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中考数学专项练习:10.1中考数学专项练习:
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二次函数图像和性质
10.二次函数
10.1二次函数图像和性质
学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________
一、单选题
1.(2019·重庆中考真题)抛物线的对称轴是( )
A.直线 B.直线 C.直线 D.直线
2.(2016·广东中考真题)对于二次函数,下列说法正确的是( )
A.当x>0,y随x的增大而增大
B.当x=2时,y有最大值-3
C.图像的顶点坐标为(-2,-7)
D.图像与x轴有两个交点
3.(2018·黑龙江中考真题)将抛物线y=﹣5x2+1向左平移1个单位长度,再向下平移2个单位长度,所得到的抛物线为( )
A.y=﹣5(x+1)2﹣1 B.y=﹣5(x﹣1)2﹣1 C.y=﹣5(x+1)2+3 D.y=﹣5(x﹣1)2+3
4.(2016·湖南中考真题)在同一平面直角坐标系中,函数y=ax+b与y=ax2﹣bx的图象可能是( )
A. B. C. D.
5.(2011·重庆中考真题)(2011•重庆)已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)在平面直角坐标系中的位置如图所示,则下列结论中,正确的是( )
A.a>0 B.b<0 C.c<0 D.a+b+c>0
6.(2019·浙江中考真题)在平面直角坐标系中,抛物线经过变换后得到抛物线,则这个变换可以是( )
A.向左平移2个单位 B.向右平移2个单位
C.向左平移8个单位 D.向右平移8个单位
7.(2019·浙江中考真题)二次函数图象的顶点坐标是( )
A. B. C. D.
8.(2018·山西中考真题)用配方法将二次函数y=x2﹣8x﹣9化为y=a(x﹣h)2+k的形式为( )
A.y=(x﹣4)2+7 B.y=(x﹣4)2﹣25 C.y=(x+4)2+7 D.y=(x+4)2﹣25
9.(2013·福建中考真题)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图,下列结论正确的是( )
A.a<0 B.b2-4ac<0 C.当-10 D.-=1
10.(2013·四川中考真题)将抛物线向左平移1个单位,再向下平移3个单位后所得抛物线的解析式为( )
A. B. C. D.
11.(2012·甘肃中考真题)抛物线y=(x+2)2﹣3可以由抛物线y=x2平移得到,则下列平移过程正确的是( )
A.先向左平移2个单位,再向上平移3个单位 B.先向左平移2个单位,再向下平移3个单位
C.先向右平移2个单位,再向下平移3个单位 D.先向右平移2个单位,再向上平移3个单位
12.(2012·山东中考真题)设A,B,C是抛物线上的三点,则,,的大小关系为( )
A. B. C. D.
13.(2018·贵州中考真题)将抛物线y=x2向左平移2个单位,再向下平移5个单位,平移后所得新抛物线的表达式为( )
A.y=(x+2)2﹣5 B.y=(x+2)2+5 C.y=(x﹣2)2﹣5 D.y=(x﹣2)2+5
14.(2016·上海中考真题)如果将抛物线向下平移1个单位,那么所得新抛物线的表达式是
A. B. C. D.
15.(2014·四川中考真题)将二次函数y=x2﹣2x+3化为y=(x﹣h)2+k的形式,结果为( )
A.y=(x+1)2+4 B.y=(x﹣1)2+4
C.y=(x+1)2+2 D.y=(x﹣1)2+2
16.(2019·山东中考真题)已知抛物线y=-x2+1,下列结论:
①抛物线开口向上;
②抛物线与x轴交于点(-1,0)和点(1,0);
③抛物线的对称轴是y轴;
④抛物线的顶点坐标是(0,1);
⑤抛物线y=-x2+1是由抛物线y=-x2向上平移1个单位得到的.
其中正确的个数有( )
A.5个 B.4个 C.3个
D.2个
17.(2013·贵州中考真题)如图所示,二次函数y=ax2+bx+c的图象中,王刚同学观察得出了下面四条信息:(1)b2﹣4ac>0;(2)c>1;(3)2a﹣b<0;(4)a+b+c<0,其中错误的有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
二、填空题
18.(2017·广东中考真题)当 __________时,二次函数 有最小值___________.
19.(2019·湖北中考真题)二次函数的最大值是__________.
20.(2019·江苏中考真题)某个函数具有性质:当>0时,随的增大而增大,这个函数的表达式可以是____(只要写出一个符合题意的答案即可)
21.(2016·河南中考真题)已知A(0,3),B(2,3)是抛物线上两点,该抛物线的顶点坐标是_________.
22.(2015·浙江中考真题)函数y=x2+2x+1,当y=0时,x=_______________;当1<x<2时,y随x的增大而_____________(填写“增大”或“减小”)
23.(2015·江苏中考真题)二次函数图象的顶点坐标为 .
24.(2019·四川中考真题)将抛物线向左平移_______个单位后经过点.
三、解答题
25.(2019·浙江中考真题)已知函数(,为常数)的图象经过点.
(1)求,满足的关系式;
(2)设该函数图象的顶点坐标是,当的值变化时,求关于的函数解析式;
(3)若该函数的图象不经过第三象限,当时,函数的最大值与最小值之差为16,求的值.
26.(2019·浙江中考真题)已知抛物线与轴有两个不同的交点.
(1)求的取值范围;
(2)若抛物线经过点和点,试比较与的大小,并说明理由.
27.(2018·江苏中考真题)已知二次函数的图象以A(﹣1,4)为顶点,且过点B(2,﹣5)
(1)求该函数的关系式;
(2)求该函数图象与坐标轴的交点坐标;
(3)将该函数图象向右平移,当图象经过原点时,A、B两点随图象移至A′、B′,求△O A′B′的面积.
