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    2020数学(文)二轮教师用书:第2部分专题5第1讲 直线与圆
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    2020数学(文)二轮教师用书:第2部分专题5第1讲 直线与圆

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    第1讲 直线与圆

    [做小题——激活思维]
    1.已知点M(2,2)和N(5,-2),点P在x轴上,且∠MPN为直角,则点P的坐标为________.
    [答案] (1,0)或(6,0)
    2.若直线l过点(2,3),且在两坐标轴上的截距相等,则直线l的方程是________.
    [答案] 3x-2y=0或x+y-5=0
    3.圆心在y轴上且过点(3,1)的圆与x轴相切,则该圆的方程是________.
    x2+y2-10y=0 [设圆心为(0,b),半径为r,则r=|b|,
    ∴圆的方程为x2+(y-b)2=b2.
    ∵点(3,1)在圆上,
    ∴9+(1-b)2=b2,
    解得b=5,
    ∴圆的方程为x2+y2-10y=0.]
    4.若点P在直线3x+y-5=0上,且P到直线x-y-1=0的距离为,则点P的坐标为________.
    [答案] (1,2)或(2,-1)
    5.已知线段AB的端点B的坐标是(4,3),端点A在圆(x+1)2+y2=4上运动,则线段AB的中点M的轨迹方程是________.
    [答案] 2+2=1
    6.已知圆x2+y2-4=0与圆x2+y2-4x+4y-12=0,则两圆的公共弦长为________.
    [答案] 2
    [扣要点——查缺补漏]
    1.直线的方程
    (1)解决直线方程问题,要充分利用数形结合思想,养成边读题边画图分析的习惯.
    (2)求直线方程时应根据条件选择适合的方程形式利用特定系数法求解,同时要考虑直线斜率不存在的情况是否符合题意.如T1,T2.
    (3)求解两条直线平行的问题时,在利用A1B2-A2B1=0建立方程求出参数的值后,要注意代入检验,排除两条直线重合的可能性.
    2.圆的方程
    (1)直接法求圆的方程:根据圆的几何性质,直接求出圆心坐标和半径,进而写出方程.
    (2)待定系数法求圆的方程:设圆的标准方程或圆的一般方程,依据已知条件列出方程组,确定系数后得到圆的方程.如T3.


     圆的方程及应用(5年3考)

    [高考解读] 高考对圆的方程求法的单独考查很少,多考查直线与圆的位置关系及其应用.
    (2018·全国卷Ⅱ)设抛物线C:y2=4x的焦点为F,过F且斜率为k(k>0)的直线l与C交于A,B两点,|AB|=8.
    (1)求l的方程;
    (2)求过点A,B且与C的准线相切的圆的方程.
    切入点:①过F且斜率为k(k>0)的直线l与C交于A,B两点;
    ②|AB|=8.
    关键点:根据抛物线的定义进行转化求解.
    [解] (1)由题意得F(1,0),l的方程为y=k(x-1)(k>0).
    设A(x1,y1),B(x2,y2).
    由得k2x2-(2k2+4)x+k2=0.
    Δ=16k2+16>0,故x1+x2=.
    所以|AB|=|AF|+|BF|=(x1+1)+(x2+1)=.
    由题设知=8,解得k=-1(舍去)或k=1.
    因此l的方程为y=x-1.
    (2)由(1)得AB的中点坐标为(3,2),所以AB的垂直平分线方程为y-2=-(x-3),即y=-x+5.
    设所求圆的圆心坐标为(x0,y0),则

