课时作业(二十三) 正弦定理和余弦定理 练习

课时作业(二十三)　正弦定理和余弦定理

一、选择题

1．(2016·天津卷)在△ABC中，若AB＝，BC＝3，∠C＝120°，则AC＝(　　)

A．1　　　B．2

C．3      D．4

解析：在△ABC中，设A、B、C所对的边分别为a，b，c，则由c2＝a2＋b2－2abcos C，得13＝9＋b2－2×3b×，即b2＋3b－4＝0，解得b＝1(负值舍去)，即AC＝1.故选A.

答案：A

2．(2017·湖南岳阳二模)已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，如果满足条件：asin Asin B＋bcos2A＝a，则＝(　　)

A．2   B．2

C.     D.

解析：由正弦定理及asin Asin B＋bcos2A＝a，得sin Asin Asin B＋sin Bcos2A＝sin A，即sin B(sin2A＋cos2A)＝sin A，所以sin B＝sin A，所以＝，故选D.

答案：D

3．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.若c2＝(a－b)2＋6，C＝，则△ABC的面积是(　　)

A．3     B.

C.    D．3

解析：由c2＝(a－b)2＋6，得a2＋b2－c2＝2ab－6.①

由余弦定理及C＝，得a2＋b2－c2＝ab.②

由①②得2ab－6＝ab，即ab＝6.

所以S△ABC＝absin C＝×6×＝.

答案：C

4．已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，且(b－c)(sin B＋sin C)＝(a－c)sin A，则角B的大小为(　　)

A．30°  B．45°

C．60°  D．120°

解析：由正弦定理＝＝及(b－c)·(sin B＋sin C)＝(a－c)sin A得(b－c)(b＋c)＝(a－c)a，即b2－c2＝a2－ac，所以a2＋c2－b2＝ac，又因为cos B＝，所以cos B＝，所以B＝30°.

答案：A

5．(2017·山西太原五中模拟)在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若sin A＝，a＝2，S△ABC＝，则b的值为(　　)

A.     B.

C．2  D．2

解析：在锐角△ABC中，sin A＝，

S△ABC＝，

∴cos A＝＝，bcsin A＝bc·＝，

∴bc＝3，①

由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos A，

∴(b＋c)2＝a2＋2bc(1＋cos A)

＝4＋6×＝12，

∴b＋c＝2.②

由①②得b＝c＝，故选A.

答案：A

6．(2017·辽宁五校第一次联考)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若直线bx＋ycos A＋cos B＝0与ax＋ycos B＋cos A＝0平行，则△ABC一定是(　　)

A．锐角三角形  B．等腰三角形

C．直角三角形  D．等腰或者直角三角形

解析：解法一：由两直线平行可得bcos B－acos A＝0，由正弦定理可知sin Bcos B－sin Acos A＝0，即sin 2A＝sin 2B，又A、B∈(0，π)，且A＋B∈(0，π)，所以2A＝2B或2A＋2B＝π，即A＝B或A＋B＝.若A＝B，则a＝b，cos A＝cos B，此时两直线重合，不符合题意，舍去，故A＋B＝，则△ABC是直角三角形，故选C.

解法二：由两直线平行可得bcos B－acos A＝0，由余弦定理，得a·＝b·，所以a2(b2＋c2－a2)＝b2(a2＋c2－b2)，所以c2(a2－b2)＝(a2＋b2)(a2－b2)，所以(a2－b2)(a2＋b2－c2)＝0，所以a＝b或a2＋b2＝c2.若a＝b，则两直线重合，不符合题意，故a2＋b2＝c2，则△ABC是直角三角形，故选C.

答案：C

二、填空题

7．(2016·课标全国卷Ⅱ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cos A＝，cos C＝，a＝1，则b＝________.

解析：由已知可得sin A＝，sin C＝，

则sin B＝sin(A＋C)＝×＋×＝，

再由正弦定理可得＝⇒b＝＝.

答案：

8．(2017·云南省第一次统一检测)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，如果△ABC的面积等于8，a＝5，tan B＝－，那么＝________.

解析：△ABC中，∵tan B＝－，∴sin B＝，cos B＝－， 又S△ABC＝acsin B＝2c＝8，.∴c＝4，∴b＝＝，∴＝＝.

答案：

9．已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，a＝2，且(2＋b)(sin A－sin B)＝(c－b)sin C，则△ABC面积的最大值为________．

解析：由正弦定理，可得(2＋b)(a－b)＝(c－b)·c.

∵a＝2，∴a2－b2＝c2－bc，即b2＋c2－a2＝bc.

由余弦定理，得cos A＝＝.

∴sin A＝.

由b2＋c2－bc＝4，得b2＋c2＝4＋bc.

∵b2＋c2≥2bc，即4＋bc≥2bc，∴bc≤4.

∴S△ABC＝bc·sin A≤，即(S△ABC)max＝.

答案：

三、解答题

10．(2016·北京卷)在△ABC中，a2＋c2＝b2＋ac.

(1)求∠B的大小；

(2)求cos A＋cos C的最大值．

解析：(1)由余弦定理及题设得，

cos B＝＝＝.

又因为0＜∠B＜π，所以∠B＝.

(2)由(1)知∠A＋∠C＝.

cos A＋cos C＝cos A＋cos

＝cos A－cos A＋sin A

＝cos A＋sin A＝cos.

因为0＜∠A＜，

所以当∠A＝时，cos A＋cos C取得最大值1.

11．(2016·四川卷)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且＋＝.

(1)证明：sin Asin B＝sin C；

(2)若b2＋c2－a2＝bc，求tan B.

解析：(1)证明：根据正弦定理，

可设＝＝＝k(k>0)．

则a＝ksin A，b＝ksin B，c＝ksin C，

代入＋＝中，有＋＝，变形可得

sin Asin B＝sin Acos B＋cos Asin B＝sin(A＋B)．

在△ABC中，由A＋B＋C＝π，

有sin(A＋B)＝sin(π－C)＝sin C，

所以sin Asin B＝sin C.

(2)由已知，b2＋c2－a2＝bc，根据余弦定理，有

cos A＝＝，

所以sin A＝＝.

由(1)，知sin Asin B＝sin Acos B＋cos Asin B，

所以sin B＝cos B＋sin B，

故tan B＝＝4.

12．(2017·吉林东北师大附中月考)在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，面积为S，已知2acos2＋2ccos2＝b.

(1)求证：2(a＋c)＝3b；

(2)若cos B＝，S＝，求b.

解析：(1)证明：由条件得a(1＋cos C)＋c(1＋cos A)＝b，

由于acos C＋ccos A＝b，所以a＋c＝b，

即2(a＋c)＝3b.

(2)在△ABC中，因为cos B＝，所以sin B＝.

由S＝acsin B＝ac＝，得ac＝8，

又b2＝a2＋c2－2accos B＝(a＋c)2－2ac(1＋cos B)，

2(a＋c)＝3b，

所以＝16×，所以b＝4.