28.(2019·吉林中考真题)如图,抛物线与x轴相交于两点(点在点的左侧),与轴相交于点.为抛物线上一点,横坐标为,且.
⑴求此抛物线的解析式;
⑵当点位于轴下方时,求面积的最大值;
⑶设此抛物线在点与点之间部分(含点和点)最高点与最低点的纵坐标之差为.
①求关于的函数解析式,并写出自变量的取值范围;
②当时,直接写出的面积.
29.(2019·内蒙古中考真题)如图,直线与轴、轴分别交于两点,抛物线经过点,与轴另一交点为,顶点为.
(1)求抛物线的解析式;
(2)在轴上找一点,使的值最小,求的最小值;
(3)在抛物线的对称轴上是否存在一点,使得?若存在,求出点坐标;若不存在,请说明理由.
30.(2013·黑龙江中考真题)如图,已知二次函数y=x2+bx+c过点A(1,0),C(0,﹣3)
(1)求此二次函数的解析式;
(2)在抛物线上存在一点P使△ABP的面积为10,请直接写出点P的坐标.
参考答案
1.C
【解析】
【分析】
将抛物线的一般式配方成为顶点式,可确定顶点坐标及对称轴.
【详解】
解:∵,
∴抛物线顶点坐标为,对称轴为.
故选:C.
【点睛】
本题考查了二次函数的性质.抛物线的顶点坐标为(h,k),对称轴为x=h.
2.B
【解析】
试题分析:二次函数,所以二次函数的开口向下,当x<2,y随x的增大而增大,选项A错误;当x=2时,取得最大值,最大值为-3,选项B正确;顶点坐标为(2,-3),选项C错误;顶点坐标为(2,-3),抛物线开口向下可得抛物线与x轴没有交点,选项D错误,故答案选B.
考点:二次函数的性质.
3.A
【解析】
分析:直接利用二次函数图象与几何变换的性质分别平移得出答案.
详解:将抛物线y=-5x2+1向左平移1个单位长度,得到y=-5(x+1)2+1,再向下平移2个单位长度,
所得到的抛物线为:y=-5(x+1)2-1.
故选A.
点睛:此题主要考查了二次函数图象与几何变换,正确记忆平移规律是解题关键.
4.C
【解析】
试题分析:选项A:一次函数图像经过一、二、三象限,因此a>0,b>0,对于二次函数y=ax2﹣bx图像应该开口向上,对称轴在y轴右侧,不合题意,此选项错误;选项B:一次函数图像经过一、二、四象限,因此a<0,b>0,对于二次函数y=ax2﹣bx图像应该开口向下,对称轴在y轴左侧,不合题意,此选项错误;
选项C:一次函数图像经过一、二、三象限,因此a>0,b>0,对于二次函数y=ax2﹣bx图像应该开口向上,对称轴在y轴右侧,符合题意,此选项正确;选项D:一次函数图像经过一、二、三象限,因此a>0,b>0,对于二次函数y=ax2﹣bx图像应该开口向上,对称轴在y轴右侧,不合题意,此选项错误.故选C.
考点:1一次函数图像;2二次函数图像.
5.D
【解析】
∵抛物线的开口向下,
∴a<0;
又∵抛物线的对称轴在y轴的右侧,
∴a,b异号,
∴b>0;
又∵抛物线与y轴的交点在x轴上方,
∴c>0,
又x=1,对应的函数值在x轴上方,
即x=1,y=ax2+bx+c=a+b+c>0;
所以A,B,C选项都错,D选项正确.
故选D.
6.B
【解析】
【分析】
根据变换前后的两抛物线的顶点坐标找变换规律.
【详解】
y=(x+5)(x-3)=(x+1)2-16,顶点坐标是(-1,-16).
y=(x+3)(x-5)=(x-1)2-16,顶点坐标是(1,-16).
所以将抛物线y=(x+5)(x-3)向右平移2个单位长度得到抛物线y=(x+3)(x-5),
故选B.
【点睛】
此题主要考查了次函数图象与几何变换,要求熟练掌握平移的规律:左加右减,上加下减.
7.A
【解析】
【分析】
根据二次函数顶点式即可得出顶点坐标.
【详解】
∵,
∴二次函数图像顶点坐标为:.
故答案为:A.
【点睛】
本题主要考查二次函数的性质,掌握二次函数的顶点式是解题的关键,即在y=a(x-h)2+k中,对称轴为x=h,顶点坐标为(h,k).
8.B
【解析】
【分析】
直接利用配方法进而将原式变形得出答案.
【详解】
y=x2-8x-9
=x2-8x+16-25
=(x-4)2-25.
故选B.
【点睛】
此题主要考查了二次函数的三种形式,正确配方是解题关键.
9.D
【解析】
试题分析:根据二次函数的图象和性质进行判断即可.
解:∵抛物线开口向上,
∴
∴A选项错误,
∵抛物线与x轴有两个交点,
∴
∴B选项错误,
由图象可知,当-1
∴C选项错误,
由抛物线的轴对称性及与x轴的两个交点分别为(-1,0)和(3,0)可知对称轴为
即-=1,
∴D选项正确,
故选D.
10.D
【解析】
根据“左加右减、上加下减”的原则,
将抛物线向左平移1个单位所得直线解析式为:;
再向下平移3个单位为:.故选D.
11.B
【解析】
根据“左加右减,上加下减”的原则进行解答即可:
∵y=x2,
∴平移过程为:先向左平移2个单位,再向下平移3个单位.故选B.
12.A
【解析】
【详解】
∵函数的解析式是,如图,
∴对称轴是,
∴点A关于对称轴的点A′是,
那么点A′、B、C都在对称轴的右边,而对称轴右边随的增大而减小,
∴于是,
故选A.
13.A
【解析】
【分析】
直接根据“上加下减,左加右减”的原则进行解答即可.