    解得或
    因此所求圆的方程为
    (x-3)2+(y-2)2=16或(x-11)2+(y+6)2=144.
    [教师备选题]
    1.(2015·北京高考)圆心为(1,1)且过原点的圆的方程是(  )
    A.(x-1)2+(y-1)2=1
    B.(x+1)2+(y+1)2=1
    C.(x+1)2+(y+1)2=2
    D.(x-1)2+(y-1)2=2
    D [利用两点间的距离公式求圆的半径,从而写出方程.圆的半径r==,圆心坐标为(1,1),所以圆的标准方程为(x-1)2+(y-1)2=2.]
    2.[一题多解](2018·天津高考)在平面直角坐标系中,经过三点(0,0),(1,1),(2,0)的圆的方程为________.
    x2+y2-2x=0 [法一:易知以(0,0),(1,1),(2,0)为顶点的三角形为等腰直角三角形,其外接圆的圆心为(1,0),半径为1,所以所求圆的方程为(x-1)2+y2=1,即x2+y2-2x=0.
    法二:设所求圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,由已知条件可得解得
    所以所求圆的方程为x2+y2-2x=0.]
    3.(2015·湖北高考)如图,已知圆C与x轴相切于点T(1,0),与y轴正半轴交于两点A,B(B在A的上方),且|AB|=2.
    (1)圆C的标准方程为________;
    (2)圆C在点B处的切线在x轴上的截距为________.
    (1)(x-1)2+(y-)2=2 (2)--1 [(1)结合图形,确定圆C的圆心坐标和半径,从而写出圆的标准方程.
    取AB的中点D,连接CD,则CD⊥AB.
    由题意|AD|=|CD|=1,
    故|AC|==,即圆C的半径为.
    又因为圆C与x轴相切于点T(1,0),所以圆心C的坐标为(1,),故圆C的标准方程为(x-1)2+(y-)2=2.
    (2)如图,先求出点B的坐标,进而求出圆C在点B处的切线方程,再求切线在x轴上的截距.
    令(x-1)2+(y-)2=2中的x=0,解得y=±1,故B(0,+1).直线BC的斜率为=-1,故切线的斜率为1,切线方程为y=x++1.令y=0,解得x=--1,故所求截距为--1.]


    常见的求圆的方程的方法
    (1)利用圆的几何特征,求出圆心坐标和半径长,从而写出圆的标准方程.
    (2)利用待定系数法.若利用所给条件易求圆心的坐标和半径长,则常用标准方程求解;若所给条件与圆心、半径关系不密切或涉及圆上多点,则常用一般方程求解.

    1.(由圆的方程求参数)若方程x2+y2+ax+2ay+2a2+a-1=0表示圆,则实数a的取值范围是(  )
    A.(-∞,-2)  B.
    C.(-2,0) D.
    D [若方程表示圆,则a2+(2a)2-4(2a2+a-1)>0,化简得3a2+4a-4<0,
    解得-2<a<.]
    2.(求圆的标准方程)若圆C的半径为1,圆心在第一象限,且与直线4x-3y=0和x轴都相切,则该圆的标准方程为________.
    (x-2)2+(y-1)2=1 [∵圆C的半径为1,圆心在第一象限,且与直线4x-3y=0和x轴都相切,∴圆心的纵坐标是1,设圆心坐标为(a,1)(a>0),则1=,∴a=2,故该圆的标准方程为(x-2)2+(y-1)2=1.]
    3.(与平面向量的交汇问题)已知圆M:x2+y2-2x+a=0,若AB为圆M的任意一条直径,且·=-6(其中O为坐标原点),则圆M的半径r=________.
     [圆M的标准方程为(x-1)2+y2=1-a(a<1),圆心M(1,0),则|OM|=1,圆的半径r=,因为AB为圆M的任意一条直径,所以=-,且||=||=r,则·=(+)·(+)=(-)·(+)=2-2=1-r2=-6,所以r2=7,得r=,所以圆的半径为.
     直线与圆、圆与圆的位置关系(5年8考)

