当x＝x1+x2时，y＝c；


④点M，N是抛物线与x轴的两个交点，若在x轴下方的抛物线上存在一点P，使得PM⊥PN，则a的取值范围为a≥1；


⑤若方程a（x+2）（4﹣x）＝﹣2的两根为x1，x2，且x1＜x2，则﹣2≤x1＜x2＜4．


其中结论正确的有（ ）





A．2个B．3个C．4个D．5个





参考答案


1．解：由抛物线的开口向下可得：a＜0，


根据抛物线的对称轴在y轴右边可得：a，b异号，所以b＞0，


根据抛物线与y轴的交点在正半轴可得：c＞0，


∴abc＜0，故①错误；


∵抛物线与x轴有两个交点，


∴b2﹣4ac＞0，故②正确；


∵直线x＝1是抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴，所以﹣＝1，可得b＝﹣2a，


由图象可知，当x＝﹣2时，y＜0，即4a﹣2b+c＜0，


∴4a﹣2×（﹣2a）+c＜0，


即8a+c＜0，故③正确；


由图象可知，当x＝2时，y＝4a+2b+c＞0；当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＞0，


两式相加得，5a+b+2c＞0，故④正确；


∴结论正确的是②③④3个，


故选：B．


2．解：A．∵抛物线开口向下，


∴a＜0，


∵对称轴为直线x＝﹣＝﹣1，


∴b＝2a＜0，


∵抛物线与y轴交于正半轴，


∴c＞0，


∴abc＞0，


故A正确；


B．∵抛物线与x轴有两个交点，


∴b2﹣4ac＞0，即4ac﹣b2＜0，


故B正确；


C．∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，抛物线与x轴的一个交点在（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，