【详解】
抛物线y=x2的顶点坐标为(0,0),
先向左平移2个单位再向下平移5个单位后的抛物线的顶点坐标为(﹣2,﹣5),
所以,平移后的抛物线的解析式为y=(x+2)2﹣5.
故选:A.
【点睛】
本题考查了二次函数的图象与几何变换,熟知函数图象平移的法则是解答本题的关键.
14.C
【解析】
【分析】
根据向下平移,纵坐标相减,即可得到答案.
【详解】
∵抛物线y=x2+2向下平移1个单位,
∴抛物线的解析式为y=x2+2-1,即y=x2+1.
故选C.
15.D
【解析】
试题分析:本题是将一般式化为顶点式,由于二次项系数是1,只需加上一次项系数的一半的平方来凑成完全平方式即可得y=x2﹣2x+3=x2﹣2x+1﹣1+3=(x﹣1)2+2.
故选D.
考点:二次函数的三种形式
16.B
【解析】
【分析】
根据a确定抛物线的开口方向;令y=0解方程得到与x轴的交点坐标;根据抛物线的对称轴、顶点坐标以及平移的性质,对各小题分析判断后即可得解.
【详解】
①∵a=-1<0,∴抛物线开口向下,故本小题错误;
②令y=0,则-x2+1=0,解得x1=1,x2=-1,所以,抛物线与x轴交于点(-1,0)和点(1,0),故本小题正确;
③抛物线的对称轴=0,是y轴,故本小题正确;
④抛物线的顶点坐标是(0,1),故本小题正确;
⑤抛物线y=-x2+1是由抛物线y=-x2向上平移1个单位得到,故本小题正确;
综上所述,正确的有②③④⑤共4个.
故选B.
【点睛】
本题考查了二次函数的性质,理解二次函数图象与系数关系是关键.
17.A
【解析】
试题解析:(1)根据图示知,该函数图象与x轴有两个交点,
∴△=b2-4ac>0;
故本选项正确;
(2)由图象知,该函数图象与y轴的交点在点(0,1)以下,
∴c<1;
故本选项错误;
(3)由图示,知
对称轴x=->-1;
又函数图象的开口方向向下,
∴a<0,
∴-b<-2a,即2a-b<0,
故本选项正确;
(4)根据图示可知,当x=1,即y=a+b+c<0,
∴a+b+c<0;
故本选项正确;
故选A.
18.1 5
【解析】
二次函数配方,得:,所以,当x=1时,y有最小值5,
故答案为1,5.
19.7
【解析】
【分析】
将二次函数化为顶点式,即可求解.
【详解】
解:,
即二次函数的最大值是7,
故答案为:7.
【点睛】
本题考查的是二次函数的最大值,熟练掌握配方法求二次函数的最值是解题的关键.
20.
【解析】
【分析】
根据一次函数的性质、反比例函数的性质、二次函数的性质写出一个满足条件的函数即可.
【详解】
某个函数具有性质:当>0时,随的增大而增大,这个函数的表达式可以是,
故答案为:(答案不唯一).
【点睛】
本题考查了函数的性质,熟练掌握一次函数的性质、反比例函数的性质、二次函数的性质是解本题的关键.
21.(1,4).
【解析】
试题分析:把A(0,3),B(2,3)代入抛物线可得b=2,c=3,所以=,即可得该抛物线的顶点坐标是(1,4).
考点:抛物线的顶点.
22.-1 增大
【解析】
试题分析:将y=0代入函数,求出一元二次方程的解;对于开口向上的函数,当x>对称轴时,y随x的增大而增大,当x<对称轴时,y随x的增大而减小.当y=0时,即+2x+1=0,解得:x=-1;根据函数解析式可得函数的对称轴为直线x=-1,则当1<x<2时,y随x的增大而增大.
考点:二次函数的性质.
23.(1,2).
【解析】
试题分析:∵=,∴抛物线顶点坐标为(1,2).故答案为(1,2).
考点:二次函数的性质.
24.3
【解析】
【分析】
直接利用二次函数的平移规律结合二次函数图象上点的性质进而得出答案.
【详解】
解:∵将抛物线向左平移后经过点,
∴设平移后解析式为:,
则,
解得:或(不合题意舍去),
故将抛物线向左平移3个单位后经过点.
故答案为:3.
【点睛】
考查了二次函数图象与几何变换,正确记忆平移规律是解题关键.
25.(1)c=2b(2)(3)2或6
【解析】
【分析】
(1)把点代入函数即可得到结论;
(2)根据顶点坐标即可求解;
(3)把函数化为,根据图像不经过第三象限进行分类讨论进行求解.
【详解】
(1)将点代入,
得,
∴;
(2),,
∴,
∴,
(3),
对称轴,
当时,,函数不经过第三象限,则;
此时,当时,函数最小值是0,最大值是25,
∴最大值与最小值之差为25;(舍去)
当时,,函数不经过第三象限,则,
∴,
∴,
当时,函数有最小值,
当时,函数有最大值,
当时,函数有最大值;
函数的最大值与最小值之差为16,
当最大值时,,
∴或,
∵,
∴;
当最大值时,,
∴或,
∵,
∴;
综上所述或;
【点睛】
此题主要考查二次函数综合,解题的关键是熟知二次函数的图像与性质.
26.(1) 的取值范围是; (2). 理由见解析.
【解析】
【分析】
(1)由二次函数与x轴交点情况,可知△>0;
(2)求出抛物线对称轴为直线x=1,由于A(2,m)和点B(3,n)都在对称轴的右侧,即可求解;
【详解】
(1).
由题意,得,
∴
∴的取值范围是.
(2). 理由如下:
∵抛物线的对称轴为直线,
又∵,
∴当时,随的增大而增大.
