2020数学（理）二轮教师用书：第2部分专题5解密高考⑤ 圆锥曲线问题巧在“设”、难在“算”
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解密高考⑤ 圆锥曲线问题巧在“设”、难在“算” |
————[思维导图]————
————[技法指津]————
圆锥曲线的设点、设元策略
圆锥曲线问题在遵循“设——列——解”程序化解题的基础上，应恰当地设点、设线，以简化运算，突出 “设”的重要性．
(1)巧设“点”，可采用设而不求的方式解决弦长问题、中点弦问题、定点与定值问题、最值问题、相关量的取值范围问题等等．
(2)巧设 “线”， 如涉及直线的斜率问题可依据题设条件灵活设直线方程为y＝kx＋b、x＝my＋n；对于分点问题可依据题设条件设直线的参数方程为(t为参数)．,
母题示例：2019年全国卷Ⅰ，本小题满分12分 | |
已知抛物线C：y2＝3x的焦点为F，斜率为的直线l与C的交点为A，B，与x轴的交点为P. (1)若|AF|＋|BF|＝4，求l的方程； (2)若＝3，求|AB|. | 本题考查：抛物线的定义、直线方程的求法、弦长公式、方程根与系数的关系等知识，学生的函数方程思想、转化化归等能力，数学运算、逻辑推理等核心素养. |
[审题指导·发掘条件]
(1)看到抛物线的焦半径，想到抛物线的定义，缺xA＋xB，补设直线l的方程，联立抛物线求解即可；
(2)看到求|AB|想到弦长公式，缺yA＋yB的值，借助＝3补找该关系．
[构建模板·五步解法] 圆锥曲线类问题的求解策略
第一步 设点直线 | 第二步 联立消元 | 第三步 根与系数 | 第四步 公式求解 | 第五步 归纳反思 |
设出直线的方程及相交两点的坐标. | 联立直线方程与曲线方程得方程组，消元得方程(注意二次项系数是否为零). | 应用根与系数的关系及判别式. | 结合中点坐标公式、弦长公式、斜率公式等求解题设涉及的位置关系和数量关系. | 反思条件转化过程的等价性与严密性. |
母题突破：2019年丹东二模，本小题满分12分 |
经过坐标原点O的两条直线与椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)分别相交于点A、C和点B、D，其中直线AB经过E的左焦点(－1,0)，直线CD经过E的右焦点(1,0)．当直线AB不垂直于坐标轴时，AB与AD的斜率乘积为－.
(1)求椭圆E的方程；
(2)求四边形ABCD面积的最大值．
[解](1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由对称性D(－x2，－y2)，直线AB与直线AD的斜率乘积为. 2分
由＋＝1，＋＝1，相减得＝－. 3分
所以＝， 4分
因为a2－b2＝1，所以a2＝4，b2＝3， 5分
椭圆E的方程为＋＝1. 6分
(2)由题知CD不平行于x轴，设CD：x＝my＋1，与＋＝1联立得
(3m2＋4)y2＋6my－9＝0. 7分
Δ＝144(m2＋1)＞0，y1，y2＝. 8分
由对称性知四边形ABCD是平行四边形，其面积S等于△OCD面积的4倍，于是S＝4S△OCD＝2|y1－y2|＝＝. 10分
设＝t，当t≥1时，函数y＝3t＋单调递增，
所以当t＝1，即m＝0时，S取最大值6. 12分