∴抛物线与x轴的另一个交点在（0，0）和（1，0）之间，


∴x＝1时，y＜0，


即a+b+c＜0，


∵b＝2a，


∴3a+c＜0，


故C错误；


D．∵抛物线开口向下，顶点为（﹣1，n），


∴函数有最大值n，


∴抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝n+1无交点，


∴一元二次方程ax2+bx+c＝n+1无实数根，


故D正确．


故选：C．


3．解：①∵由抛物线的开口向上知a＞0，


∵对称轴位于y轴的右侧，


∴b＜0．


∵抛物线与y轴交于负半轴，


∴c＜0，


∴abc＞0；


故错误；





②对称轴为x＝﹣＜1，得2a＞﹣b，即2a+b＞0，


故错误；





③如图，当x＝﹣2时，y＞0，4a﹣2b+c＞0，


故正确；





④∵当x＝﹣1时，y＝0，


∴0＝a﹣b+c＜a+2a+c＝3a+c，即3a+c＞0．


故正确．


综上所述，有2个结论正确．


故选：B．


4．解：①∵抛物线开口向上，且与y轴交于负半轴，


∴a＞0，c＜0，


∴ac＜0，结论①正确；


②∵抛物线对称轴为直线x＝1，


∴﹣＝1，


∴b＝﹣2a，


∵抛物线经过点（﹣1，0），


∴a﹣b+c＝0，


∴a+2a+c＝0，即3a+c＝0，结论②正确；


③∵抛物线与x轴由两个交点，


∴b2﹣4ac＞0，即4ac﹣b2＜0，结论③正确；


④∵抛物线开口向上，且抛物线对称轴为直线x＝1，


∴当x＜1时，y随x的增大而减小，结论④错误；


故选：B．


5．解：①∵对称轴在y轴右侧，


∴a、b异号，


∴ab＜0，


∵c＜0，


∴abc＞0，


故①正确；


②∵对称轴x＝﹣＝1，


∴2a+b＝0；


故②正确；


③∵2a+b＝0，


∴a＝﹣b，


∵当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＞0，


∴﹣b﹣b+c＞0，


∴3b﹣2c＜0，


故③正确；


④根据图象知，当x＝1时，y有最小值；


当m为实数时，有am2+bm+c≥a+b+c，


所以am2+bm≥a+b（m为实数）．


故④正确．


本题正确的结论有：①②③④，4个；


故选：D．


6．解：y＝x（4﹣x）＝﹣x2+4x＝﹣（x﹣2）2+4，


∴抛物线的顶点坐标为（2，4），


∴在抛物线上的点P的纵坐标最大为4，


∴甲、乙的说法正确；


若b＝3，则抛物线上纵坐标为3的点有2个，


∴丙的说法不正确；


故选：C．


7．解：设y＝y2﹣y1，


∵y1＝kx，y2＝ax2+bx+c，


∴y＝ax2+（b﹣k）x+c，


由图象可知，在点A和点B之间，y＞0，在点A的左侧或点B的右侧，y＜0，


故选项B符合题意，选项A、C、D不符合题意；


故选：B．


8．解：抛物线开口向下，a＜0，对称轴为x＝﹣＝1，因此b＞0，与y轴交于正半轴，因此c＞0，


于是有：ac＜0，因此①正确；


由x＝﹣＝1，得2a+b＝0，因此③不正确，


抛物线与x轴有两个不同交点，因此b2﹣4ac＞0，②正确，


由对称轴x＝1，抛物线与x 轴的一个交点为（3，0），对称性可知另一个交点为（﹣1，0），因此a﹣b+c＝0，故④正确，


综上所述，正确的结论有①②④，


故选：C．


9．解：抛物线开口向上，因此a＞0，与y轴交于负半轴，因此c＜0，故ac＜0，所以①正确；


抛物线对称轴为x＝1，与x轴的一个交点为（4，0），则另一个交点为（﹣2，0），于是有4a﹣2b+c＝0，所以②不正确；


x＞1时，y随x的增大而增大，所以③正确；


抛物线与x轴有两个不同交点，因此关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实数根，所以④正确；


综上所述，正确的结论有：①③④，


故选：C．


10．解：①由图象可知：a＞0，c＜0，


∵﹣＝1，


∴b＝﹣2a＜0，


∴abc＞0，故①错误；


②∵抛物线与x轴有两个交点，


∴b2﹣4ac＞0，


∴b2＞4ac，故②正确；


③当x＝2时，y＝4a+2b+c＜0，故③错误；


④当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＝a﹣（﹣2a）+c＞0，


∴3a+c＞0，故④正确；


⑤当x＝1时，y取到值最小，此时，y＝a+b+c，


而当x＝m时，y＝am2+bm+c，


所以a+b+c≤am2+bm+c，


故a+b≤am2+bm，即a+b≤m（am+b），故⑤正确，


⑥当x＜﹣1时，y随x的增大而减小，故⑥错误，


故选：A．


11．解：∵抛物线的对称轴为直线x＝1，a＜0，


∴点（﹣1，0）关于直线x＝1的对称点为（3，0），


则抛物线与x轴的另一个交点坐标为（3，0），点（﹣2，y1）与（4，y1）是对称点，


∵当x＞1时，函数y随x增大而减小，


故A选项不符合题意；


把点（﹣1，0），（3，0）代入y＝ax2+bx+c得：a﹣b+c＝0①，9a+3b+c＝0②，


①×3+②得：12a+4c＝0，


∴3a+c＝0，


故B选项不符合题意；


当y＝﹣2时，y＝ax2+bx+c＝﹣2，


由图象得：纵坐标为﹣2的点有2个，


∴方程ax2+bx+c＝﹣2有两个不相等的实数根，


故C选项不符合题意；


∵二次函数图象的对称轴为x＝1，a＜0，


∴当x≤1时，y随x的增大而增大；


当x≥1时，y随x的增大而减小；


故D选项符合题意；


故选：D．


12．解：观察图象可知a＜0，由抛物线的解析式可知对称轴x＝﹣1，


∵A（﹣3，0），A，B关于x＝﹣1对称，


∴B（1，0），


故A，B，C正确，


∵当﹣1＜x＜0时，y随x的增大而减小，


∴选项D错误．


故选：D．


13．解：由图象可得：a＞0，c＞0，△＝b2﹣4ac＞0，﹣＝﹣1，


∴b＝2a＞0，b2＞4ac，故A选项不合题意，


∴abc＞0，故B选项不合题意，


当x＝﹣1时，y＜0，


∴a﹣b+c＜0，


