课时作业(二十五) 平面向量的概念及其线性运算 练习
展开课时作业(二十五) 平面向量的概念及其线性运算
一、选择题
1．在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，若＋＝λ，则λ＝( )
A．1 B．2
C．4 D．6
解析：根据向量加法的运算法则可知，＋＝＝2，故λ＝2.
答案：B
2．在△ABC中，＝2，＝a，＝b，＝c，则下列等式成立的是( )
A．c＝2b－a B．c＝2a－b
C．c＝－ D．c＝－
解析：依题意得－＝2(－)，
＝－＝b－a.
答案：D
3．(2017·咸阳二模)对于非零向量a，b，“2a＋3b＝0”是“a∥b”成立的( )
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：2a＋3b＝0⇔a＝－b⇒a∥b，但由a∥b不一定能得到a＝－b，故选A.
答案：A
4．在四边形ABCD中，＝a＋2b，＝－4a－b，＝－5a－3b，则四边形ABCD的形状是( )
A．矩形 B．平行四边形
C．梯形 D．以上都不对
解析：由已知，得＝＋＋＝－8a－2b＝2(－4a－b)＝2，故∥.又因为与不平行，所以四边形ABCD是梯形．
答案：C
5．在△ABC中，＝c，＝b.若点D满足＝2，则＝( )
A.b＋c B.c－b
C.b－c D.b＋c
解析：
如图所示，可知＝＋(－)＝c＋(b－c)＝b＋c.
答案：A
6．(2017·银川一模)已知△ABC的三个顶点A，B，C及平面内一点P满足＋＋PC＝，则点P与△ABC的关系为( )
A．P在△ABC内部
B．P在△ABC外部
C．P在AB边所在的直线上
D．P是AC边的一个三等分点
解析：∵＋＋＝，∴＋＋＝－，∴＝－2＝2，∴P是AC边上靠近点A的一个三等分点．
答案：D
二、填空题
7．下列与共线向量有关的命题：
①相反向量就是方向相反的向量；
②若a与b同向，且|a|>|b|，则a>b；
③λ，μ为实数，若λa＝μb，则a与b共线；
④两向量平行是这两个向量相等的必要不充分条件．
其中错误命题的序号为________．
解析：①不正确．相反向量满足方向相反，长度相等．②不正确，两向量不能比较大小；③不正确．当λ＝μ＝0时，a与b可能不共线；④正确．
答案：①②③
8．(2015·课标全国卷Ⅱ)设向量a，b不平行，向量λa＋b与a＋2b平行，则实数λ＝________.
解析：由题意知存在常数t∈R，使λa＋b＝t(a＋2b)，
得，解之得λ＝.
答案：
9．设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD＝AB，BE＝BC.若＝λ1＋λ2(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．
解析：＝＋＝＋＝＋(＋)＝－＋，所以λ1＝－，λ2＝，即λ1＋λ2＝.
答案：
三、解答题
10．如图，四边形ABCD是一个等腰梯形，AB∥DC，M，N分别是DC，AB的中点，已知＝a，＝b，＝c，试用a，b，c，表示，，＋.
解析：＝＋＋＝－a＋b＋c
因为＝＋＋，＝＋＋，
所以2＝＋＋＋＋＋
＝－－
＝－b－(－a＋b＋c)
＝a－2b－c，
所以＝a－b－c.
＋＝＋＋＋＝2＝a－2b－c.
11．设e1，e2是两个不共线的向量，已知＝2e1－8e2，＝e1＋3e2，＝2e1－e2.
(1)求证：A，B，D三点共线；
(2)若＝3e1－ke2，且B，D，F三点共线，求k的值．
解析：(1)证明：由已知得＝－＝(2e1－e2)－(e1＋3e2)＝e1－4e2，
∵＝2e1－8e2，
∴＝2.
又∵与有公共点B，
∴A，B，D三点共线．
(2)由(1)可知＝e1－4e2，
∵＝3e1－ke2，且B，D，F三点共线，
∴＝λ(λ∈R)，
即3e1－ke2＝λe1－4λe2，
得
解得k＝12.
12．已知O，A，B是不共线的三点，且＝m＋n(m，n∈R)．
(1)若m＋n＝1，求证：A，P，B三点共线；
(2)若A，P，B三点共线，求证：m＋n＝1.
证明：(1)若m＋n＝1，
则＝m＋(1－m)
＝＋m(－)，
∴－＝m(－)，
即＝m，∴与共线．
又∵与有公共点B，
∴A，P，B三点共线．
(2)若A，P，B三点共线，
存在实数λ，使＝λ，
∴－＝λ(－)．
∵又＝m＋n.
故有m＋(n－1)＝λ－λ，
即(m－λ)＋(n＋λ－1)＝0.
∵O，A，B不共线，∴，不共线，
∴∴m＋n＝1.
