2020数学（文）二轮教师用书：第2部分专题1解密高考① 三角函数问题重在“变”——变角、变式
展开解密高考① 三角函数问题重在“变”——变角、变式
————[思维导图]————
————[技法指津]————
1．常用的变角技巧
(1)已知角与特殊角的变换；
(2)已知角与目标角的变换；
(3)角与其倍角的变换；
(4)两角与其和差角的变换以及三角形内角和定理的变换运用．
如：α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β，2α＝(α＋β)＋(α－β)，2α＝(β＋α)－(β－α)，α＋β＝2·，＝－.
2．常用的变式技巧
主要从函数名、次数、系数方面入手，常见的有：
(1)讨论三角函数的性质时，常常将它化为一次的单角的三角函数来讨论；
(2)涉及sin x±cos x、sin x·cos x的问题，常做换元处理，如令t＝sin x±cos x∈[－，]，将原问题转化为关于t的函数来处理；
(3)在解决三角形的问题时，常利用正、余弦定理化边为角或化角为边等．,
母题示例：2019年全国卷Ⅲ，本小题满分12分 | |
△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知asin ＝bsin A. (1)求B； (2)若△ABC为锐角三角形，且c＝1，求△ABC面积的取值范围. | 本题考查：本题主要考查正弦定理、诱导公式、三角恒等变换、三角形的面积公式，考查学生的数学运算、转化与化归等能力，考查学生的逻辑推理及数学运算等核心素养. |
[审题指导·发掘条件]
(1)看到asin＝bsin A，想到正弦定理，要求B，需求B的某一个三角函数值，可考虑将asin＝bsin A转化为与B的三角函数相关的等式求解．
(2)看到求△ABC面积的范围，想到利用面积公式去求△ABC的面积，结合第(1)问，选择S＝acsin B，注意到条件c＝1，想到＝，△ABC为锐角三角形可建不等式．
[规范解答·评分标准]
(1)根据题意asin＝bsin A，得sin Asin＝sin Bsin A
因为0＜A＜π，故sin A＞0，消去sin A得sin＝sin B,0＜B＜π，0＜＜π，故＝B或者＋B＝π，而根据题意A＋B＋C＝π，＋B＝π不成立，所以＝B，又因为A＋B＋C＝π，代入得3B＝π，所以B＝.·······················6分
(2)因为△ABC是锐角三角形，由(1)知B＝，A＋B＋C＝π得到A＋C＝π，
故，解得＜C＜.··············8分
又应用正弦定理＝，c＝1，
由三角形面积公式有：
S△ABC＝ac·sin B＝c2·sin B＝c2·sin B＝·
＝·
＝·＝＋.·············10分
又因＜C＜，tan C＞，故＜＋＜，
故＜S△ABC＜.故S△ABC的取值范围是.········12分
[构建模板·两种思路]
1．利用正、余弦定理求解问题的思路为“角化边”“边化角”
2．三角恒等变换的思路为“一角二名三结构”
升幂(降幂)公式口诀：“幂降一次，角翻倍；幂升一次，角减半”．
母题突破1：2019年昆明模拟 |
在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c,2acos A－bcos C＝ccos B.
(1)求角A；
(2)若a＝，△ABC的面积为，求△ABC的周长．
[解] (1)∵2acos A－bcos C＝ccos B，
∴2sin Acos A－sin Bcos C＝sin Ccos B.
∴2sin Acos A＝sin A，∵sin A≠0，
∴cos A＝.
∴A＝
(2)S＝bcsin A＝.∴bc＝3.
∵a2＝b2＋c2－2bccos A，
∴b2＋c2＝6，
∴(b＋c)2＝b2＋c2＋2bc＝6＋6＝12，
∴b＋c＝2
∴△ABC的周长为a＋b＋c＝3.
母题突破2：2019年泉州模拟 |
已知△ABC的内角A，B
，C的对边分别为a，b，c，且＝tan A＋tan B.
(1)求角A的大小；
(2)若a＝2，求△ABC的面积的最大值．
[解] (1)在△ABC中，∵＝tan A＋tan B，
∴＝＋，
即＝，
∴＝，则tan A＝，又0＜A＜π，∴A＝.
(2)a2＝b2＋c2－2bccos A＝b2＋c2－bc，又a＝2，
∴4＝b2＋c2－bc.
又b2＋c2≥2bc，当且仅当b＝c时等号成立，
∴bc≤4.
∴△ABC面积的最大值Smax＝max＝×4×sin＝.