    [高考解读] 高考对圆的考查以直线与圆的位置关系、弦长问题为主,题型灵活,难度中等,对于切线及圆与圆的位置关系的考查较少.
    角度一:与圆有关的距离问题
    1.(2018·全国卷Ⅲ)直线x+y+2=0分别与x轴,y轴交于A,B两点,点P在圆(x-2)2+y2=2上,则△ABP面积的取值范围是(  )
    A.[2,6]  B.[4,8]
    C.[,3] D.[2,3]
    切入点:①直线x+y+2=0与x轴、y轴交于A,B两点;
    ②点P在圆(x-2)2+y2=2上.
    关键点:①求出|AB|;②求出点P到直线x+y+2=0的距离的范围.
    A [由题意知圆心的坐标为(2,0),半径r=,圆心到直线x+y+2=0的距离d==2,所以圆上的点到直线的最大距离是d+r=3,最小距离是d-r=.易知A(-2,0),B(0,-2),所以|AB|=2,所以2≤S△ABP≤6.故选A.]
    2.(2016·全国卷Ⅱ)圆x2+y2-2x-8y+13=0的圆心到直线ax+y-1=0的距离为1,则a=(  )
    A.- B.-
    C. D.2
    切入点:①圆的方程;②圆心到直线的距离.
    关键点:正确求出圆心坐标.
    A [圆x2+y2-2x-8y+13=0的标准方程为(x-1)2+(y-4)2=4,由圆心到直线ax+y-1=0的距离为1可知=1,解得a=-,故选A.]
    角度二:弦长问题
    3.(2018·全国卷Ⅰ)直线y=x+1与圆x2+y2+2y-3=0交于A,B两点,则|AB|=________.
    切入点:①直线方程;②圆的方程.
    关键点:正确应用弦长的求法.
    2 [由题意知圆的方程为x2+(y+1)2=4,所以圆心坐标为(0,-1),半径为2,则圆心到直线y=x+1的距离d==,所以|AB|=2=2.]
    4.(2016·全国卷Ⅰ)设直线y=x+2a与圆C:x2+y2-2ay-2=0相交于A,B两点,若|AB|=2,则圆C的面积为________.
    切入点:①直线和圆的方程;②|AB|=2.
    关键点:根据|AB|=2确定a的值.
    4π [圆C:x2+y2-2ay-2=0化为标准方程是C:x2+(y-a)2=a2+2,
    所以圆心C(0,a),半径r=.又|AB|=2,点C到直线y=x+2a即x-y+2a=0的距离d=,由勾股定理得2+2=a2+2,解得a2=2,
    所以r=2,所以圆C的面积为π×22=4π.]
    角度三:直线与圆的综合问题
    5.(2017·全国卷Ⅲ)在直角坐标系xOy中,曲线y=x2+mx-2与x轴交于A,B两点,点C的坐标为(0,1).当m变化时,解答下列问题:
    (1)能否出现AC⊥BC的情况?说明理由;
    (2)证明过A,B,C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值.
    切入点:曲线y=x2+mx-2与x轴交于A,B两点.
    关键点:①计算kAC·kBC=-1;②确定圆心和半径.
    [解] (1)不能出现AC⊥BC的情况.理由如下:
    设A(x1,0),B(x2,0),则x1,x2满足x2+mx-2=0,
    所以x1x2=-2.
    又点C的坐标为(0,1),
    故AC的斜率与BC的斜率之积为·=-,
    所以不能出现AC⊥BC的情况.
    (2)证明:BC的中点坐标为,可得BC的中垂线方程为y-=x2.
    由(1)可得x1+x2=-m,
    所以AB的中垂线方程为x=-.
    联立
    又x+mx2-2=0,可得
    所以过A,B,C三点的圆的圆心坐标为,半径r=.
    故圆在y轴上截得的弦长为2=3,
    即过A,B,C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值.
    [教师备选题]
    1.(2014·全国卷Ⅱ)设点M(x0,1),若在圆O:x2+y2=1上存在点N,使得∠OMN=45°,则x0的取值范围是(  )
    A.[-1,1]  B.
    C.[-,] D.
    A [如图,过点M作⊙O的切线,切点为N,连接ON.M点的纵坐标为1,MN与⊙O相切于点N.
    设∠OMN=θ,则θ≥45°,即sin θ≥,即≥.
    而ON=1,∴OM≤.
    ∵M为(x0,1),
    ∴≤,
    ∴x≤1,
    ∴-1≤x0≤1,
    ∴x0的取值范围为[-1,1].]
    2.(2016·全国卷Ⅲ)已知直线l:x-y+6=0与圆x2+y2=12交于A,B两点,过A,B分别作l的垂线与x轴交于C,D两点,则|CD|=________.
    4 [如图所示,∵直线AB的方程为x-y+6=0,
    ∴kAB=,∴∠BPD=30°,
    从而∠BDP=60°.
    在Rt△BOD中,
    ∵|OB|=2,∴|OD|=2.
    取AB的中点H,连接OH,则OH⊥AB,
    ∴OH为直角梯形ABDC的中位线,
    ∴|OC|=|OD|,∴|CD|=2|OD|=2×2=4.]
    3.(2015·全国卷Ⅰ)已知过点A(0,1)且斜率为k的直线l与圆C:(x-2)2+(y-3)2=1交于M,N两点.
    (1)求k的取值范围;
    (2)若·=12,其中O为坐标原点,求|MN|.
    [解] (1)由题设可知直线l的方程为y=kx+1.
    因为直线l与圆C交于两点,所以<1,
    解得 所以k的取值范围为.
    (2)设M(x1,y1),N(x2,y2).
    将y=kx+1代入方程(x-2)2+(y-3)2=1,
    整理得(1+k2)x2-4(1+k)x+7=0.
    所以x1+x2=,x1x2=.
    ·=x1x2+y1y2=(1+k2)x1x2+k(x1+x2)+1=+8.
    由题设可得+8=12,解得k=1,
    所以直线l的方程为y=x+1.
    故圆心C在直线l上,所以|MN|=2.


