2020数学（文）二轮教师用书：第3部分策略4妙用8个二级结论巧解高考题



结论1　奇函数的最值性质
已知函数f(x)是定义在区间D上的奇函数，则对任意的x∈D，都有f(x)＋f(－x)＝0.特别地，若奇函数f(x)在D上有最值，则f(x)max＋f(x)min＝0，且若0∈D，则f(0)＝0.1
【典例1】　设函数f(x)＝的最大值为M，最小值为m，则M＋m＝________.
2　[显然函数f(x)的定义域为R，
f(x)＝＝1＋，
设g(x)＝，则g(－x)＝－g(x)，
∴g(x)为奇函数，
由奇函数图象的对称性知g(x)max＋g(x)min＝0，
∴M＋m＝[g(x)＋1]max＋[g(x)＋1]min＝2＋g(x)max＋g(x)min＝2.]
【链接高考1】　(2018·全国卷Ⅲ)已知函数f(x)＝ln(－x)＋1，f(a)＝4，则f(－a)＝________.
－2　[由f(a)＝ln(－a)＋1＝4，得ln(－a)＝3，所以f(－a)＝ln(＋a)＋1＝－ln ＋1＝－ln(－a)＋1＝－3＋1＝－2.]
结论2　函数周期性问题
已知定义在R上的函数f(x)，若对任意的x∈R，总存在非零常数T，使得f(x＋T)＝f(x)，则称f(x)是周期函数，T为其一个周期.,常见的与周期函数有关的结论如下：
(1)如果f(x＋a)＝－f(x)(a≠0)，那么f(x)是周期函数，其一个周期T＝2a.
(2)如果f(x＋a)＝，那么f(x)是周期函数，其一个周期T＝2a.
(3)如果f(x＋a)＋f(x)＝c(a≠0)，那么f(x)是周期函数，其一个周期T＝2a.
(4)如果f(x)＝f(x＋a)＋f(x－a)(a≠0)，那么f(x)是周期函数，其一个周期T＝6a.
【典例2】　已知定义在R上的函数f(x)满足f＝－f(x)，且f(－2)＝f(－1)＝－1，f(0)＝2，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 014)＋f(2 015)＝(　　)
A．－2　　　B．－1　　　C．0　　　D．1
A　[因为f＝－f(x)，
所以f(x＋3)＝－f＝f(x)，则f(x)的周期T＝3.
则有f(1)＝f(－2)＝－1，f(2)＝f(－1)＝－1，f(3)＝f(0)＝2，
所以f(1)＋f(2)＋f(3)＝0，
所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 014)＋f(2 015)＝f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 014)＋f(2 015)＋f(2 016)－f(2 016)＝672×[f(1)＋f(2)＋f(3)]－f(2 016)＝－f(0＋3×672)＝－f(0)＝－2，故选A.]
【链接高考2】　[一题多解](2018·全国卷Ⅱ)已知f(x)是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，满足f(1－x)＝f(1＋x)．若f(1)＝2，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝(　　)
A．－50 B．0 C．2 D．50
C　[法一：因为f(1－x)＝f(1＋x)，所以函数f(x)的图象关于直线x＝1对称．因为f(x)是奇函数，所以函数f(x)的图象关于坐标原点(0,0)中心对称．数形结合可知函数f(x)是以4为周期的周期函数．因为f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函数，所以f(0)＝0.因为f(1－x)＝f(1＋x)，所以当x＝1时，f(2)＝f(0)＝0；当x＝2时，f(3)＝f(－1)＝－f(1)＝－2；当x＝3时，f(4)＝f(－2)＝－f(2)＝0.综上，可得f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝12×[f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)]＋f(1)＋f(2)＝12×[2＋0＋(－2)＋0]＋2＋0＝2.故选C.
法二：取一个符合题意的函数f(x)＝2sin ，则结合该函数的图象易知数列{f(n)}(n∈N*)是以4为周期的周期数列．
故f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝12×[f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)]＋f(1)＋f(2)＝12×[2＋0＋(－2)＋0]＋2＋0＝2.故选C.]
