2020数学（理）二轮教师用书：第2部分专题6第1讲　函数的图象与性质、函数与方程



第1讲　函数的图象与性质、函数与方程

[做小题——激活思维]
1．函数f(x)＝＋的定义域为(　　)
A．(0,2]　　　　 B．(0,2)
C．(0,1)∪(1,2] D．(－∞，2]
C　[由得0＜x≤2且x≠1，故选C.]
2．函数f(x)＝ex＋2x－3的零点所在的一个区间是(　　)
A. B.
C. D.
C　[因为f＝e－2＜0，f(1)＝e－1＞0，所以零点在区间上，故选C.]
3．[一题多解](2019·浙江高考)在同一直角坐标系中，函数y＝，y＝loga(a＞0且a≠1)的图象可能是(　　)

A　　　　　　　　　　B

C　　　　　　　　　　D
D　[法一：若0＜a＜1，则函数y＝是增函数，y＝loga是减函数且其图象过点，结合选项可知，选项D可能成立；若a＞1，则y＝是减函数，而y＝loga是增函数且其图象过点结合选项可知，没有符合的图象．故选D.
法二：分别取a＝和a＝2，在同一坐标系内画出相应函数的图象(图略)，通过对比可知选D.]
4．下列函数中，图象是轴对称图形且在区间(0，＋∞)上单调递减的是(　　)
A．y＝－x3 B．y＝－x2＋1
C．y＝2x D．y＝log2|x|
B　[因为函数的图象是轴对称图形，所以排除A，C，又y＝－x2＋1在(0，＋∞)上单调递减，y＝log2|x|在(0，＋∞)上单调递增，所以排除D.故选B.]
5．定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋4)＝f(x)，则f(2 020)＝________.
0　[f(2 020)＝f(505×4)＝f(0)．
又f(x)为R上的奇函数，所以f(0)＝0，故f(2 020)＝0.]
6．设2a＝5b＝m，且＋＝2，则m等于________．
　[由已知，得a＝log2 m，b＝log5 m，
则＋＝＋＝logm 2＋logm 5＝logm 10＝2.解得m＝.]
[扣要点——查缺补漏]
1．函数的定义域，如T1.
(1)分母不为0；
(2)对数的真数大于0；
(3)被开方数有意义．
2．零点所在的区间的判定方式
f(x)在[a，b]上是连续函数且f(a)f(b)＜0.必要时借助导数研究其性质，如T2.
3.指数、对数函数
(1)图象，如T3.

(2)指对互化与对数运算，如T6.
①ax＝N⇔x＝logaN，
②logab·logba＝1(a，b＞0且均不为1)，
③logambn＝logab，
④logaM＋logaN＝loga(MN)(M＞0，N＞0)，
⑤logaM－logaN＝loga(M＞0，N＞0)．
4．奇偶性、单调性，如T4.
(1)定义法：f(x)是偶函数⇔f(－x)＝f(x)；f(x)是奇函数⇔f(－x)＝－f(x)；
(2)奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性；偶函数在对称的单调区间内有相反的单调性；
(3)若奇函数f(x)定义域中含有0，则必有f(0)＝0.
故f(0)＝0是f(x)为奇函数的既不充分也不必要条件．
5．函数的周期性，如T5.
(1)若f(x＋a)＝f(x)，则周期T＝a；
(2)若f(x＋a)＝－f(x)，则周期T＝2a，其中a≠0.

　函数的表示、图象及应用(5年9考)

[高考解读]　对函数的表示常以分段函数为载体，考查分类讨论及函数方程的思想，对函数图象的识别常将基本初等函数与导数融合在一起，考查学生灵活应用知识，分析函数图象及性质的能力.
1．(2016·全国卷Ⅱ)下列函数中，其定义域和值域分别与函数y＝10lg x的定义域和值域相同的是(　　)
A．y＝x　　　　 B．y＝lg x
C．y＝2x D．y＝
D　[函数y＝10lg x的定义域与值域均为(0，＋∞)．
函数y＝x的定义域与值域均为(－∞，＋∞)．
函数y＝lg x的定义域为(0，＋∞)，值域为(－∞，＋∞)．
函数y＝2x的定义域为(－∞，＋∞)，值域为(0，＋∞)．
函数y＝的定义域与值域均为(0，＋∞)．故选D.]
2．(2019·全国卷Ⅰ)函数f(x)＝在[－π，π]的图象大致为(　　)