∵,∴.
【点睛】
本题考查二次函数图象及性质;熟练掌握二次函数对称轴,函数图象的增减性是解题的关键.
27.(1)y=﹣x2﹣2x+3;(2)抛物线与y轴的交点为:(0,3);与x轴的交点为:(﹣3,0),(1,0);(3)15.
【解析】
【分析】
(1)已知了抛物线的顶点坐标,可用顶点式设该二次函数的解析式,然后将B点坐标代入,即可求出二次函数的解析式;
(2)根据函数解析式,令x=0,可求得抛物线与y轴的交点坐标;令y=0,可求得抛物线与x轴交点坐标;
(3)由(2)可知:抛物线与x轴的交点分别在原点两侧,由此可求出当抛物线与x轴负半轴的交点平移到原点时,抛物线平移的单位,由此可求出A′、B′的坐标.由于△OA′B′不规则,可用面积割补法求出△OA′B′的面积.
【详解】
解:(1)设抛物线顶点式y=a(x+1)2+4,
将B(2,﹣5)代入得:a=﹣1,
∴该函数的解析式为:y=﹣(x+1)2+4=﹣x2﹣2x+3;
(2)令x=0,得y=3,因此抛物线与y轴的交点为:(0,3),
令y=0,﹣x2﹣2x+3=0,解得:x1=﹣3,x2=1,
即抛物线与x轴的交点为:(﹣3,0),(1,0);
(3)设抛物线与x轴的交点为M、N(M在N的左侧),
由(2)知:M(﹣3,0),N(1,0),
当函数图象向右平移经过原点时,M与O重合,因此抛物线向右平移了3个单位,
故A'(2,4),B'(5,﹣5),
∴S△OA′B′=×(2+5)×9﹣×2×4﹣×5×5=15.
【点睛】
本题考查了用待定系数法求抛物线解析式、函数图象与坐标轴交点、图形面积的求法等知识.熟练掌握待定系数法、函数图象与坐标轴的交点的求解方法、不规则图形的面积的求解方法等是解题的关键.
28.(1);(2)8;(3)①(),(),();②6.
【解析】
【分析】
(1)将点C(0,-3)代入y=(x-1)2+k即可;
(2)易求A(-1,0),B(3,0),抛物线顶点为(1,-4),当P位于抛物线顶点时,△ABP的面积有最大值;
(3)①当0<m≤1时,h=-3-(m2-2m-3)=-m2+2m;当1<m≤2时,h=-1-(-4)=1;当m>2时,h=m2-2m-3-(-4)=m2-2m+1;
②当h=9时若-m2+2m=9,此时△<0,m无解;若m2-2m+1=9,则m=4,则P(4,5),△BCP的面积=(4+1)×3=6;
【详解】
解:(1)因为抛物线与轴交于点,
把代入,得
,
解得,
所以此抛物线的解析式为,
即;
(2)令,得,
解得,
所以,
所以;
解法一:
由(1)知,抛物线顶点坐标为,
由题意,当点位于抛物线顶点时,的面积有最大值,
最大值为;
解法二
由题意,得,
所以
,
所以当时,有最大值8;
(3)①当时,;
当时,;
当时,;
②当h=9时
若-m2+2m=9,此时△<0,m无解;
若m2-2m+1=9,则m=4,
∴P(4,5),
∵B(3,0),C(0,-3),
∴△BCP的面积=(4+1)×3=6;
【点睛】
本题考查二次函数的图象及性质,是二次函数综合题;熟练掌握二次函数的性质,数形结合,分类讨论是解题的关键.
29.(1);(2);(3)或.
【解析】
【分析】
由于抛物线的解析式中只有两个待定系数,因此将B、C两点的坐标代入抛物线中即可求出抛物线的解析式.
作点关于轴的对称点,连接交轴于点,则此时为最小,再将的坐标代入一次函数表达式即可解得
分别求出点P在x轴的位置即可.
【详解】
解:(1)直线与轴、轴分别交于两点,则点的坐标分别为,
将点的坐标代入二次函数表达式得:,解得:,
故函数的表达式为:,
令,则或3,故点;
(2)如图1,作点关于轴的对称点,连接交轴于点,则此时为最小,
函数顶点坐标为,点,
将的坐标代入一次函数表达式并解得:
直线的表达式为:,
当时, ,
故点;
(3)①当点在轴上方时,如下图2,
∵,则,
过点作,设,
则,
由勾股定理得:,
,解得: (负值已舍去),
则,
则;
②当点在轴下方时,
则;
故点的坐标为或.
【点睛】
本题考查二次函数,熟练掌握二次函数的运算法则是解题关键.
30.(1)二次函数的解析式为y=x2+2x﹣3.
(2)P(﹣4,5)(2,5).
【解析】
试题分析:(1)根据曲线上点的坐标与方程的关系,把A(1,0),C(0,﹣3)代入)二次函数y=x2+bx+c中,求出b、c的值,即可得到函数解析式是y=x2+2x﹣3.
∵二次函数y=x2+bx+c过点A(1,0),C(0,﹣3),
∴,解得.
∴二次函数的解析式为y=x2+2x﹣3.
(2)求出A、B两点坐标,得到AB的长,再设P(m,n),根据△ABP的面积为10可以计算出n的值,然后再利用二次函数解析式计算出m的值即可得到P点坐标:
∵当y=0时,x2+2x﹣3=0,解得:x1=﹣3,x2=1.
∴A(1,0),B(﹣3,0).∴AB=4.
设P(m,n),
∵△ABP的面积为10,∴AB•|n|=10,解得:n=±5.
当n=5时,m2+2m﹣3=5,解得:m=﹣4或2.
∴P(﹣4,5)(2,5).
当n=﹣5时,m2+2m﹣3=﹣5,方程无解.
