2020数学（文）二轮教师用书：第1部分主题1集合、常用逻辑用语、算法
展开1．集合
解决集合问题应注意的3点
(1)化简集合时易忽视元素的特定范围，如T1，T2，T3，T5.
(2)要注意空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，如T6.
(3)借助数轴解决集合运算时，要注意端点值的取舍，如T4.
1．(2019·全国卷Ⅰ)已知集合U＝{1,2,3,4,5,6,7}，A＝{2,3,4,5}，B＝{2,3,6,7}，则B∩∁UA＝( )
A．{1,6} B．{1,7}
C．{6,7} D．{1,6,7}
C [∵U＝{1,2,3,4,5,6,7}，A＝{2,3,4,5}，∴∁UA＝{1,6,7}．又B＝{2,3,6,7}，∴B∩∁UA＝{6,7}．
故选C.]
2．已知集合M＝{x|y＝}，N＝{y|y＝}，则M与N的关系为( )
A．M＝N B．M⊆N
C．N⊆M D．M∩N＝∅
B [由题意知M＝[1，＋∞)，N＝[0，＋∞)，则M⊆N.故选B.]
3．(2019·长沙模拟)若集合M＝{x∈R|－3＜x＜1}，N＝{x∈Z|－1≤x≤2}，则M∩N＝( )
A．{0} B．{－1,0}
C．{－1,0,1} D．{－2，－1,0,1,2}
B [由题意，得N＝{x∈Z|－1≤x≤2}＝{－1,0,1,2}，M＝{x∈R|－3＜x＜1}，则M∩N＝{－1,0}，故选B.]
4．已知集合P＝{x|x＜m}，Q＝{x|x2－4x－5＜0}，若Q⊆P，则实数m的取值范围为( )
A．[5，＋∞) B．(5，＋∞)
C．[1，＋∞) D．(1，＋∞)
A [x2－4x－5＜0，即(x＋1)(x－5)＜0，得－1＜x＜5，所以Q＝(－1,5)．由Q⊆P可得m≥5.故选A.]
5．(2018·全国卷Ⅱ)已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2≤3，x∈Z，y∈Z}，则A中元素的个数为( )
A．9 B．8 C．5 D．4
A [由x2＋y2≤3知，－≤x≤，－≤y≤.又x∈Z，y∈Z，所以x∈{－1,0,1}，y∈{－1,0,1}，如图所示，所以A中元素共9个，故选A.]
6．已知集合P＝{4,5,6}，Q＝{1,2,3}，定义PQ＝{x|x＝p－q，p∈P，q∈Q}，则集合PQ的所有真子集的个数为( )
A．32 B．31
C．30 D．以上都不对
B [由所定义的运算可知PQ＝{1,2,3,4,5}，所以PQ的所有真子集的个数为25－1＝31.]
2．常用逻辑用语
解决常用逻辑用语问题应关注3点
(1)“A的充分不必要条件是B”是指B能推出A，且A不能推出B；而“A是B的充分不必要条件”则是指A能推出B，且B不能推出A.
(2)命题的否定只需否定结论，而其否命题既要否定条件又要否定结论．
(3)对全称命题和特称命题的否定不仅要否定结论，还要注意量词的改变．如T2.
1．(2019·全国卷Ⅱ)设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是( )
A．α内有无数条直线与β平行
B．α内有两条相交直线与β平行
C．α，β平行于同一条直线
D．α，β垂直于同一平面
B [若α∥β，则α内有无数条直线与β平行，反之不成立；若α，β平行于同一条直线，则α与β可以平行也可以相交；若α，β垂直于同一平面，则α与β可以平行也可以相交，故A，C，D均不是充要条件．根据平面与平面平行的判定定理知，若一个平面内有两条相交直线与另一个平面平行，则两平面平行，反之成立．因此B中条件是α∥β的充要条件．故选B.]
2．(2019·沈阳质量监测(一))设命题p：∀x∈R，x2－x＋1＞0，则﹁p为( )
A．∃x∈R，x2－x＋1＞0 B．∀x∈R，x2－x＋1≤0
C．∃x∈R，x2－x＋1≤0 D．∀x∈R，x2－x＋1＜0
C [已知原命题p：∀x∈R，x2－x＋1＞0，全称命题的否定是将全称量词改为存在量词，并否定命题的结论，故原命题的否定﹁p为：∃x∈R，x2－x＋1≤0.]