A　　　　　　　　　　　　B

C　　　　　　　　　　　　D
D　[因为f(－x)＝＝－＝－f(x)，所以f(x)为奇函数，排除选项A.
令x＝π，则f(x)＝＝＞0，排除选项B，C.故选D.]
[点评]　知式选图：已知函数解析式选图象，一般选用函数的两三个性质.
常用性质：
1°定→定点、定义域.
2°奇→奇偶性.
3°极→极值点个数.
4°零→零点个数.
5°渐→渐近线.
6°趋→函数值变化趋势.
7°单→单调性.
8°符→函数值符号.
3．(2018·全国卷Ⅰ)设函数f(x)＝则满足f(x＋1) A．(－∞，－1] B．(0，＋∞)
C．(－1,0) D．(－∞，0)
切入点：思路一：结合分段函数的定义，分类求解；思路二：图解法，借助单调性求解．
D　[当x≤0时，函数f(x)＝2－x是减函数，则f(x)≥f(0)＝1.作出f(x)的大致图象如图所示，
结合图象可知，要使f(x＋1) [教师备选题]
1．(2016·全国卷Ⅰ)函数y＝2x2－e|x|在[－2,2]的图象大致为(　　)

D　[利用导数研究函数y＝2x2－e|x|在[0,2]上的图象，利用排除法求解．
∵f(x)＝2x2－e|x|，x∈[－2,2]是偶函数，
又f(2)＝8－e2∈(0,1)，故排除A，B.
设g(x)＝2x2－ex，则g′(x)＝4x－ex.
又g′(0)＜0，g′(2)＞0，
∴g(x)在(0,2)内至少存在一个极值点，
∴f(x)＝2x2－e|x|在(0,2)内至少存在一个极值点，排除C.故选D.]
2．(2019·全国卷Ⅲ)函数y＝在[－6,6]的图象大致为(　　)

B　[因为f(x)＝，所以f(－x)＝＝－f(x)，且x∈[－6,6]，所以函数y＝为奇函数，排除C；当x＞0时，f(x)＝＞0恒成立，排除D；因为f(4)＝＝＝≈7.97，排除A.故选B.]

函数的表示、图象及应用的关注点
(1)研究函数问题务必遵循“定义域优先”的原则．
(2)分段函数的求值、解不等式等问题，应遵循“分段处理”的原则．
(3)函数图象的识别可遵循“对称性、零点、极值点、极限位置”逐一排除的策略．

1．(函数图象的识别)已知函数f(x)＝，则y＝f(x)的大致图象为(　　)

A　　　　　B　　　　　C　　　 　　D
B　[f(2)＝＜0，排除A，D.f＝＝＜0，排除C，选B.]
2．(分段函数求值)设f(x)＝若f(a)＝f(a＋1)，则f＝(　　)
A．2　　 B．4　　　　
C．6　　　　 D．8
C　[当0 ∴＝2a，
解得a＝或a＝0(舍去)．
∴f＝f(4)＝2×(4－1)＝6.
当a≥1时，a＋1≥2，
∴f(a)＝2(a－1)，f(a＋1)＝2(a＋1－1)＝2a，
∴2(a－1)＝2a，无解．
综上，f＝6.]
3．[重视题](函数图象的应用)已知函数f(x)(x∈R)满足f(x)＝f(4－x)，若函数y＝|x2－4x＋1|与y＝f(x)图象的交点为(x1，y1)，(x2，y2)，(x3，y3)，…，(xn，yn)，则xi＝(　　 )
A．0 B．n
C．2n D．4n
C　[由f(x)＝f(4－x)知函数y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称，且函数y＝|x2－4x＋1|的图象也关于直线x＝2对称，则两个函数图象的交点两两关于直线x＝2对称，故xi＝2n.故选C.]
[点评]　全国卷中考查函数对称性的比较多，数形结合找规律.规律为零点或两函数的交点关于点或直线对称，注意挖掘函数图象的对称性.
4．(函数的新定义)已知具有性质：f＝－f(x)的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数，下列函数：
①f(x)＝x－；②f(x)＝x＋；
③f(x)＝
其中满足“倒负”变换的函数是(　　)
A．①② B．①③
C．②③ D．①
B　[对于①，f(x)＝x－，f＝－x＝－f(x)，满足；
对于②，f＝＋x＝f(x)，不满足；
对于③，f＝即f＝
故f＝－f(x)，满足．综上可知，满足“倒负”变换的函数是①③.]
　函数的性质及应用(5年12考)

