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    2020数学(理)二轮教师用书:第3部分策略12.数形结合思想

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    2020数学(理)二轮教师用书:第3部分策略12.数形结合思想

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    2.数形结合思想以形助数(数题形解)以数辅形(形题数解)  借助形的生动性和直观性来阐述数之间的关系,把数转化为形,即以形作为手段,数作为目的解决数学问题的数学思想.  借助于数的精确性和规范性及严密性来阐明形的某些属性,即以数作为手段,形作为目的解决问题的数学思想.  数形结合思想通过以形助数,以数辅形,使复杂问题简单化,抽象问题具体化,能够变抽象思维为形象思维,有助于把握数学问题的本质,它是数学的规律性与灵活性的有机结合.应用1 在求最值、零点等问题中的应用【典例1(1)记实数x1x2xn中最小数为min{x1x2xn},则定义在区间[0,+)上的函数f(x)min{x21x3,13x}的最大值为(  )A5        B6C8 D10(2)已知函数f(x)其中m0.若存在实数b,使得关于x的方程f(x)b有三个不同的根,则m的取值范围是________切入点:(1)画出函数f(x)的图象,借助图象,直观可得最值.(2)画出yf(x)yb的图象,数形结合求解.(1)C (2)(3,+∞) [(1)在同一坐标系中作出三个函数yx21yx3y13x的图象如图.由图可知,在实数集R上,min{x21x3,13x}yx3A点下方的射线,抛物线AB之间的部分,线段BC,与直线y13xC下方的部分的组合图,显然,在区间[0,+∞)上,在C点时,ymin{x21x3,13x}取得最大值.解方程组得点C(5,8)所以f(x)max8.(2)作出f(x)的图象如图所示.当xm时,x22mx4m(xm)24mm2.要使方程f(x)b有三个不同的根,则有4mm2m,即m23m0.m0,解得m3.]【对点训练1(1)(2019·天津高考)已知函数f(x)若关于x的方程f(x)=-xa(aR)恰有两个互异的实数解,则a的取值范围为(  )A.   B.C.{1}   D.{1}(2)(2019·乌鲁木齐高三质量检测)函数f(x)的图象与函数g(x)2sin x在区间[0,4]上的所有交点为(x1y1)(x2y2)(xnyn),则f(y1y2yn)g(x1x2xn)________.(1)D (2) [(1)如图,分别画出两函数yf(x)y=-xa的图象.先研究当0x1时,直线y=-xayx的图象只有一个交点的情况.当直线y=-xa过点B(1,2)时,2=-a,解得a.所以0a.再研究当x1时,直线y=-xay的图象只有一个交点的情况:相切时,由y=-=-,得x2,此时切点为2,则a1.相交时,由图象可知直线y=-xa从过点A向右上方移动时与y的图象只有一个交点.过点A(1,1)时,1=-a,解得a.所以a.结合图象可得,所求实数a的取值范围为{1}.故选D.(2)如图,画出函数f(x)g(x)[0,4]上的图象,可知有4个交点,并且关于点(2,0)对称,所以y1y2y3y40x1x2x3x48,所以f(y1y2y3y4)g(x1x2x3x4)f(0)g(8)0.]应用2 在求解不等式或参数范围中的应用【典例2】 已知函数f(x)|f(x)|ax,则a的取值范围是(  )A(0] B(1]C[2,1] D[2,0]切入点:先画出函数的图象,数形结合求解D [作出函数y|f(x)|的图象,如图,当|f(x)|ax时,必有ka0,其中kyx22x(x0)在原点处的切线斜率,显然,k=-2.a的取值范围是[2,0]]【对点训练2(1)(2019·武昌模拟)xy满足约束条件,则z2xy的取值范围是(  )A[2,6] B[3,6]C[3,12] D[6,12](2)(2019·全国卷)设函数f(x)的定义域为R,满足f(x1)2f(x),且当x(0,1]时,f(x)x(x1).若对任意x(m],都有f(x),则m的取值范围是(  )A.   