∴﹣a+c＜0，即a﹣c＞0，故C选项符合题意，


当x＝m时，y＝am2+bm+c，


当x＝﹣1时，y有最小值为a﹣b+c，


∴am2+bm+c≥a﹣b+c，


∴am2+bm≥a﹣b，故D选项不合题意，


故选：C．


14．解：当抛物线经过（1，3）时，a＝3，


当抛物线经过（3，1）时，a＝，


观察图象可知≤a≤3，


故选：A．


15．解：由图象知，抛物线与x轴有两个交点，


∴方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实数根，


∴b2﹣4ac＞0，故①正确，


由图象知，抛物线的对称轴直线为x＝2，


∴﹣＝2，


∴4a+b＝0，


由图象知，抛物线开口方向向下，


∴a＜0，


∵4a+b＝0，


∴b＞0，而抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上，


∴c＞0，


∴abc＜0，故②③正确，


由图象知，当x＝﹣2时，y＜0，


∴4a﹣2b+c＜0，故④错误，


即正确的结论有3个，


故选：B．


16．解：由图象开口向上，可知a＞0，


与y轴的交点在x轴的上方，可知c＞0，


又对称轴方程为x＝﹣1，所以﹣＜0，所以b＞0，


∴abc＞0，故A错误；


∵二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象与x轴交于A，B两点，


∴b2﹣4ac＞0，


∴4ac﹣b2＜0，故B错误；


∵﹣＝﹣1，


∴b＝2a，


∵当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＜0，


∴a﹣2a+c＜0，


∴c﹣a＜0，故C错误；


当x＝﹣n2﹣2（n为实数）时，y＝ax2+bx+c＝a（﹣n2﹣2）2+b（﹣n2﹣2）+c＝an2（n2+2）+c，


∵a＞0，n2≥0，n2+2＞0，


∴y＝an2（n2+2）+c≥c，故D正确，


故选：D．


17．解：∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝﹣2，


∴4a﹣b＝0，所以①正确；


∵与x轴的一个交点在（﹣3，0）和（﹣4，0）之间，


∴由抛物线的对称性知，另一个交点在（﹣1，0）和（0，0）之间，


∴x＝﹣1时y＞0，且b＝4a，


即a﹣b+c＝a﹣4a+c＝﹣3a+c＞0，


∴c＞3a，所以②错误；


∵抛物线与x轴有两个交点，且顶点为（﹣2，3），


∴抛物线与直线y＝2有两个交点，


∴关于x的方程ax2+bx+c＝2有两个不相等实数根，所以③正确；


∵抛物线的顶点坐标为（﹣2，3），


∴＝3，


∴b2+12a＝4ac，


∵4a﹣b＝0，


∴b＝4a，


∴b2+3b＝4ac，


∵a＜0，


∴b＝4a＜0，


∴b2+2b＞4ac，所以④正确；


故选：C．


18．解：∵抛物线y＝ax2+bx+4交y轴于点A，


∴A（0，4），


∵对称轴为直线x＝，AB∥x轴，


∴B（5，4）．


故A无误；


如图，过点B作BE⊥x轴于点E，





则BE＝4，AB＝5，


∵AB∥x轴，


∴∠BAC＝∠ACO，


∵点B关于直线AC的对称点恰好落在线段OC上，


∴∠ACO＝∠ACB，


∴∠BAC＝∠ACB，


∴BC＝AB＝5，


∴在Rt△BCE中，由勾股定理得：EC＝3，


∴C（8，0），


∵对称轴为直线x＝，


∴D（﹣3，0）


∵在Rt△ADO中，OA＝4，OD＝3，


∴AD＝5，


∴AB＝AD，


故B无误；


设y＝ax2+bx+4＝a（x+3）（x﹣8），


将A（0，4）代入得：4＝a（0+3）（0﹣8），


∴a＝﹣，


故C无误；


∵OC＝8，OD＝3，


∴OC•OD＝24，


故D错误．


综上，错误的只有D．


故选：D．


19．解：∵抛物线对称轴x＝﹣1，经过（1，0），


∴﹣＝﹣1，a+b+c＝0，


∴b＝2a，c＝﹣3a，


∵a＜0，


∴b＜0，c＞0，


∴ab＞0且c＞0，故①错误，


∵抛物线对称轴x＝﹣1，经过（1，0），


∴（﹣2，0）和（0，0）关于对称轴对称，


∴x＝﹣2时，y＞0，


∴4a﹣2b+c＞0，故②正确，


∵抛物线与x轴交于（﹣3，0），


∴x＝﹣4时，y＜0，


∴16a﹣4b+c＜0，


∵b＝2a，


∴16a﹣8a+c＜0，即8a+c＜0，故③错误，


∵c＝﹣3a＝3a﹣6a，b＝2a，


∴c＝3a﹣3b，故④正确，


∵直线y＝2x+2与抛物线y＝ax2+bx+c两个交点的横坐标分别为x1，x2，


∴方程ax2+（b﹣2）x+c﹣2＝0的两个根分别为x1，x2，


∴x1+x2＝﹣，x1•x2＝，


∴x1+x2+x1x2＝﹣+＝﹣+＝﹣5，故⑤错误，


故选：D．


20．解：①由图象可知：a＞0，c＜0，


＞0，


∴abc＞0，故①正确；


②∵抛物线的对称轴为直线x＝1，抛物线的对称轴为直线x＝1，


∴＝1，


∴b＝﹣2a，


当x＝﹣2时，y＝4a﹣2b+c＝0，


∴4a+4a+c＝0，


∴8a+c＝0，故②错误；


③∵A（x1，m），B（x2，m）是抛物线上的两点，


由抛物线的对称性可知：x1+x2＝1×2＝2，


∴当x＝2时，y＝4a+2b+c＝4a﹣4a+c＝c，故③正确；


④由题意可知：M，N到对称轴的距离为3，


当抛物线的顶点到x轴的距离不小于3时，


在x轴下方的抛物线上存在点P，使得PM⊥PN，


即≤﹣3，


∵8a+c＝0，


∴c＝﹣8a，


∵b＝﹣2a，


∴，


解得：a，故④错误；


⑤易知抛物线与x轴的另外一个交点坐标为（4，0），


∴y＝ax2+bx+c＝a（x+2）（x﹣4）


若方程a（x+2）（4﹣x）＝﹣2，


即方程a（x+2）（x﹣4）＝2的两根为x1，x2，


则x1、x2为抛物线与直线y＝2的两个交点的横坐标，


∵x1＜x2，


∴x1＜﹣2＜4＜x2，故⑤错误；


故选：A．