[高考解读]　函数的性质及应用是高考的核心考点之一，每年都有涉及，主要考查函数性质的判断，函数性质的应用.考查学生的等价转化能力和逻辑推理能力.
1．(2017·全国卷Ⅰ)函数f(x)在(－∞，＋∞)单调递减，且为奇函数．若f(1)＝－1，则满足－1≤f(x－2)≤1的x的取值范围是(　　)
A．[－2,2]　　　　 B．[－1,1]
C．[0,4] D．[1,3]
D　[∵f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)．
∵f(1)＝－1，∴f(－1)＝－f(1)＝1.
故由－1≤f(x－2)≤1，得f(1)≤f(x－2)≤f(－1)．
又f(x)在(－∞，＋∞)单调递减，∴－1≤x－2≤1，
∴1≤x≤3.
故选D.]
2．(2018·全国卷Ⅱ)已知f(x)是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，满足f(1－x)＝f(1＋x)．若f(1)＝2，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝(　　)
A．－50　　　　　 B．0
C．2 D．50
切入点：借助奇函数及对称轴推出f(x)的周期性．
C　[∵f(x)是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，
∴f(－x)＝－f(x)，且f(0)＝0.
∵f(1－x)＝f(1＋x)，∴f(x)＝f(2－x)，f(－x)＝f(2＋x)，∴f(2＋x)＝－f(x)，∴f(4＋x)＝－f(2＋x)＝f(x)，∴f(x)是周期函数，且一个周期为4，又f(x)是R上的奇函数，∴f(4)＝f(0)＝0，f(2)＝f(1＋1)＝f(1－1)＝f(0)＝0，f(3)＝f(1＋2)＝f(1－2)＝－f(1)＝－2，∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋…＋f(50)＝12×0＋f(49)＋f(50)＝f(1)＋f(2)＝2，故选C.]
3．(2019·全国卷Ⅲ)设f(x)是定义域为R的偶函数，且在(0，＋∞)单调递减，则(　　)


[教师备选题]
1．(2014·全国卷Ⅰ)设函数f(x)，g(x)的定义域都为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是(　　)
A．f(x)g(x)是偶函数
B．|f(x)|g(x)是奇函数
C．f(x)|g(x)|是奇函数
D．|f(x)g(x)|是奇函数
C　[A：令h(x)＝f(x)·g(x)，则h(－x)＝f(－x)·g(－x)＝－f(x)·g(x)＝－h(x)，
∴h(x)是奇函数，A错．
B：令h(x)＝|f(x)|g(x)，则h(－x)＝|f(－x)|g(－x)＝|－f(x)|g(x)＝|f(x)|g(x)＝h(x)，
∴h(x)是偶函数，B错．
C：令h(x)＝f(x)|g(x)|，
则h(－x)＝f(－x)|g(－x)|＝－f(x)|g(x)|＝－h(x)，∴h(x)是奇函数，C正确．
D：令h(x)＝|f(x)·g(x)|，则h(－x)＝|f(－x)·g(－x)|＝|－f(x)·g(x)|＝|f(x)·g(x)|＝h(x)，∴h(x)是偶函数，D错．]
2．(2016·全国卷Ⅰ)若a>b>1,0 A．ac＜bc　　　　　 B．abc＜bac
C．alogbc＜blogac D．logac＜logbc
C　[∵y＝xα，α∈(0,1)在(0，＋∞)上是增函数，
∴当a＞b＞1,0＜c＜1时，ac＞bc，选项A不正确．
∵y＝xα，α∈(－1,0)在(0，＋∞)上是减函数，
∴当a＞b＞1,0＜c＜1，即－1＜c－1＜0时，
ac－1＜bc－1，即abc＞bac，选项B不正确．
∵a＞b＞1，∴lg a＞lg b＞0，∴alg a＞blg b＞0，
∴＞.又∵0＜c＜1，∴lg c＜0.
∴＜，∴alogbc＜blogac，选项C正确．
同理可证logac＞logbc，选项D不正确．]
3．(2017·全国卷Ⅰ)设x，y，z为正数，且2x＝3y＝5z，则(　　)
A．2x<3y<5z　　　 B．5z<2x<3y
C．3y<5z<2x D．3y<2x<5z
D　[令t＝2x＝3y＝5z，
∵x，y，z为正数，∴t＞1.
则x＝log2t＝，同理，y＝，z＝.
∴2x－3y＝－＝
＝＞0，
∴2x＞3y.
又∵2x－5z＝－＝
＝＜0，
∴2x＜5z，
∴3y＜2x＜5z.
故选D.]

