课时作业(二十一) 两角和与差的正弦、余弦和正切公式 练习
展开课时作业(二十一) 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
一、选择题
1．(2017·陕西西安质检)sin 45°cos 15°＋cos 225°sin 165°＝( )
A．1 B.
C. D．－
解析：sin 45°cos 15°＋cos 225°sin 165°＝sin 45°cos 15°＋(－cos 45°)sin 15°＝sin(45°－15°)＝sin 30°＝.
答案：B
2．(2017·河北三市第二次联考)若2sin＝3sin(π－θ)，则tan θ等于( )
A．－ B.
C. D．2
解析：由已知得sin θ＋cos θ＝3sin θ，
即2sin θ＝cos θ，所以tan θ＝.故选B.
答案：B
3．已知sin α＋cos α＝，α，β∈(0，π)，且cos β＝，则sin(α＋β)＝( )
A．－ B．－
C．0 D.
解析：由sin α＋cos α＝，两边平方后可得sin α·cos α＝－，α∈(0，π)可得α∈，结合sin2α＋cos2α＝1，可得cos α＝－，sin α＝，由cos β＝>0，β∈(0，π)，可得β∈，sin β＝，
故sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝0.
答案：C
4．已知sin α＝且α为第二象限角，则tan＝( )
A．－ B．－
C．－ D．－
解析：由题意得cos α＝－，则sin 2α＝－，cos 2α＝2cos2α－1＝.
∴tan 2α＝－，∴tan＝＝＝－.
答案：D
5．已知sin＝，cos 2α＝，则sin α＝( )
A. B．－
C. D．－
解析：由sin＝得sin α－cos α＝， ①
由cos 2α＝得cos2α－sin2α＝，
所以(cos α－sin α)·(cos α＋sin α)＝， ②
由①②可得cos α＋sin α＝－， ③
由①③可得sin α＝.
答案：C
6．(2017·广西质量检测)已知<α<π，3sin 2α＝2cos α，则cos(α－π)等于( )
A. B.
C. D.
解析：由3sin 2α＝2cos α，得sin α＝.因为<α<π，所以cos(α－π)＝－cos α＝＝.
答案：C
二、填空题
7．计算＝________.
解析：＝
＝＝＝.
答案：
8．(2016·浙江，10)已知2cos2x＋sin 2x＝Asin(ωx＋φ)＋b(A>0)，则A＝________，b＝________.
解析：∵2cos2x＋sin 2x＝1＋cos 2x＋sin 2x
＝sin＋1，∴A＝，b＝1.
答案：；1
9．(2017·山东济宁一模，14)已知α，β∈，tan(α＋β)＝9tan β，则tan α的最大值为________．
解析：∵α，β∈，∴tan α>0，tan β>0，
∴tan α＝tan(α＋β－β)＝＝＝≤＝
，
即(tan α)max＝.
答案：
三、解答题
10．(2017·广东六校联考)已知函数f(x)＝sin，x∈R.
(1)求f的值；
(2)若cos θ＝，θ∈，求f.
解析：(1)f＝sin
＝sin＝－.
(2)f＝sin＝sin
＝(sin 2θ－cos 2θ)．
因为cos θ＝，θ∈，
所以sin θ＝，
所以sin 2θ＝2sin θcos θ＝，
cos 2θ＝cos2θ－sin2θ＝，
所以f＝(sin 2θ－cos 2θ)
＝×＝.
11．已知α∈，β∈，cos 2β＝－，sin(α＋β)＝.
(1)求cos β的值；
(2)求sin α的值．
解析：(1)cos2β＝＝＝，
又∵β∈，∴cos β＝－.
(2)由(1)知sin β＝＝＝.
由α∈，β∈，得(α＋β)∈.
cos(α＋β)＝－＝－
＝－.
sin α＝sin(α＋β－β)＝sin(α＋β)cos β－cos(α＋β)sin β
＝×－×＝.
12．已知0<α<<β<π，tan ＝，cos(β－α)＝.
(1)求sin α的值；
(2)求β的值．
解析：(1)∵tan ＝，
∴tan α＝＝＝，
由
解得sin α＝.
(2)由(1)知cos α＝＝＝，
又0<α<<β<π，∴β－α∈(0，π)，
而cos(β－α)＝，
∴sin(β－α)＝＝＝，
于是sin β＝sin[α＋(β－α)]
＝sin αcos (β－α)＋cos αsin(β－α)
＝×＋×＝.
又β∈，∴β＝.