∴P(﹣4,5)(2,5).
10.二次函数
10.1二次函数图像和性质
学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________
一、单选题
1.(2019·重庆中考真题)抛物线的对称轴是( )
A.直线 B.直线 C.直线 D.直线
2.(2016·广东中考真题)对于二次函数,下列说法正确的是( )
A.当x>0,y随x的增大而增大
B.当x=2时,y有最大值-3
C.图像的顶点坐标为(-2,-7)
D.图像与x轴有两个交点
3.(2018·黑龙江中考真题)将抛物线y=﹣5x2+1向左平移1个单位长度,再向下平移2个单位长度,所得到的抛物线为( )
A.y=﹣5(x+1)2﹣1 B.y=﹣5(x﹣1)2﹣1 C.y=﹣5(x+1)2+3 D.y=﹣5(x﹣1)2+3
4.(2016·湖南中考真题)在同一平面直角坐标系中,函数y=ax+b与y=ax2﹣bx的图象可能是( )
A. B. C. D.
5.(2011·重庆中考真题)(2011•重庆)已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)在平面直角坐标系中的位置如图所示,则下列结论中,正确的是( )
A.a>0 B.b<0 C.c<0 D.a+b+c>0
6.(2019·浙江中考真题)在平面直角坐标系中,抛物线经过变换后得到抛物线,则这个变换可以是( )
A.向左平移2个单位 B.向右平移2个单位
C.向左平移8个单位 D.向右平移8个单位
7.(2019·浙江中考真题)二次函数图象的顶点坐标是( )
A. B. C. D.
8.(2018·山西中考真题)用配方法将二次函数y=x2﹣8x﹣9化为y=a(x﹣h)2+k的形式为( )
A.y=(x﹣4)2+7 B.y=(x﹣4)2﹣25 C.y=(x+4)2+7 D.y=(x+4)2﹣25
9.(2013·福建中考真题)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图,下列结论正确的是( )
A.a<0 B.b2-4ac<0 C.当-1
10.(2013·四川中考真题)将抛物线向左平移1个单位,再向下平移3个单位后所得抛物线的解析式为( )
A. B. C. D.
11.(2012·甘肃中考真题)抛物线y=(x+2)2﹣3可以由抛物线y=x2平移得到,则下列平移过程正确的是( )
A.先向左平移2个单位,再向上平移3个单位 B.先向左平移2个单位,再向下平移3个单位
C.先向右平移2个单位,再向下平移3个单位 D.先向右平移2个单位,再向上平移3个单位
12.(2012·山东中考真题)设A,B,C是抛物线上的三点,则,,的大小关系为( )
A. B. C. D.
13.(2018·贵州中考真题)将抛物线y=x2向左平移2个单位,再向下平移5个单位,平移后所得新抛物线的表达式为( )
A.y=(x+2)2﹣5 B.y=(x+2)2+5 C.y=(x﹣2)2﹣5 D.y=(x﹣2)2+5
14.(2016·上海中考真题)如果将抛物线向下平移1个单位,那么所得新抛物线的表达式是
A. B. C. D.
15.(2014·四川中考真题)将二次函数y=x2﹣2x+3化为y=(x﹣h)2+k的形式,结果为( )
A.y=(x+1)2+4 B.y=(x﹣1)2+4
C.y=(x+1)2+2 D.y=(x﹣1)2+2
16.(2019·山东中考真题)已知抛物线y=-x2+1,下列结论:
①抛物线开口向上;
②抛物线与x轴交于点(-1,0)和点(1,0);
③抛物线的对称轴是y轴;
④抛物线的顶点坐标是(0,1);
⑤抛物线y=-x2+1是由抛物线y=-x2向上平移1个单位得到的.
其中正确的个数有( )
A.5个 B.4个 C.3个
D.2个
17.(2013·贵州中考真题)如图所示,二次函数y=ax2+bx+c的图象中,王刚同学观察得出了下面四条信息:(1)b2﹣4ac>0;(2)c>1;(3)2a﹣b<0;(4)a+b+c<0,其中错误的有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
二、填空题
18.(2017·广东中考真题)当 __________时,二次函数 有最小值___________.
19.(2019·湖北中考真题)二次函数的最大值是__________.
20.(2019·江苏中考真题)某个函数具有性质:当>0时,随的增大而增大,这个函数的表达式可以是____(只要写出一个符合题意的答案即可)
21.(2016·河南中考真题)已知A(0,3),B(2,3)是抛物线上两点,该抛物线的顶点坐标是_________.
22.(2015·浙江中考真题)函数y=x2+2x+1,当y=0时,x=_______________;当1<x<2时,y随x的增大而_____________(填写“增大”或“减小”)
23.(2015·江苏中考真题)二次函数图象的顶点坐标为 .
24.(2019·四川中考真题)将抛物线向左平移_______个单位后经过点.
三、解答题
25.(2019·浙江中考真题)已知函数(,为常数)的图象经过点.
(1)求,满足的关系式;
(2)设该函数图象的顶点坐标是,当的值变化时,求关于的函数解析式;
(3)若该函数的图象不经过第三象限,当时,函数的最大值与最小值之差为16,求的值.
26.(2019·浙江中考真题)已知抛物线与轴有两个不同的交点.
(1)求的取值范围;
(2)若抛物线经过点和点,试比较与的大小,并说明理由.
27.(2018·江苏中考真题)已知二次函数的图象以A(﹣1,4)为顶点,且过点B(2,﹣5)
(1)求该函数的关系式;
(2)求该函数图象与坐标轴的交点坐标;
(3)将该函数图象向右平移,当图象经过原点时,A、B两点随图象移至A′、B′,求△O A′B′的面积.