函数的性质及应用
(1)奇偶性：具有奇偶性的函数在关于原点对称的区间上的图象、函数值、解析式和单调性联系密切，研究问题时可转化到只研究部分(一半)区间上．尤其注意偶函数f(x)的性质：f(|x|)＝f(x)．
(2)单调性：可以用来比较大小，求函数最值，解不等式，证明方程根的唯一性等．
(3)周期性：利用周期性可以转化函数的解析式、图象和性质，把不在已知区间上的问题，转化到已知区间上求解．
(4)对称性：
①f(x)图象关于x＝a对称⇔f(a＋x)＝f(a－x)⇔f(2a－x)＝f(x)．
②f(a＋x)＋f(b－x)＝2c⇒f(x)图象关于对称．

1．(函数性质的判断)(2019·宁夏一模)下列函数中，既是偶函数，又在区间[0,1]上单调递增的是(　　)
A．y＝cos x B．y＝－x3
C．y＝ D．y＝|sin x|
D　[对于A，y＝cos x为余弦函数，是偶函数，在区间[0,1]上单调递减，不符合题意；对于B，y＝－x3，为奇函数，不符合题意；对于C，y＝是偶函数，在(0，＋∞)上y＝为减函数，不符合题意；对于D，y＝|sin x|是偶函数，在(0,1)上y＝sin x为增函数，符合题意； 故选D.]
2．(函数值的大小比较)若log2a＝0.3,0.3b＝2，c＝0.32，则实数a，b，c之间的大小关系为(　　)
A．a＞b＞c B．a＞c＞b
C．c＞a＞b D．b＞a＞c
B　[a＝20.3＞20＝1，b＝log0.3 2＜log0.3 1＝0,0＜0.32＜1，∴a＞c＞b.故选B.]
3．(函数的性质与不等式)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，在区间[0，＋∞)上递减，且f(1)＝0，则不等式f(log2x)＜0的解集为(　　)
A.∪(2，＋∞)
B.∪(1,2)
C.∪(2，＋∞)
D.∪(2，＋∞)
D　[函数f(x)是定义在R上的偶函数，在区间[0，＋∞)上递减，且f(1)＝0，则不等式f(log2 x)＜0⇒f(log2x)＜f(1)⇒f(|log2x|)＜f(1)⇒|log2x|＞1，即log2 x＜－1或log2x＞1，解得0＜x＜或x＞2，即不等式的解集为∪(2，＋∞)，故选D.]
4．(应用性质求参数的值)若函数f(x)＝xln(x＋) 为偶函数，则a＝________.
1　[法一：(定义法)由已知得f(－x)＝f(x)，即－xln(－x)＝xln(x＋)，则ln(x＋)＋ln(－x)＝0，
∴ln[()2－x2]＝0，得ln a＝0，
∴a＝1.
法二：(特值法)由已知得f(1)＝f(－1)，即ln(1＋)＝－ln(－1＋)，得ln(1＋)＋ln(－1＋)＝0，
即(1＋)(－1＋)＝1，解得a＝1.
检验：将a＝1代入f(x)的解析式，得f(x)＝xln(x＋)，则f(－x)＝－xln(－x＋)＝xln＝xln(＋x)＝f(x)，即f(x)为偶函数，∴a＝1.]
　函数的零点及应用(5年3考)