B.C.   D.(1)C (2)B [(1)不等式组表示的平面区域如图中三角形ABC(包括边界)所示,作出直线2xy0并平移,可知当直线z2xy经过点A时,z取得最小值,解方程组,即A(1,1),所以zmin2×113,当直线z2xy经过点B时,z取得最大值,解方程组,即B(5,2),所以zmax2×5212,所以z的取值范围为[3,12],故选C.(2)当-1x0时,0x11,则f(x)f(x1)(x1)x;当1x2时,0x11,则f(x)2f(x1)2(x1)(x2);当2x3时,0x21,则f(x)2f(x1)22f(x2)22(x2)(x3)由此可得f(x)由此作出函数f(x)的图象,如图所示.由图可知当2x3时,令22(x2)(x3)=-,整理,得(3x7)(3x8)0,解得xx,将这两个值标注在图中.要使对任意x(m]都有f(x),必有m,即实数m的取值范围是,故选B.]应用3 在平面向量中的应用【典例3】 已知ab是单位向量,a·b0.若向量c满足|cab|1,则|c|的最大值为(  )A.1   B.C.1   D.2切入点:ab是单位向量,a·b0可联想坐标法,以ab所在直线建系求解.C [|a||b|1,且a·b0可设a(1,0)b(0,1)c(xy)cab(x1y1)|cab|11(x1)2(y1)21.|c|,如图所示.由图可知,当c对应的点(xy)在点C处时,|c|有最大值且|c|max11.]【对点训练3】 已知abe是平面向量,e是单位向量.若非零向量ae的夹角为,向量b满足b24e·b30,则|ab|的最小值是(  )A.1   B.1C2 D2A [O为坐标原点,ab(xy)e(1,0),由b24e·b30x2y24x30,即(x2)2y21,所以点B的轨迹是以C(2,0)为圆心,1为半径的圆.因为ae的夹角为,所以不妨令点A在射线yx(x0)上,如图,数形结合可知|ab|min||||1.故选A.]应用4 在解析几何中的应用【典例4(1)已知圆C(x3)2(y4)21和两点A(m,0)B(m,0)(m0).若圆C上存在点P,使得APB90°,则m的最大值为(  )A7 B6C5 D4(2)已知抛物线的方程为x28yF是其焦点,点A(2,4),在此抛物线上求一点P,使APF的周长最小,此时点P的坐标为________切入点:(1)APB90°,则点P落在以AB为直径的圆上,画出图形,结合点与圆的位置关系求解.(2)画出图形,结合图形知APF的周长取得最小值时P点的位置.(1)B (2) [(1)根据题意,画出示意图,如图所示,则圆心C的坐标为(3,4),半径r1,且|AB|2m,因为APB90°,连接OP,易知|OP||AB|m.要求m的最大值,即求圆C上的点P到原点O的最大距离.因为|OC|5,所以|OP|max|OC|r6,即m的最大值为6.(2)因为(2)28×4,所以点A(2,4)在抛物线x28y的内部,如图,设抛物线的准线为l,过点PPQl于点Q,过点AABl于点B,连接AQ,由抛物线的定义可知APF的周长为|PF||PA||AF||PQ||PA||AF||AQ||AF||AB||AF|,当且仅当PBA三点共线时,APF的周长取得最小值,即|AB||AF|.因为A(2,4)所以不妨设APF的周长最小时,点P的坐标为(2y0)代入x28y,得y0故使APF的周长最小的抛物线上的点P的坐标为.]【对点训练4】 已知P是直线l3x4y80上的动点,PAPB是圆x2y22x2y10的两条切线,AB是切点,C是圆心,则四边形PACB面积的最小值为________2 [从运动的观点看问题,当动点P沿直线3x4y80向左上方或右下方无穷远处运动时,直角三角形PAC的面积SPAC|PA|·|AC||PA|越来越大,从而S四边形PACB也越来越大;当点P从左上、右下两个方向向中间运动,S四边形PACB变小,显然,当点P到达一个最特殊的位置,即CP垂直于直线l时,S四边形PACB应有唯一的最小值,此时|PC|3从而|PA|2.所以(S四边形PACB)min2××|PA|×|AC|2.]

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