2020数学（文）二轮教师用书：第1部分主题3不等式、推理与证明

1．不等式的性质及解法

1．已知a＞b＞0，则下列不等式中恒成立的是(　　)

A．a＋＞b＋　　 B．a＋＞b＋

C.＞   D.＞ab

A　[因为a＞b＞0，所以＜，根据不等式的性质可得a＋＞b＋，故A正确；对于选项B，取a＝1，b＝，则a＋＝1＋＝2，b＋＝＋2＝，故a＋＞b＋不成立；根据不等式的性质可得＜，故C错误；取a＝2，b＝1，可知D错误．]

2．若关于x的不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4＜0对一切实数x恒成立，则实数a的取值范围是(　　)

A．(－∞，2]   B．(－∞，－2)

C．(－2,2)   D．(－2,2]

D　[不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4＜0恒成立的条件：当a＝2时，－4＜0恒成立；当a≠2时，解得－2＜a＜2.故－2＜a≤2，选D.]

3．若关于x的不等式x2－ax＋1≤0的解集中只有一个整数，且该整数为1，则a的取值范围为(　　)

A.   B.

C.   D.

A　[令f(x)＝x2－ax＋1，由题意可得解得2≤a＜.]

4．若关于x的不等式ax＞b的解集为，则关于x的不等式ax2＋bx－a＞0的解集为________．

　[由ax＞b的解集为，可知a＜0，且＝.将不等式ax2＋bx－a＞0两边同时除以a，得x2＋x－＜0，所以x2＋x－＜0，即5x2＋x－4＜0，解得－1＜x＜，故不等式ax2＋bx－a＞0的解集为.]

5．若不等式x2＋ax＋4≥0对一切x∈(0,1]恒成立，则a的取值范围是________．

[－5，＋∞)　[由题意得，a≥－，设f(x)＝－，x∈(0,1]，则只要a≥f(x)max，由于函数f(x)在(0,1]上单调递增，所以f(x)max＝f(1)＝－5，故a≥－5.]

2．简单的线性规划问题

1．已知x，y满足则z＝8－ x·y的最小值为(　　)

A．1　　　B.　　　C.　　　D.

D　[可行域如图中阴影部分所示，而z＝8－x·y＝2－3x－y，欲使z最小，只需使－3x－y最小即可．由图知当x＝1，y＝2时，－3x－y的值最小，且－3×1－2＝－5，此时2－3x－y最小，最小值为.故选D.]

2．实数x，y满足若z＝kx－y的最大值为13，则实数k＝(　　)

A.或8   B.或

C.   D．8

C　[由不等式组可得可行域为由点A(2,0)，B(2,3)，C(4,4)构成的三角形内部及其边界，如图所示．若k≥2，可得当x＝4，y＝4时，z有最大值，得4k－4＝13，解得k＝；若0＜k＜2，可得当x＝2，y＝0时，z有最大值，得2k＝13，不合题意；若k≤0，可得当x＝2，y＝0时，z有最大值，得2k＝13，不合题意．故k＝，选C.]

3．某中学生在制作纸模过程中需要A，B两种规格的小卡纸，现有甲、乙两种大小不同的卡纸可供选择，每张卡纸可同时截得A，B两种规格的小卡纸的块数如下表，现需A，B两种规格的小卡纸分别为4块、7块，所需甲、乙两种大小不同的卡纸的张数分别为m，n(m，n为整数)，则m＋n的最小值为(　　)

A.2  B．3  C．4  D．5

B　[由题意知又不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，可得目标函数z＝m＋n在点(1,2)处取得最小值3，故选B.

]

4．(2019·全国卷Ⅱ)若变量x，y满足约束条件则z＝3x－y的最大值是________．

9　[作出已知约束条件对应的可行域(图中阴影部分)，由图易知，当直线y＝3x－z过点C时，－z最小，即z最大．

由解得

即C点坐标为(3,0)，

故zmax＝3×3－0＝9.]

5．若实数x，y满足则z＝的取值范围为________．

(－∞，－2]∪　[点(x，y)表示的是以点O(0,0)，A(4,0)，B(0,2)为顶点的三角形的内部及其边界，如图所示．目标函数z＝是区域内的点(x，y)与点Q(1，－2)连线的斜率．易知kQA＝＝，kQO＝＝－2，kQB＝＝－4，分析可知，z＝的取值范围为(－∞，－2]∪.]

3．基本不等式

1．已知正数a，b的等比中项是2，且m＝b＋，n＝a＋，则m＋n的最小值是(　　)

A．3　　　　B．4　　　　C．5　　　　D．6

C　[由正数a，b的等比中项是2，可得ab＝4，又m＝b＋，n＝a＋，所以m＋n＝a＋b＋＋≥2＋＝5，当且仅当a＝b＝2时取“＝”，故m＋n的最小值为5.]