28.(2019·吉林中考真题)如图,抛物线与x轴相交于两点(点在点的左侧),与轴相交于点.为抛物线上一点,横坐标为,且.
⑴求此抛物线的解析式;
⑵当点位于轴下方时,求面积的最大值;
⑶设此抛物线在点与点之间部分(含点和点)最高点与最低点的纵坐标之差为.
①求关于的函数解析式,并写出自变量的取值范围;
②当时,直接写出的面积.
29.(2019·内蒙古中考真题)如图,直线与轴、轴分别交于两点,抛物线经过点,与轴另一交点为,顶点为.
(1)求抛物线的解析式;
(2)在轴上找一点,使的值最小,求的最小值;
(3)在抛物线的对称轴上是否存在一点,使得?若存在,求出点坐标;若不存在,请说明理由.
30.(2013·黑龙江中考真题)如图,已知二次函数y=x2+bx+c过点A(1,0),C(0,﹣3)
(1)求此二次函数的解析式;
(2)在抛物线上存在一点P使△ABP的面积为10,请直接写出点P的坐标.
参考答案
1.C
【解析】
【分析】
将抛物线的一般式配方成为顶点式,可确定顶点坐标及对称轴.
【详解】
解:∵,
∴抛物线顶点坐标为,对称轴为.
故选:C.
【点睛】
本题考查了二次函数的性质.抛物线的顶点坐标为(h,k),对称轴为x=h.
2.B
【解析】
试题分析:二次函数,所以二次函数的开口向下,当x<2,y随x的增大而增大,选项A错误;当x=2时,取得最大值,最大值为-3,选项B正确;顶点坐标为(2,-3),选项C错误;顶点坐标为(2,-3),抛物线开口向下可得抛物线与x轴没有交点,选项D错误,故答案选B.
考点:二次函数的性质.
3.A
【解析】
分析:直接利用二次函数图象与几何变换的性质分别平移得出答案.
详解:将抛物线y=-5x2+1向左平移1个单位长度,得到y=-5(x+1)2+1,再向下平移2个单位长度,
所得到的抛物线为:y=-5(x+1)2-1.
故选A.
点睛:此题主要考查了二次函数图象与几何变换,正确记忆平移规律是解题关键.
4.C
【解析】
试题分析:选项A:一次函数图像经过一、二、三象限,因此a>0,b>0,对于二次函数y=ax2﹣bx图像应该开口向上,对称轴在y轴右侧,不合题意,此选项错误;选项B:一次函数图像经过一、二、四象限,因此a<0,b>0,对于二次函数y=ax2﹣bx图像应该开口向下,对称轴在y轴左侧,不合题意,此选项错误;
选项C:一次函数图像经过一、二、三象限,因此a>0,b>0,对于二次函数y=ax2﹣bx图像应该开口向上,对称轴在y轴右侧,符合题意,此选项正确;选项D:一次函数图像经过一、二、三象限,因此a>0,b>0,对于二次函数y=ax2﹣bx图像应该开口向上,对称轴在y轴右侧,不合题意,此选项错误.故选C.
考点:1一次函数图像;2二次函数图像.
5.D
【解析】
∵抛物线的开口向下,
∴a<0;
又∵抛物线的对称轴在y轴的右侧,
∴a,b异号,
∴b>0;
又∵抛物线与y轴的交点在x轴上方,
∴c>0,
又x=1,对应的函数值在x轴上方,
即x=1,y=ax2+bx+c=a+b+c>0;
所以A,B,C选项都错,D选项正确.
故选D.
6.B
【解析】
【分析】
根据变换前后的两抛物线的顶点坐标找变换规律.
【详解】
y=(x+5)(x-3)=(x+1)2-16,顶点坐标是(-1,-16).
y=(x+3)(x-5)=(x-1)2-16,顶点坐标是(1,-16).
所以将抛物线y=(x+5)(x-3)向右平移2个单位长度得到抛物线y=(x+3)(x-5),
故选B.
【点睛】
此题主要考查了次函数图象与几何变换,要求熟练掌握平移的规律:左加右减,上加下减.
7.A
【解析】
【分析】
根据二次函数顶点式即可得出顶点坐标.
【详解】
∵,
∴二次函数图像顶点坐标为:.
故答案为:A.
【点睛】
本题主要考查二次函数的性质,掌握二次函数的顶点式是解题的关键,即在y=a(x-h)2+k中,对称轴为x=h,顶点坐标为(h,k).
8.B
【解析】
【分析】
直接利用配方法进而将原式变形得出答案.
【详解】
y=x2-8x-9
=x2-8x+16-25
=(x-4)2-25.
故选B.
【点睛】
此题主要考查了二次函数的三种形式,正确配方是解题关键.
9.D
【解析】
试题分析:根据二次函数的图象和性质进行判断即可.
解:∵抛物线开口向上,
∴
∴A选项错误,
∵抛物线与x轴有两个交点,
∴
∴B选项错误,
由图象可知,当-1
由抛物线的轴对称性及与x轴的两个交点分别为(-1,0)和(3,0)可知对称轴为
即-=1,
∴D选项正确,
故选D.
10.D
【解析】
根据“左加右减、上加下减”的原则,
将抛物线向左平移1个单位所得直线解析式为:;
再向下平移3个单位为:.故选D.
11.B
【解析】
根据“左加右减,上加下减”的原则进行解答即可:
∵y=x2,
∴平移过程为:先向左平移2个单位,再向下平移3个单位.故选B.
12.A
【解析】
【详解】
∵函数的解析式是,如图,
∴对称轴是,
∴点A关于对称轴的点A′是,
那么点A′、B、C都在对称轴的右边,而对称轴右边随的增大而减小,
∴于是,
故选A.
13.A
【解析】
【分析】
直接根据“上加下减,左加右减”的原则进行解答即可.
