2020数学（理）二轮教师用书：第1部分主题4古典概型、几何概型
展开1．古典概型
解决古典概型问题应注意2点
(1)对于古典概型中的抽取问题，要注意是否有顺序性，是否有无放回，如T1，T2，T3，T4.
(2)在利用排列、组合与两个基本计数原理求样本空间所含的基本事件数n以及事件A所含的基本事件数m时，要明确事件之间是对立关系还是互斥关系，如T2.
1．[一题多解]从分别标有1,2，…，9的9张卡片中不放回地随机抽取2次，每次抽取1张，则抽到的2张卡片上的数奇偶性不同的概率是( )
A. B.
C. D.
C [法一：∵9张卡片中有5张奇数卡片，4张偶数卡片，且为不放回地随机抽取，
∴P(第一次抽到奇数，第二次抽到偶数)＝×＝，
P(第一次抽到偶数，第二次抽到奇数)＝×＝，
∴P(抽到的2张卡片上的数奇偶性不同)＝＋＝.
法二：依题意，得P(抽到的2张卡片上的数奇偶性不同)＝＝.]
2．现有大小形状完全相同的4个小球，其中红球有2个，白球与蓝球各1个，将这4个小球任意排成一排，则中间2个小球不都是红球的概率为( )
A. B.
C. D.
C [设“4个小球排成一排，中间2个小球不都是红球”为事件A.则表示事件“中间2个球都是红球”，易知P()＝＝＝，故P(A)＝1－P()＝.]
3．(2018·全国卷Ⅱ)我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如30＝7＋23.在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是( )
A. B.
C. D.
C [不超过30的素数有2,3,5,7,11,13,17,19,23,29，共10个，从中随机选取两个不同的数有C种不同的取法，这10个数中两个不同的数的和等于30的有3对，所以所求概率P＝＝，故选C.]
4．(2019·全国卷Ⅰ)我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“——”和阴爻“－－”，如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是( )
A. B.
C. D.
A [由6个爻组成的重卦种数为26＝64，在所有重卦中随机取一重卦，该重卦恰有3个阳爻的种数为C＝＝20.根据古典概型的概率计算公式得，所求概率P＝＝.故选A.]
2．几何概型
解决几何概型问题应注意2点
(1)明确几何概型的适用条件：基本事件发生的等可能性和基本事件的无限性．
(2)分清几何概型中的“测度”：注意区别长度与角度、面积、体积等度量方式，如T1，T2，T3.
1．在区间(1,3)内，任取1个数x，则满足log2(2x－1)＞1的概率为( )
A. B.
C. D.
D [由题意，满足log2(2x－1)＞1，则2x－1＞2，解得x＞，所以在区间(1,3)内，任取1个数x时，x＞的概率为P＝＝，故选D.]
2．(2019·青岛调研)有一底面半径为1，高为2的圆柱，点O为圆柱下底面圆的圆心，在这个圆柱内随机取一点P，则点P到点O的距离大于1的概率为( )
A. B.
C. D.
B [设点P到点O的距离小于1的概率为P1，由几何概型，则P1＝＝＝，故点P到点O的距离大于1的概率P＝1－＝.故选B.]
3．如图，B是AC上一点，分别以AB，BC，AC为直径作半圆，从B作BD⊥AC，与半圆相交于D，AC＝6，BD＝2，在整个图形中随机取一点，则此点取自图中阴影部分的概率是( )
A. B.
C. D.
C [连接AD，CD，可知△ACD是直角三角形，又BD⊥AC，所以BD2＝AB·BC，设AB＝x(0＜x＜3)，则有8＝x(6－x)，得x＝2，所以AB＝2，BC＝4，由此可得图中阴影部分的面积等于－＝2π，故概率P＝＝.]