2．已知P(a，b)为圆x2＋y2＝4上任意一点，则当＋取最小值时，a2的值为(　　)

A.  B．2  C.  D．3

C　[∵P(a，b)为圆x2＋y2＝4上任意一点，∴a2＋b2＝4.又a≠0，b≠0，∴＋＝(a2＋b2)＝≥＝，当且仅当b2＝2a2＝时取等号，故a2＝，选C.]

3．已知x＞0，y＞0，x＋2y＋2xy＝8，则x＋2y的最小值是(　　)

A．3  B．4  C.  D.

B　[由题意得x＋2y＝8－x·2y≥8－2，当且仅当x＝2y时，等号成立，整理得(x＋2y)2＋4(x＋2y)－32≥0，即(x＋2y－4)(x＋2y＋8)≥0，又x＋2y＞0，所以x＋2y≥4，故选B.]

4．设x＞0，则函数y＝x＋－的最小值为________．

0　[y＝x＋－＝＋－2≥2－2＝0.当且仅当x＋＝，即x＝时等号成立．]

5．(2019·天津高考)设x＞0，y＞0，x＋2y＝4，则的最小值为________．

　[＝＝＝2＋.

∵x＞0，y＞0且x＋2y＝4，

∴4≥2(当且仅当x＝2，y＝1时取等号)，

∴2xy≤4，∴≥，

∴2＋≥2＋＝.]

4．推理与证明

1．(2019·全国卷Ⅱ)在“一带一路”知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测．

甲：我的成绩比乙高．

乙：丙的成绩比我和甲的都高．

丙：我的成绩比乙高．

成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次序为(　　)

A．甲、乙、丙   B．乙、甲、丙

C．丙、乙、甲   D．甲、丙、乙

A　[由于三人成绩互不相同且只有一个人预测正确．若甲预测正确，则乙、丙预测错误，于是三人按成绩由高到低的次序为甲、乙、丙；若甲预测错误，则甲、乙按成绩由高到低的次序为乙、甲，又假设丙预测正确，则乙、丙按成绩由高到低的次序为丙、乙，于是甲、乙、丙按成绩由高到低排序为丙、乙、甲，从而乙的预测也正确，与事实矛盾；若甲、丙预测错误，则可推出乙的预测也错误．综上所述，三人按成绩由高到低的次序为甲、乙、丙．故选A.]

2．《聊斋志异》中有这样一首诗：“挑水砍柴不堪苦，请归但求穿墙术．得诀自诩无所阻，额上坟起终不悟．”在这里，我们称形如以下形式的等式具有“穿墙术”：2＝，3＝，4＝，5＝，按照以上规律，若8＝具有“穿墙术”，则n＝(　　)

A．7  B．35  C．48  D．63

D　[由2＝，3＝，4＝，5＝，归纳猜想出一般规律为n＝(n∈N*，n≥2)．下面证明：＝＝＝n，故猜想正确．所以n＝82－1＝63，故选D.]

3．[新题型：多选题]2019年全国两会之后，某地区为改善民生，调研了甲、乙、丙、丁、戊5个民生项目，得到如下信息：①若该地区引进甲项目，就必须引进与之配套的乙项目；②丁、戊两个项目与民生密切相关，这两个项目至少要引进一个；③乙、丙两个项目之间有冲突，两个项目只能引进一个；④丙、丁两个项目关联度较高，要么同时引进，要么都不引进；⑤若引进项目戊，甲、丁两个项目也必须引进．则该地区应引进的项目为(　　)

A．甲  B．乙  C．丙   D．丁

CD　[由②知丁、戊两个项目至少要引进一个，若引进戊项目，则由⑤可知甲、丁两个项目也必须引进；由①④可知必须引进乙、丙两个项目，与③矛盾；因此必须引进丁项目．由④可知必须引进丙项目；由③可知不能引进乙项目；由①可知不能引进甲项目，故该地区只能引进丙、丁两个项目．故选CD.]

4．在平面内，三角形的面积为S，周长为C，则它的内切圆的半径r＝.在空间中，三棱锥的体积为V，表面积为S，利用类比推理的方法，可得三棱锥的内切球(球面与三棱锥的各个面均相切)的半径R＝________.

　[若三棱锥表面积为S，体积为V，则其内切球半径R＝.理由如下：

设三棱锥的四个面的面积分别为S1，S2，S3，S4，由于内切球的球心到各面的距离等于内切球的半径，所以V＝S1R＋S2R＋S3R＋S4R＝SR，

所以内切球的半径R＝.]

5．如图，一个质点在坐标系内运动，在第一秒钟它由原点运动到点(0,1)，而后按图所示在与x轴、y轴平行的方向运动，且每秒移动一个单位长度，那么经过2 000秒，这个质点所处的位置的坐标是_______．

(24,44)　[质点运动3秒时建构出第一个正方形，8秒时建构出第二个正方形，15秒时建构出第三个正方形，24秒时建构出第四个正方形，所以，建构出第n个正方形需要的时间为(n2＋2n)秒，所以，当第四十三个正方形完成时需要1 935秒，结合走向可得质点在2 000秒时的坐标为(24,44)．]