结论3　函数图象的对称性
已知函数f(x)是定义在R上的函数.
(1)若f(a＋x)＝f(b－x)恒成立，则y＝f(x)的图象关于直线对称，特别地，若f(a＋x)＝f(a－x)恒成立，则y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称.
(2)若f(a＋x)＋f(b－x)＝c，则y＝f(x)的图象关于点中心对称.特别地，若f(a＋x)＋f(a－x)＝2b恒成立，则y＝f(x)的图象关于点(a，b)中心对称.)
【典例3】　已知定义在R上的函数f(x)满足f(x＋1)＝f(1－x)，且在[1，＋∞)上是增函数，不等式f(ax＋2)≤f(x－1)对任意的x∈恒成立，则实数a的取值范围是(　　)
A．[－3，－1] B．[－2,0]
C．[－5，－1] D．[－2,1]
B　[由f(x＋1)＝f(1－x)可知f(x)图象关于x＝1对称，当a＝0时，不等式f(ax＋2)≤f(x－1)化为f(2)≤f(x－1)，由函数f(x)的图象特征可得|2－1|≤|x－1－1|，解得x≥3或x≤1，满足不等式f(ax＋2)≤f(x－1)对任意x∈恒成立，由此排除A，C两个选项．当a＝1时，不等式f(ax＋2)≤f(x－1)化为f(x＋2)≤f(x－1)，由函数f(x)的图象特征可得|x＋2－1|≤|x－1－1|，解得x≤，不满足不等式f(ax＋2)≤f(x－1)对任意x∈恒成立，由此排除D选项．综上可知，选B.]
【链接高考3】　(2017·全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝ln x＋ln(2－x)，则(　　)
A．f(x)在(0,2)单调递增
B．f(x)在(0,2)单调递减
C．y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称
D．y＝f(x)的图象关于点(1,0)对称
C　[f(x)的定义域为(0,2)．
f(x)＝ln x＋ln(2－x)＝ln[x(2－x)]＝ln(－x2＋2x)．
设u＝－x2＋2x，x∈(0,2)，则u＝－x2＋2x在(0,1)上单调递增，在(1,2)上单调递减．
又y＝ln u在其定义域上单调递增，
∴f(x)＝ln(－x2＋2x)在(0,1)上单调递增，在(1,2)上单调递减．
∴选项A，B错误．
∵f(x)＝ln x＋ln(2－x)＝f(2－x)，
∴f(x)的图象关于直线x＝1对称，∴选项C正确．
∵f(2－x)＋f(x)＝[ln(2－x)＋ln x]＋[ln x＋ln(2－x)]＝2[ln x＋ln(2－x)]，不恒为0，
∴f(x)的图象不关于点(1,0)对称，∴选项D错误．
故选C.]
结论4　对数、指数形式的经典不等式
1．对数形式：1－≤ln(x＋1)≤x(x＞－1)，当且仅当x＝0时，等号成立．
2．指数形式：ex≥x＋1(x∈R)，当且仅当x＝0时，等号成立．
【典例4】　设函数f(x)＝1－e－x.证明：当x＞－1时，f(x)≥.
[证明]　f(x)≥(x＞－1)⇔1－e－x≥(x＞－1)⇔1－≥e－x(x＞－1)⇔≥(x＞－1)⇔x＋1≤ex(x＞－1)．由经典不等式ex≥x＋1(x∈R)恒成立可知x＞－1时，ex≥x＋1.即x＞－1时，f(x)≥.
【链接高考4】　(2016·全国卷Ⅲ)设函数f(x)＝ln x－x＋1.
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)证明当x∈(1，＋∞)时，1＜＜x；
(3)设c>1，证明当x∈(0,1)时，1＋(c－1)x＞cx.
[解]　(1)由题设，f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝－1，令f′(x)＝0，解得x＝1.