【详解】
抛物线y=x2的顶点坐标为(0,0),
先向左平移2个单位再向下平移5个单位后的抛物线的顶点坐标为(﹣2,﹣5),
所以,平移后的抛物线的解析式为y=(x+2)2﹣5.
故选:A.
【点睛】
本题考查了二次函数的图象与几何变换,熟知函数图象平移的法则是解答本题的关键.
14.C
【解析】
【分析】
根据向下平移,纵坐标相减,即可得到答案.
【详解】
∵抛物线y=x2+2向下平移1个单位,
∴抛物线的解析式为y=x2+2-1,即y=x2+1.
故选C.
15.D
【解析】
试题分析:本题是将一般式化为顶点式,由于二次项系数是1,只需加上一次项系数的一半的平方来凑成完全平方式即可得y=x2﹣2x+3=x2﹣2x+1﹣1+3=(x﹣1)2+2.
故选D.
考点:二次函数的三种形式
16.B
【解析】
【分析】
根据a确定抛物线的开口方向;令y=0解方程得到与x轴的交点坐标;根据抛物线的对称轴、顶点坐标以及平移的性质,对各小题分析判断后即可得解.
【详解】
①∵a=-1<0,∴抛物线开口向下,故本小题错误;
②令y=0,则-x2+1=0,解得x1=1,x2=-1,所以,抛物线与x轴交于点(-1,0)和点(1,0),故本小题正确;
③抛物线的对称轴=0,是y轴,故本小题正确;
④抛物线的顶点坐标是(0,1),故本小题正确;
⑤抛物线y=-x2+1是由抛物线y=-x2向上平移1个单位得到,故本小题正确;
综上所述,正确的有②③④⑤共4个.
故选B.
【点睛】
本题考查了二次函数的性质,理解二次函数图象与系数关系是关键.
17.A
【解析】
试题解析:(1)根据图示知,该函数图象与x轴有两个交点,
∴△=b2-4ac>0;
故本选项正确;
(2)由图象知,该函数图象与y轴的交点在点(0,1)以下,
∴c<1;
故本选项错误;
(3)由图示,知
对称轴x=->-1;
又函数图象的开口方向向下,
∴a<0,
∴-b<-2a,即2a-b<0,
故本选项正确;
(4)根据图示可知,当x=1,即y=a+b+c<0,
∴a+b+c<0;
故本选项正确;
故选A.
18.1 5
【解析】
二次函数配方,得:,所以,当x=1时,y有最小值5,
故答案为1,5.
19.7
【解析】
【分析】
将二次函数化为顶点式,即可求解.
【详解】
解:,
即二次函数的最大值是7,
故答案为:7.
【点睛】
本题考查的是二次函数的最大值,熟练掌握配方法求二次函数的最值是解题的关键.
20.
【解析】
【分析】
根据一次函数的性质、反比例函数的性质、二次函数的性质写出一个满足条件的函数即可.
【详解】
某个函数具有性质:当>0时,随的增大而增大,这个函数的表达式可以是,
故答案为:(答案不唯一).
【点睛】
本题考查了函数的性质,熟练掌握一次函数的性质、反比例函数的性质、二次函数的性质是解本题的关键.
21.(1,4).
【解析】
试题分析:把A(0,3),B(2,3)代入抛物线可得b=2,c=3,所以=,即可得该抛物线的顶点坐标是(1,4).
考点:抛物线的顶点.
22.-1 增大
【解析】
试题分析:将y=0代入函数,求出一元二次方程的解;对于开口向上的函数,当x>对称轴时,y随x的增大而增大,当x<对称轴时,y随x的增大而减小.当y=0时,即+2x+1=0,解得:x=-1;根据函数解析式可得函数的对称轴为直线x=-1,则当1<x<2时,y随x的增大而增大.
考点:二次函数的性质.
23.(1,2).
【解析】
试题分析:∵=,∴抛物线顶点坐标为(1,2).故答案为(1,2).
考点:二次函数的性质.
24.3
【解析】
【分析】
直接利用二次函数的平移规律结合二次函数图象上点的性质进而得出答案.
【详解】
解:∵将抛物线向左平移后经过点,
∴设平移后解析式为:,
则,
解得:或(不合题意舍去),
故将抛物线向左平移3个单位后经过点.
故答案为:3.
【点睛】
考查了二次函数图象与几何变换,正确记忆平移规律是解题关键.
25.(1)c=2b(2)(3)2或6
【解析】
【分析】
(1)把点代入函数即可得到结论;
(2)根据顶点坐标即可求解;
(3)把函数化为,根据图像不经过第三象限进行分类讨论进行求解.
【详解】
(1)将点代入,
得,
∴;
(2),,
∴,
∴,
(3),
对称轴,
当时,,函数不经过第三象限,则;
此时,当时,函数最小值是0,最大值是25,
∴最大值与最小值之差为25;(舍去)
当时,,函数不经过第三象限,则,
∴,
∴,
当时,函数有最小值,
当时,函数有最大值,
当时,函数有最大值;
函数的最大值与最小值之差为16,
当最大值时,,
∴或,
∵,
∴;
当最大值时,,
∴或,
∵,
∴;
综上所述或;
【点睛】
此题主要考查二次函数综合,解题的关键是熟知二次函数的图像与性质.
26.(1) 的取值范围是; (2). 理由见解析.
【解析】
【分析】
(1)由二次函数与x轴交点情况,可知△>0;
(2)求出抛物线对称轴为直线x=1,由于A(2,m)和点B(3,n)都在对称轴的右侧,即可求解;
【详解】
(1).
由题意,得,
∴
∴的取值范围是.
(2). 理由如下:
∵抛物线的对称轴为直线,
又∵,
∴当时,随的增大而增大.
∵,∴.