[高考解读]　以基本初等函数为载体，考查函数零点的求法，考查学生等价转化的能力和数形结合的意识，考查学生直观想象的素养.
1．(2019·全国卷Ⅲ)函数f(x)＝2sin x－sin 2x在[0,2π]的零点个数为(　　)
A．2　　　　　 B．3
C．4 D．5
B　[令f(x)＝0，得2sin x－sin 2x＝0，
即2sin x－2sin xcos x＝0，
∴2sin x(1－cos x)＝0，∴sin x＝0或cos x＝1.
又x∈[0,2π]，
∴由sin x＝0得x＝0，π得2π，由cos x＝1得x＝0或2π.
故函数f(x)的零点为0，π，2π，共3个．
故选B.]
2．(2018·全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝g(x)＝f(x)＋x＋a.若g(x)存在2个零点，则a的取值范围是(　　)
A．[－1,0) B．[0，＋∞)
C．[－1，＋∞) D．[1，＋∞)
C　[函数g(x)＝f(x)＋x＋a存在2个零点，即关于x的方程f(x)＝－x－a有2个不同的实根，即函数f(x)的图象与直线y＝－x－a有2个交点，作出直线y＝－x－a与函数f(x)的图象，如图所示，由图可知，－a≤1，解得a≥－1，故选C.]
3．[一题多解](2017·全国卷Ⅲ)已知函数f(x)＝x2－2x＋a(ex－1＋e－x＋1)有唯一零点，则a＝(　　)
A．－　　　　　 B.
C. D．1
切入点：思路一：借助函数图象的特征求解；
思路二：转化为两函数图象的交点问题．
C　[法一：(换元法)f(x)＝x2－2x＋a(ex－1＋e－x＋1)＝(x－1)2＋a[ex－1＋e－(x－1)]－1，
令t＝x－1，则g(t)＝f(t＋1)＝t2＋a(et＋e－t)－1.
∵g(－t)＝(－t)2＋a(e－t＋et)－1＝g(t)，
∴函数g(t)为偶函数．
∵f(x)有唯一零点，∴g(t)也有唯一零点．
又g(t)为偶函数，由偶函数的性质知g(0)＝0，
∴2a－1＝0，解得a＝.故选C.
法二：(等价转化法)f(x)＝0⇔a(ex－1＋e－x＋1)＝－x2＋2x.
ex－1＋e－x＋1≥2＝2，
当且仅当x＝1时取“＝”．
－x2＋2x＝－(x－1)2＋1≤1，当且仅当x＝1时取“＝”．
若a＞0，
则a(ex－1＋e－x＋1)≥2a，
要使f(x)有唯一零点，则必有2a＝1，即a＝.
若a≤0，则f(x)的零点不唯一．
故选C.]
[教师备选题]
(2018·全国卷Ⅲ)函数f(x)＝cos在[0，π]的零点个数为________．
3　[由题意知，cos＝0，所以3x＋＝＋kπ，k∈Z，所以x＝＋，k∈Z.当k＝0时，x＝；当k＝1时，x＝；当k＝2时，x＝，均满足题意，所以函数f(x)在[0，π]的零点个数为3.]

已知函数有零点(方程有根或图象有交点)求参数的值或取值范围常用的方法
(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的方程或不等式，再通过解方程或不等式确定参数的值或取值范围．
(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数最值问题加以解决．
(3)数形结合法：在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，然后数形结合求解．

1．(确定函数零点所在的区间)已知函数f(x)＝－x，那么在下列区间中含有函数f(x)零点的是(　　)
A. B.
C. D.
B　[f(0)＝1＞0，f＝－＞0，
f＝－＜0，f·f＜0，所以函数f(x)在区间必有零点，选B.]
2．(确定零点的个数)函数f(x)＝x2sin x－x，x∈(－π，π)的零点个数为(　　)
A．3个 B．4个
C．5个 D．6个
C　[由f(x)＝0得x2sin x－x＝0，即x(xsin x－1)＝0，则x＝0或xsin x－1＝0，由xsin x－1＝0得sin x＝，作出函数y＝sin x和y＝在x∈(－π，π)上的图象如图：由图象知函数y＝sin x和y＝在x∈(－π，π)上有四个交点，即此时方程xsin x－1＝0有四个根，即f(x)有5个零点，故选C.]
3．(函数的性质零点交汇)定义在R上的偶函数f(x)满足f(x＋1)＝－f(x)，当x∈[0,1]时，f(x)＝－2x＋1，设函数g(x)＝|(－1＜x＜3)，则函数f(x)与g(x)的图象所有交点的横坐标之和为(　　 )
A．2 B．4
C．6 D．8
B　[因为f(x＋1)＝－f(x)，所以f(x)周期为2，函数g(x)＝关于x＝1对称，作图可得四个交点横坐标关于x＝1对称，其和为2×2＝4，选B.]
4．(解的存在性问题)已知函数f(x)＝x2＋2x－(x＜0)与g(x)＝x2＋log2(x＋a)的图象上存在关于y轴对称的点，则a的取值范围是(　　 )
A．(－∞，－) B．(－∞，)
C．(－∞，2) D.
B　[由f(x)关于y轴对称的函数为h(x)＝f(－x)＝x2＋2－(x＞0)，
令h(x)＝g(x)，得2－x－＝log2(x＋a)(x＞0)，
则方程2－＝log2(x＋a)在(0，＋∞)上有解，
作出y＝2－与y＝log2(x＋a)的图象，如图所示．
当a≤0时，函数y＝2－与y＝log2(x＋a)的图象在(0，＋∞)上必有交点，符合题意，
当a＞0时，若两函数在(0，＋∞)上必有交点，则log2 a＜，解得0＜a＜，
综上可知，实数a的取值范围是(－∞，)，故选B.]