3．(2019·北京高考)设函数f(x)＝cos x＋bsin x(b为常数)，则“b＝0”是“f(x)为偶函数”的( )
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
C [∵f(x)＝cos x＋bsin x为偶函数，
∴对任意的x∈R，都有f(－x)＝f(x)，
即cos(－x)＋bsin(－x)＝cos x＋bsin x，
∴2bsin x＝0.由x的任意性，得b＝0.
故f(x)为偶函数⇒b＝0.必要性成立．
反过来，若b＝0，则f(x)＝cos x是偶函数．充分性成立．
∴“b＝0”是“f(x)为偶函数”的充分必要条件．故选C.]
4．下列命题中的假命题是( )
A．∃x∈R，log2x＝0 B．∃x∈R，cos x＝1
C．∀x∈R，x2＞0 D．∀x∈R,2x＞0
C [因为log21＝0，cos 0＝1，所以选项A，B均为真命题，又02＝0，所以选项C为假命题，故选C.]
5．[一题多解](2019·全国卷Ⅲ)记不等式组表示的平面区域为D.命题p：∃(x，y)∈D,2x＋y≥9；命题q：∀(x，y)∈D,2x＋y≤12.下面给出了四个命题
①p∨q ②﹁p∨q ③p∧﹁q ④﹁p∧﹁ q
这四个命题中，所有真命题的编号是( )
A．①③ B．①②
C．②③ D．③④
A [法一：画出可行域如图中阴影部分所示．目标函数z＝2x＋y是一条平行移动的直线，且z的几何意义是直线z＝2x＋y的纵截距．显然，直线过点A(2,4)时，zmin＝2×2＋4＝8，即z＝2x＋y≥8.∴2x＋y∈[8，＋∞)．由此得命题p：∃(x，y)∈D,2x＋y≥9正确；
命题q：∀(x，y)∈D,2x＋y≤12不正确．∴①③真，②④假．故选A.
法二：取x＝4，y＝5，满足不等式组且满足2x＋y≥9，不满足2x＋y≤12，故p真，q假．
∴①③真，②④假．故选A.]
3．算法
掌握2种解决算法问题的常用方法技巧
(1)根据程序框图求解运行结果的方法技巧：先要找出控制循环的变量及其初值、终值，然后看循环体，若循环次数较少，可依次列出即可得到答案；若循环次数较多，可先循环几次，找出规律．要特别注意最后输出的是什么，不要出现多一次或少一次循环的错误，尤其对于以累和为限定条件的问题，需要逐次求出每次迭代的结果，并逐次判断是否满足终止条件．如T1，T3.
(2)完善程序框图的方法技巧：先假设某选项正确，然后运行循环结构，一直到运行结果与题目要求输出的结果相同为止．如T4.
1．(2019·全国卷Ⅲ)执行如图所示的程序框图，如果输入的ε为0.01，则输出s的值等于( )
A．2－ B．2－ C．2－ D．2－
C [ε＝0.01，
x＝1，s＝0，s＝0＋1＝1，x＝，x＜ε不成立；
s＝1＋，x＝，x＜ε不成立；
s＝1＋＋，x＝，x＜ε不成立；
s＝1＋＋＋，x＝，x＜ε不成立：
s＝1＋＋＋＋，x＝，x＜ε不成立；
s＝1＋＋＋＋＋，x＝，x＜ε不成立；
s＝1＋＋＋＋＋＋，x＝，x＜ε成立，
此时输出s＝2－.故选C.]
2．已知程序框图如图所示，则该程序框图的功能是( )
A．求数列的前10项和
B．求数列的前10项和
C．求数列的前11项和
D．求数列的前11项和
B [该程序框图是先计算S，再计算k，当k＝10时，S的值为＋＋＋…＋，当k＝11＞10时，输出S.故选B.]
3．如图是某算法的程序框图，当输出的结果T＞70时，正整数n的最小值是( )
A．3 B．4 C．5 D．6
B [由程序框图知，每次循环中K，T的值依次为1,1；2,4；3,16；4,72.
又T＝72＞70，故正整数n的最小值为4.]
4．(2019·全国卷Ⅰ)如图是求的程序框图，图中空白框中应填入( )
A．A＝ B．A＝2＋
C．A＝ D．A＝1＋
A [对于选项A，第一次循环，A＝，k＝2；第二次循环，A＝，此时k＝3，不满足k≤2，输出A＝．故A正确；经验证选项B，C，D均不符合题意．故选A.]