当0＜x＜1时，f′(x)＞0，f(x)单调递增；
当x＞1时，f′(x)＜0，f(x)单调递减．
(2)证明：由(1)知，f(x)在x＝1处取得最大值，
最大值为f(1)＝0.
所以当x≠1时，ln x＜x－1.
故当x∈(1，＋∞)时，ln x＜x－1，ln＜－1，
即1＜＜x.
(3)证明：由题设c＞1，设g(x)＝1＋(c－1)x－cx，
则g′(x)＝c－1－cxln c.
令g′(x)＝0，解得x0＝.
当x＜x0时，g′(x)＞0，g(x)单调递增；
当x＞x0时，g′(x)＜0，g(x)单调递减．
由(2)知1＜＜c，故0＜x0＜1.
又g(0)＝g(1)＝0，故当0＜x＜1时，g(x)＞0.
所以当x∈(0,1)时，1＋(c－1)x＞cx.
结论5　等差数列的有关结论
1．若Sm，S2m.S3m分别为等差数列{an}的前m项，前2m项，前3m项的和，则Sm，S2m－Sm，S3m－S2m成等差数列．
2．若等差数列{an}的项数为2m，公差为d，所有奇数项之和为S奇，所有偶数项之和为S偶，则所有项之和S2m＝m(am＋am＋1)，S偶－S奇＝md，＝.
3．若等差数列{an}的项数为2m－1，所有奇数项之和为S奇，所有偶数之和为S偶，则所有项之和S2m－1＝(2m－1)am，S奇＝mam，S偶＝(m－1)am，S奇－S偶＝am，＝.
【典例5】　(1)等差数列{an}的前n项和为Sn，已知am－1＋am＋1－a＝0，S2m－1＝38，则m＝________.
(2)一个等差数列的前12项和为354，前12项中偶数项的和与奇数项的和的比为32∶27，则数列的公差d＝________.
(1)10　(2)5　[(1)由am－1＋am＋1－a＝0得2am－a＝0，解得am＝0或2.
又S2m－1＝＝(2m－1)am＝38，
显然可得am≠0，所以am＝2.
代入上式可得2m－1＝19，解得m＝10.
(2)设等差数列的前12项中奇数项和为S奇，偶数项和为S偶，等差数列的公差为d.
由已知条件，得解得
又S偶－S奇＝6d，所以d＝＝5.]
【链接高考5】　(2015·全国卷Ⅱ)设Sn是等差数列{an}的前n项和，若a1＋a3＋a5＝3，则S5＝(　　)
A．5 B．7 C．9 D．11
A　[法一：利用等差数列的性质进行求解．
∵a1＋a5＝2a3，∴a1＋a3＋a5＝3a3＝3，∴a3＝1，
∴S5＝＝5a3＝5，故选A.
法二：利用等差数列的通项公式和前n项和公式进行整体运算．
∵a1＋a3＋a5＝a1＋(a1＋2d)＋(a1＋4d)＝3a1＋6d＝3，
∴a1＋2d＝1，
∴S5＝5a1＋d＝5(a1＋2d)＝5，故选A.]
结论6　等比数列的有关结论
(1)公比q≠－1时，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…成等比数列(n∈N*).
(2)若等比数列的项数为2n(n∈N*)，公比为q，奇数项之和为S奇，偶数项之和为S偶，则S偶＝qS奇.
(3)已知等比数列{an}，公比为q，前n项和为Sn，则Sm＋n＝Sm＋qmSn(m，n∈N*).
【典例6】　(1)设等比数列{an}的前n项和为Sn，若＝3，则＝(　　)
A．2 B. C. D．3
(2)已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且满足S3＝，S6＝.
①求数列{an}的通项公式；
②求log2a1＋log2a2＋log2a3＋…＋log2a25的值．
(1)B　[(1)由已知＝3，得S6＝3S3，因为S3，S6－S3，S9－S6也为等比数列，所以(S6－S3)2＝S3(S9－S6)，则(2S3)2＝S3(S9－3S3)．
化简得S9＝7S3，从而＝＝.
