课时作业(二十七) 平面向量的数量积与应用举例 练习

课时作业(二十七)　平面向量的数量积与应用举例

一、选择题

1．设向量a＝(1,0)，b＝，则下列结论中正确的是(　　)

A．|a|＝|b|　　　　　　B．a·b＝

C．a－b与b垂直     D．a∥b

解析：由题意知|a|＝＝1，|b|＝＝，a·b＝1×＋0×＝，(a－b)·b＝a·b－|b|2＝－＝0，故a－b与b垂直．

答案：C

2．已知平面向量a，b的夹角为，且a·(a－b)＝8，|a|＝2，则|b|等于(　　)

A.  B．2

C．3  D．4

解析：因为a·(a－b)＝8，所以a·a－a·b＝8，即|a|2－|a||b|cos〈a，b〉＝8，所以4＋2|b|×＝8，解得|b|＝4.

答案：D

3．已知在△ABC中，AB＝6，AC＝4，·＝0，其中D为BC的中点，则·＝(　　)

A．4     B．10

C．－4   D．－10

解析：·＝(＋)·＝·＝(＋)·(－)＝(||2－||2)＝(42－62)＝－10.

答案：D

4．(2016·全国丙，理)已知向量＝，＝，则∠ABC＝(　　)

A．30°  B．45°

C．60°  D．120°

解析：由题意得

cos∠ABC＝＝＝，

所以∠ABC＝30°，故选A.

答案：A

5．(2017·新疆维吾尔自治区二检)已知向量a，b满足a⊥b，|a|＝2，|b|＝3，且3a＋2b与λa－b垂直，则实数λ的值为(　　)

A.     B．－

C．±  D．1

解析：因为a⊥b，所以a·b＝0.

又(3a＋2b)⊥(λa－b)，

所以(3a＋2b)·(λa－b)＝3λa2－3a·b＋2λa·b－2b2＝12λ－18＝0，解得λ＝.

答案：A

6．(2016·天津，理)已知△ABC是边长为1的等边三角形，点D，E分别是边AB，BC的中点，连接DE并延长到点F，使得DE＝2EF，则·的值为(　　)

A．－   B.

C.      D.

解析：设＝a，＝b，则＝＝(b－a)，＝＝(b－a)，＝＋＝－a＋(b－a)＝－a＋b.故·＝－a·b＋b2＝－＋＝，应选B.

答案：B

二、填空题

7．(2016·全国卷Ⅰ)设向量a＝(x，x＋1)，b＝(1,2)，且a⊥b，则x＝________.

解析：因为a＝(x，x＋1)，b＝(1,2)，a⊥b，所以a·b＝0，所以x＋2(x＋1)＝0，解得x＝－.

答案：－

8．在△ABC中，若·＝·＝·，则点O△ABC的________(填“重心”、“垂心”、“内心”、“外心”)．

解析：∵·＝·，

∴·(－)＝0，

∴·＝0，

∴OB⊥CA，即OB为△ABC底边CA上的高所在直线．

同理·＝0，·＝0，故O是△ABC的垂心．

答案：垂心

9．在△ABC中，已知·＝4，||＝3，M，N分别是BC边上的三等分点，则·的值是________．

解析：设＝a，＝b，则a·b＝4，||＝|－|＝|b－a|＝3，∴a2－2a·b＋b2＝9，∴a2＋b2＝17，∴·＝(a＋b)·(a＋b)＝a2＋b2＋a·b＝×17＋×4＝6.

答案：6

三、解答题

10．已知|a|＝4，|b|＝8，a与b的夹角是120°.

(1)计算：①|a＋b|，②|4a－2b|；

(2)当k为何值时，(a＋2b)⊥(ka－b)．

解析：由已知得，a·b＝4×8×＝－16.

(1)①∵|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝16＋2×(－16)＋64＝48，∴|a＋b|＝4.

②∵|4a－2b|2＝16a2－16a·b＋4b2＝16×16－16×(－16)＋4×64＝768，

∴|4a－2b|＝16.

(2)∵(a＋2b)⊥(ka－b)，∴(a＋2b)·(ka－b)＝0，

∴ka2＋(2k－1)a·b－2b2＝0，

即16k－16(2k－1)－2×64＝0.∴k＝－7.

即k＝－7时，a＋2b与ka－b垂直．

11．(2017·上海静安区一模)如图，已知O为坐标原点，向量＝(3cos x,3sin x)，＝(3cos x，sin x)，＝(，0)，x∈.

(1)求证：(－)⊥；

(2)若△ABC是等腰三角形，求x的值．

解析：(1)证明：∵－＝(0,2sin x)，

∴(－)·＝0×＋2sin x×0＝0，

∴(－)⊥.

(2)若△ABC是等腰三角形，则AB＝BC，

∴(2sin x)2＝(3cos x－)2＋sin2x，

整理得2cos2x－cos x＝0，

解得cos x＝0，或cos x＝.

∵x∈，∴cos x＝，x＝.

12．(2017·东北三校第一次联考)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量m＝(cos(A－B)，sin(A－B))，n＝(cos B，－sin B)，且m·n＝－.

(1)求sin A的值；

(2)若a＝4，b＝5，求角B的大小及向量在方向上的投影．

解析：(1)由m·n＝－，

得cos〈A－B〉cos B－sin(A－B)sin B＝－，

所以cos A＝－

因为0<A<π，

所以sin A＝

＝＝.

(2)由正弦定理，得＝，

则sin B＝＝＝，

因为a>b，所以A>B，则B＝，

由余弦定理得(4)2＝52＋c2－2×5c×，解得c＝1.

故向量在方向上的投影为

||cos B＝ccos B＝1×＝.