2020数学（文）二轮教师用书：第3部分策略12.数形结合思想

2.数形结合思想

应用1　解决方程的根或函数零点问题

【典例1】　(1)已知函数f(x)＝若函数g(x)＝f(x)－k有两个不同的零点，则实数k的取值范围是________．

(2)设方程10x＝|lg(－x)|的两个根分别为x1，x2，则(　　)

A．x1x2＜0　 B．x1x2＝1

C．x1x2＞1   D．0＜x1x2＜1

(1)　(2)D　[(1)画出函数f(x)的图象如图．

要使函数g(x)＝f(x)－k有两个不同零点，只需y＝f(x)与y＝k的图象有两个不同的交点，由图象易知k∈.

(2)本题考查函数的性质，在同一坐标系下，画出函数y＝10x与y＝|lg(－x)|的图象(图略)，结合图象不难看出，它们的两个交点中，其中一个交点横坐标属于(－∞，－1)，另一个交点横坐标属于(－1,0)，即在x1，x2中，其中一个属于(－∞，－1)，另一个属于(－1,0)，不妨设x1∈(－∞，－1)，x2∈(－1,0)，则有10x1＝|lg(－x1)|＝lg(－x1)，10x2＝|lg(－x2)|＝－lg(－x2)，10x1－10x2＝lg(－x1)＋lg(－x2)＝lg(x1x2)＜0，故0＜x1x2＜1，故选D.]

用图象法讨论方程特别是含参数的指数、对数、根式、三角等复杂方程的解或函数零点的个数是一种重要的方法，其基本思想是先把方程两边的代数式看作是两个熟悉的函数表达式不熟悉时，需要作适当的变形转化为两个熟悉的函数，然后在同一坐标系中作出两个函数的图象，图象的交点个数即为方程解或函数零点的个数.

【对点训练1】　若关于x的方程＝kx2有四个不同的实数解，则k的取值范围为________．

　[当x＝0时，显然是方程的一个实数解；

当x≠0时，方程＝kx2可化为

＝(x＋4)|x|(x≠－4)，

设f(x)＝(x＋4)|x|(x≠－4且x≠0)，y＝，原题可以转化为两函数有三个非零交点．

则f(x)＝(x＋4)|x|＝的大致图象如图所示，

由图，易得0＜＜4，

解得k＞.

所以k的取值范围为.]

【对点训练2】　已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且f(－x－1)＝f(x－1)，当x∈[－1,0]时，f(x)＝－x3，则关于x的方程f(x)＝|cos πx|在上的所有实数解之和为________．

－7　[因为函数f(x)为偶函数，所以f(－x－1)＝f(x＋1)＝f(x－1)，所以函数f(x)的周期为2.

又当x∈[－1,0]时，f(x)＝－x3，由此在同一平面直角坐标系内作出函数y＝f(x)与y＝|cos πx|的图象如图所示．

由图象知关于x的方程f(x)＝|cos πx|在上的实数解有7个．

不妨设x1＜x2＜x3＜x4＜x5＜x6＜x7，

则由图得x1＋x2＝－4，x3＋x5＝－2，x4＝－1，x6＋x7＝0，

所以方程f(x)＝|cos πx|在上的所有实数解的和为－4－2－1＋0＝－7.]

应用2　求解不等式或参数范围

【典例2】　若不等式4x2－logax<0对任意x∈恒成立，则实数a的取值范围为(　　)

A.   B.

C.   D.

B　[由已知4x2<logax对任意x∈恒成立，相当于在上，函数y＝logax的图象恒在函数y＝4x2图象的上方，显然当a>1时，不成立，当0＜a＜1时，如图，只需loga≥4×2⇒a≥⇒a≥，

又0＜a＜1，故a∈.

故选B.]

求参数范围或解不等式问题经常用到函数的图象，根据不等式中量的特点，选择适当的两个或多个函数，利用两个函数图象的上、下位置关系转化为数量关系来解决问题，往往可以避免繁琐的运算，获得简捷的解答.

【对点训练3】　设A＝{(x，y)|x2＋(y－1)2＝1}，B＝{(x，y)|x＋y＋m≥0}，则使A⊆B成立的实数m的取值范围是________．

[－1，＋∞)　[集合A是一个圆x2＋(y－1)2＝1上的点的集合，集合B是一个不等式x＋y＋m≥0表示的平面区域内的点的集合，要使A⊆B，则应使圆被平面区域所包含(如图)，如直线x＋y＋m＝0应与圆相切或相离(在圆的下方)，而当直线与圆相切时有＝1，又m＞0，所以m＝－1，故m的取值范围是[－1，＋∞)．]

【对点训练4】　若不等式|x－2a|≥x＋a－1对x∈R恒成立，则a的取值范围是________．

　[作出y＝|x－2a|和y＝x＋a－1的简图，依题意知应有2a≤2－2a，故a≤.]

应用3　求解解析几何问题

【典例3】　(2019·成都模拟)设双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的左、右顶点分别为A1，A2，左、右焦点分别为F1，F2，以F1F2为直径的圆与双曲线左支的一个交点为P.若以A1A2为直径的圆与直线PF2相切，则双曲线C的离心率为(　　)

A.　　　B.  C．2　　　D.

D　[如图所示，设以A1A2为直径的圆与直线PF2的切点为Q，连接OQ，则OQ⊥PF2.又PF1⊥PF2，O为F1F2的中点，所以|PF1|＝2|OQ|＝2a.又|PF2|－|PF1|＝2a，所以|PF2|＝4a.在Rt△F1PF2中，|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2⇒4a2＋16a2＝20a2＝4c2⇒e＝＝.]

1在解析几何的解题过程中，通常要数形结合，这样使数更形象，更直白，充分利用图象的特征，挖掘题中所给的代数关系式和几何关系式，避免一些复杂的计算，给解题提供方便.

2应用几何意义数形结合法解决问题需要熟悉常见的几何结构的代数形式，主要有：①比值——可考虑直线的斜率；②二元一次式——可考虑直线的截距；③根式分式——可考虑点到直线的距离；④根式——可考虑两点间的距离.

【对点训练5】　已知圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝1和两点A(－m,0)，B(m,0)(m＞0)．若圆C上存在点P，使得∠APB＝90°，则m的最大值为(　　)

A．7　　　　B．6　　　　C．5　　　　D．4

B　[根据题意，画出示意图，如图所示，则圆心C的坐标为(3,4)，半径r＝1，且|AB|＝2m，因为∠APB＝90°，连接OP，易知|OP|＝|AB|＝m.

要求m的最大值，即求圆C上的点P到原点O的最大距离．因为|OC|＝＝5，所以|OP|max＝|OC|＋r＝6，即m的最大值为6.]

【对点训练6】　已知P是直线l：3x＋4y＋8＝0上的动点，PA，PB是圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0的两条切线，A，B是切点，C是圆心，则四边形PACB面积的最小值为________．

2　[由题意知圆的圆心C(1,1)，半径为1，从运动的观点看问题，当动点P沿直线3x＋4y＋8＝0向左上方或右下方无穷远处运动时，直角三角形PAC的面积S△PAC＝·|PA|·|AC|＝|PA|越来越大，从而S四边形PACB也越来越大；当点P从左上、右下两个方向向中间运动，S四边形PACB变小，显然，当点P到达一个最特殊的位置，即CP垂直于直线l时，S四边形PACB应有唯一的最小值，此时|PC|＝＝3，从而|PA|＝＝2，所以(S四边形PACB)min＝2××|PA|×|AC|＝2.]