【点睛】
本题考查二次函数图象及性质;熟练掌握二次函数对称轴,函数图象的增减性是解题的关键.
27.(1)y=﹣x2﹣2x+3;(2)抛物线与y轴的交点为:(0,3);与x轴的交点为:(﹣3,0),(1,0);(3)15.
【解析】
【分析】
(1)已知了抛物线的顶点坐标,可用顶点式设该二次函数的解析式,然后将B点坐标代入,即可求出二次函数的解析式;
(2)根据函数解析式,令x=0,可求得抛物线与y轴的交点坐标;令y=0,可求得抛物线与x轴交点坐标;
(3)由(2)可知:抛物线与x轴的交点分别在原点两侧,由此可求出当抛物线与x轴负半轴的交点平移到原点时,抛物线平移的单位,由此可求出A′、B′的坐标.由于△OA′B′不规则,可用面积割补法求出△OA′B′的面积.
【详解】
解:(1)设抛物线顶点式y=a(x+1)2+4,
将B(2,﹣5)代入得:a=﹣1,
∴该函数的解析式为:y=﹣(x+1)2+4=﹣x2﹣2x+3;
(2)令x=0,得y=3,因此抛物线与y轴的交点为:(0,3),
令y=0,﹣x2﹣2x+3=0,解得:x1=﹣3,x2=1,
即抛物线与x轴的交点为:(﹣3,0),(1,0);
(3)设抛物线与x轴的交点为M、N(M在N的左侧),
由(2)知:M(﹣3,0),N(1,0),
当函数图象向右平移经过原点时,M与O重合,因此抛物线向右平移了3个单位,
故A'(2,4),B'(5,﹣5),
∴S△OA′B′=×(2+5)×9﹣×2×4﹣×5×5=15.
【点睛】
本题考查了用待定系数法求抛物线解析式、函数图象与坐标轴交点、图形面积的求法等知识.熟练掌握待定系数法、函数图象与坐标轴的交点的求解方法、不规则图形的面积的求解方法等是解题的关键.
28.(1);(2)8;(3)①(),(),();②6.
【解析】
【分析】
(1)将点C(0,-3)代入y=(x-1)2+k即可;
(2)易求A(-1,0),B(3,0),抛物线顶点为(1,-4),当P位于抛物线顶点时,△ABP的面积有最大值;
(3)①当0<m≤1时,h=-3-(m2-2m-3)=-m2+2m;当1<m≤2时,h=-1-(-4)=1;当m>2时,h=m2-2m-3-(-4)=m2-2m+1;
②当h=9时若-m2+2m=9,此时△<0,m无解;若m2-2m+1=9,则m=4,则P(4,5),△BCP的面积=(4+1)×3=6;
【详解】
解:(1)因为抛物线与轴交于点,
把代入,得
,
解得,
所以此抛物线的解析式为,
即;
(2)令,得,
解得,
所以,
所以;
解法一:
由(1)知,抛物线顶点坐标为,
由题意,当点位于抛物线顶点时,的面积有最大值,
最大值为;
解法二
由题意,得,
所以
,
所以当时,有最大值8;
(3)①当时,;
当时,;
当时,;
②当h=9时
若-m2+2m=9,此时△<0,m无解;
若m2-2m+1=9,则m=4,
∴P(4,5),
∵B(3,0),C(0,-3),
∴△BCP的面积=(4+1)×3=6;
【点睛】
本题考查二次函数的图象及性质,是二次函数综合题;熟练掌握二次函数的性质,数形结合,分类讨论是解题的关键.
29.(1);(2);(3)或.
【解析】
【分析】
由于抛物线的解析式中只有两个待定系数,因此将B、C两点的坐标代入抛物线中即可求出抛物线的解析式.
作点关于轴的对称点,连接交轴于点,则此时为最小,再将的坐标代入一次函数表达式即可解得
分别求出点P在x轴的位置即可.
【详解】
解:(1)直线与轴、轴分别交于两点,则点的坐标分别为,
将点的坐标代入二次函数表达式得:,解得:,
故函数的表达式为:,
令,则或3,故点;
(2)如图1,作点关于轴的对称点,连接交轴于点,则此时为最小,
函数顶点坐标为,点,
将的坐标代入一次函数表达式并解得:
直线的表达式为:,
当时, ,
故点;
(3)①当点在轴上方时,如下图2,
∵,则,
过点作,设,
则,
由勾股定理得:,
,解得: (负值已舍去),
则,
则;
②当点在轴下方时,
则;
故点的坐标为或.
【点睛】
本题考查二次函数,熟练掌握二次函数的运算法则是解题关键.
30.(1)二次函数的解析式为y=x2+2x﹣3.
(2)P(﹣4,5)(2,5).
【解析】
试题分析:(1)根据曲线上点的坐标与方程的关系,把A(1,0),C(0,﹣3)代入)二次函数y=x2+bx+c中,求出b、c的值,即可得到函数解析式是y=x2+2x﹣3.
∵二次函数y=x2+bx+c过点A(1,0),C(0,﹣3),
∴,解得.
∴二次函数的解析式为y=x2+2x﹣3.
(2)求出A、B两点坐标,得到AB的长,再设P(m,n),根据△ABP的面积为10可以计算出n的值,然后再利用二次函数解析式计算出m的值即可得到P点坐标:
∵当y=0时,x2+2x﹣3=0,解得:x1=﹣3,x2=1.
∴A(1,0),B(﹣3,0).∴AB=4.
设P(m,n),
∵△ABP的面积为10,∴AB•|n|=10,解得:n=±5.
当n=5时,m2+2m﹣3=5,解得:m=﹣4或2.
∴P(﹣4,5)(2,5).
当n=﹣5时,m2+2m﹣3=﹣5,方程无解.
∴P(﹣4,5)(2,5).
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