(2)①由S3＝，S6＝，得S6＝S3＋q3S3＝(1＋q3)S3，
∴q＝2.又S3＝a1(1＋q＋q2)，得a1＝.
故通项公式an＝×2n－1＝2n－2.
②由(1)及题意可得log2an＝n－2，
所以log2a1＋log2a2＋log2a3＋…＋log2a25＝－1＋0＋1＋2＋…＋23＝＝275.]
【链接高考6】　(2017·江苏高考)等比数列{an}的各项均为实数，其前n项和为Sn.已知S3＝，S6＝，则a8＝________.
32　[设{an}的首项为a1，公比为q，则
解得
所以a8＝×27＝25＝32.]
结论7　多面体的外接球和内切球
(1)长方体的对角线长d与共点的三条棱a，b，c之间的关系为d2＝a2＋b2＋c2；若长方体外接球的半径为R，则有(2R)2＝a2＋b2＋c2.
(2)棱长为a的正四面体内切球半径，外接球半径
【典例7】　(1)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线(实线和虚线)表示的是某几何体的三视图，则该几何体外接球的表面积为(　　)

A．24π B．29π
C．48π D．58π
(2)已知一个三棱锥的所有棱长均为，则该三棱锥的内切球的体积为________．

(1)B　(2)π　[(1)由三视图知，该几何体为三棱锥，如图，在3×2×4的长方体中构造符合题意的几何体(三棱锥A­BCD)，其外接球即为长方体的外接球．
表面积为4πR2＝π(32＋22＋42)＝29π.
(2)由题意可知，该三棱锥为正四面体，如图所示．
AE＝AB·sin 60°＝，
AO＝AE＝，
DO＝＝，
三棱锥的体积VD­ABC＝S△ABC·DO＝，
设内切球的半径为r，则
VD­ABC＝r(S△ABC＋S△ABD＋S△BCD＋S△ACD)＝，r＝，
V内切球＝πr3＝π.]
【链接高考7】　(2017·全国卷Ⅱ)长方体的长、宽、高分别为3,2,1，其顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为________．
14π　[∵长方体的顶点都在球O的球面上，
∴长方体的体对角线的长度就是其外接球的直径．
设球的半径为R，
则2R＝＝.
∴球O的表面积为S＝4πR2＝4π×2＝14π.]
结论8　过抛物线y2＝2px(p＞0)焦点的弦
过抛物线y2＝2px(p＞0)焦点的弦AB有：
(1)xA·xB＝.
(2)yA·yB＝－p2.
(3)|AB|＝xA＋xB＋p＝(α是直线AB的倾斜角).
【典例8】　过抛物线y2＝4x的焦点F的直线l与抛物线交于A，B两点，若|AF|＝2|BF|，则|AB|等于(　　)
A．4 B.
C．5 D．6
B　[由对称性不妨设点A在x轴的上方，如图，设A，B在准线上的射影分别为D，C，作BE⊥AD于E，
设|BF|＝m，直线l的倾斜角为θ，则|AB|＝3m，
由抛物线的定义知
|AD|＝|AF|＝2m，|BC|＝|BF|＝m，
所以cos θ＝＝，所以tan θ＝2.则sin2θ＝8cos2θ，
∴sin2θ＝.又y2＝4x，知2p＝4，故利用弦长公式|AB|＝＝.]
【链接高考8】　(2014·全国卷Ⅱ)设F为抛物线C：y2＝3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，则|AB|＝(　　)
A. B．6 C．12 D．7
C　[∵F为抛物线C：y2＝3x的焦点，
∴F，
∴AB的方程为y－0＝tan 30°，即y＝x－.
联立，得x2－x＋＝0.
∴x1＋x2＝－＝，即xA＋xB＝.
由于|AB|＝xA＋xB＋p，
所以|AB|＝＋＝12.]