    1.(弦长问题)已知直线y=ax与圆C:x2+y2-2ax-2y+2=0相交于A,B两点,且△ABC为等边三角形,则圆C的面积为(  )
    A.49π    B.36π    C.7π    D.6π
    D [圆C的标准方程为(x-a)2+(y-1)2=a2-1,因此圆心C(a,1)到直线y=ax的距离为=,解得a2=7,所以圆C的面积为π()2=6π,故选D.]
    2.(两圆公共弦问题)已知圆C1:(x-1)2+y2=2与圆C2:x2+(y-b)2=2(b>0)相交于A,B两点,且|AB|=2,则b=________.
     [由题意知C1(1,0),C2(0,b),半径r1=r2=,所以线段AB和线段C1C2相互垂直平分,则|C1C2|=2,即1+b2=4,又b>0,故b=.]
    3.(切线问题)当曲线y=与直线kx-y-2k+4=0有两个相异的交点时,实数k的取值范围是________.
     [整理y=,得x2+y2=4(y≥0),所以该曲线是以原点为圆心,2为半径的圆在x轴及x轴上方的部分.
    ∵直线kx-y-2k+4=0可化为y-4=k(x-2),
    ∴直线过定点A(2,4)且斜率为k,
    如图,设直线与半圆的切线为AD,半圆的左端点为B(-2,0).
    由图可知,当kAD<k≤kAB时,直线与半圆有两个相异的交点.
    当直线与半圆相切时,满足=2,
    解得k=,即kAD=.
    又∵直线AB的斜率kAB==1,∴直线kx-y-2k+4=0的斜率k的取值范围为.]
    4.(直线与圆的综合问题)已知圆M过两点A(1,1),B(-1,-1),且圆心M在x-y+2=0上.
    (1)求圆M的方程;
    (2)设P是直线3x-4y+27=0上的动点,PC,PD是圆M的两条切线,C,D为切点,求四边形PCMD面积的最小值.
    [解] (1)线段AB的中点为(0,0),其垂直平分线方程为x+y=0.
    解方程组解得所以圆M的圆心坐标为(-1,1),
    半径r==2.
    故所求圆M的方程为(x+1)2+(y-1)2=4.
    (2)如图,由题知,四边形PCMD的面积为

    S=2S△PCM=2×|PC|·|CM|=2|PC|=2=2.
    因此要求S的最小值,只需求|PM|的最小值即可.
    即在直线3x-4y+27=0上找一点P,使得|PM|的值最小,
    所以|PM|min==4,
    所以四边形PCMD面积的最小值为S=2=4.

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