课时作业（二十六） 平面向量基本定理及坐标表示 练习
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一、选择题
1．在平行四边形ABCD中，AC为对角线，若＝(2,4)，＝(1,3)，则＝( )
A．(－2，－4) B．(－3，－5)
C．(3,5) D．(2,4)
解析：由题意得＝－＝－＝(－)－＝－2＝(1,3)－2(2,4)＝(－3，－5)．
答案：B
2．已知A(－1，－1)，B(m，m＋2)，C(2,5)三点共线，则m的值为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：＝(m，m＋2)－(－1，－1)＝(m＋1，m＋3)，
＝(2,5)－(－1，－1)＝(3,6)，
∵A，B，C三点共线，∴3(m＋3)－6(m＋1)＝0，
∴m＝1.故选A.
答案：A
3．如图，在△OAB中，P为线段AB上的一点，＝x＋y，且BP＝2，则( )
A．x＝，y＝
B．x＝，y＝
C．x＝，y＝
D．x＝，y＝
解析：由题意知＝＋，又＝2，所以＝＋＝＋(－)＝＋，所以x＝，y＝.
答案：A
4．(2017·福建福州一中模拟)已知△ABC和点M满足＋＋＝0.若存在实数m，使得＋＝m成立，则m＝( )
A．2 B．3
C．4 D．5
解析：由＋＋＝0知，点M为△ABC的重心，设点D为边BC的中点，则＝＝×(＋)＝(＋)，所以＋＝3，故m＝3，故选B.
答案：B
5．如图，在三角形ABC中，BE是边AC的中线，O是BE边的中点，若＝a，＝b，则＝( )
A.a＋b
B.a＋b
C.a＋b
D.a＋b
解析：∵在三角形ABC中，BE是AC边上的中线，
∴＝.
∵O是BE边的中点，
∴＝(＋)＝＋＝a＋b.
答案：D
6．(2017·广东茂名二模)已知向量a＝(3，－2)，b＝(x，y－1)且a∥b，若x，y均为正数，则＋的最小值是( )
A．24 B．8
C. D.
解析：∵a∥b，∴－2x－3(y－1)＝0，即2x＋3y＝3，
∴＋＝×(2x＋3y)＝≥＝8，当且仅当2x＝3y＝时，等号成立．
∴＋的最小值是8.故选B.
答案：B
二、填空题
7．已知向量a＝(1－sin θ，1)，b＝，若a∥b，则锐角θ＝________.
解析：因为a∥b，所以(1－sin θ)×(1＋sin θ)－1×＝0，得cos2θ＝，所以cos θ＝±，又∵θ为锐角，∴θ＝.
答案：
8．在△ABC中，点P在BC上，且＝2，点Q是AC的中点，若＝(4,3)，＝(1,5)，则＝________.
解析：＝－＝(－3,2)，
∴＝2＝(－6,4)．
＝＋＝(－2,7)，
∴＝3＝(－6,21)．
答案：(－6,21)
9．(2017·山西晋中四校联考)在平行四边形ABCD中，E和F分别是边CD和BC的中点，若＝λ＋μ，其中λ，μ∈R，则λ＋μ＝________.
解析：解法一：如右图．
∵四边形ABCD为平行四边形，且E、F分别为CD、BC的中点，
∴＝＋＝(－)＋(－)
＝(＋)－(＋)＝(＋)－，
∴＝(＋)，∴λ＝μ＝，∴λ＋μ＝.
解法二(回路法)：连接EF交AC于M.
因为E、F分别为CD、BC的中点，
所以点M为AC的四等分点，且＝，
又＝λ＋μ，
所以＝λ＋μ.
因为M、E、F三点共线，所以(λ＋μ)＝1，
所以λ＋μ＝.
答案：
三、解答题
10．如图，以向量＝a，＝b为邻边作▱OADB，＝，＝，用a，b表示，，.
解析：∵＝－＝a－b，
＝＝a－b，
∴＝＋＝a＋b，
∵＝a＋b，
∴＝＋＝＋
＝＝a＋b.
∴＝－＝a＋b－a－b＝a－b.
综上，＝a＋b，＝a＋b，＝a－b.
11．已知A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)．设＝a，＝b，＝c，且＝3c，＝－2b，
(1)求3a＋b－3c；
(2)求满足a＝mb＋nc的实数m、n；
(3)求M，N的坐标及向量的坐标．
解析：由已知得a＝(5，－5)，b＝(－6，－3)，c＝(1,8)．
(1)3a＋b－3c＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1,8)
＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)．
(2)∵mb＋nc＝(－6m＋n，－3m＋8n)，
∴解得
(3)设O为坐标原点，∵＝－＝3c，
∴＝3c＋＝(3,24)＋(－3，－4)＝(0,20)．
∴M(0,20)．
又∵＝－＝－2b，
∴＝－2b＋＝(12,6)＋(－3，－4)＝(9,2)，
∴N(9,2)，∴＝(9，－18)．
12．已知A(1,1)，B(3，－1)，C(a，b)．
(1)若A，B，C三点共线，求a，b的关系式；
(2)若＝2，求点C的坐标．
解析：(1)由已知得＝(2，－2)，＝(a－1，b－1)，
∵A，B，C三点共线，∴∥.
∴2(b－1)＋2(a－1)＝0，即a＋b＝2.
(2)∵＝2，∴(a－1，b－1)＝2(2，－2)．
∴解得
∴点C的坐标为(5，－3)．
