课时作业(六十二) 坐标系 练习

课时作业(六十二)　坐标系

1．求椭圆＋y2＝1，经过伸缩变换后的曲线方程．

解析：由得到①

将①代入＋y2＝1，得＋y′2＝1，即x′2＋y′2＝1.

因此椭圆＋y2＝1经伸缩变换后得到的曲线方程是x2＋y2＝1.

2．(1)化圆的直角坐标方程x2＋y2＝r2(r>0)为极坐标方程；

(2)化曲线的极坐标方程ρ＝8sinθ为直角坐标方程．

解析：(1)将x＝ρcosθ ，y＝ρsinθ代入x2＋y2＝r2，

得ρ2cos2θ＋ρ2sin2θ＝r2，ρ2(cos2θ＋sin2θ)＝r2，ρ＝r.

所以，以极点为圆心、半径为r的圆的极坐标方程为

ρ＝r(0≤θ<2π)．

(2)法一：把ρ＝，sinθ＝代入ρ＝8sinθ，

得＝8·，

即x2＋y2－8y＝0，

即x2＋(y－4)2＝16.

法二：方程两边同时乘以ρ，

得ρ2＝8ρsinθ，

即x2＋y2－8y＝0.

3．在极坐标系下，已知圆O：ρ＝cosθ＋sinθ和直线l：ρsin＝.(ρ≥0,0≤θ<2π)．

(1)求圆O和直线l的直角坐标方程；

(2)当θ∈(0，π)时，求直线l与圆O的公共点的极坐标．

解析：(1)圆O：ρ＝cosθ＋sinθ，即ρ2＝ρcosθ＋ρsinθ，

故圆O的直角坐标方程为：x2＋y2－x－y＝0，

直线l：ρsin＝，即ρsinθ－ρcosθ＝1，

则直线l的直角坐标方程为：x－y＋1＝0.

(2)由(1)知圆O与直线l的直角坐标方程，

将两方程联立得，解得，即圆O与直线l在直角坐标系下的公共点为(0,1)，

将(0,1)转化为极坐标为，即为所求．

4．(2017·邯郸调研)在极坐标系中，已知直线l过点A(1,0)，且其向上的方向与极轴的正方向所成的最小正角为，求：

(1)直线的极坐标方程；

(2)极点到该直线的距离．

解析：(1)如图，由正弦定理得

＝.

即ρsin＝sin＝，

∴所求直线的极坐标方程为ρsin＝.

(2)作OH⊥l，垂足为H，

在△OHA中，OA＝1，∠OHA＝，∠OAH＝，

则OH＝OAsin＝，

即极点到该直线的距离等于.

5．在极坐标系中，曲线C的方程为ρ2＝，点R.

(1)以极点为原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，把曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，R点的极坐标化为直角坐标；

(2)设P为曲线C上一动点，以PR为对角线的矩形PQRS的一边垂直于极轴，求矩形PQRS周长的最小值，及此时P点的直角坐标．

解析：(1)∵x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，

∴曲线C的直角坐标方程为＋y2＝1，

点R的直角坐标为R(2,2)．

(2)设P(cosθ，sinθ)，

根据题意可得|PQ|＝2－cosθ，|QR|＝2－sinθ，

∴|PQ|＋|QR|＝4－2sin，

当θ＝30°时，|PQ|＋|QR|取最小值2，

∴矩形PQRS周长的最小值为4，

此时点P的直角坐标为.

6．(2016·课标全国Ⅰ，23)在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(t为参数，a>0)．在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ＝4cos θ.

(1)说明C1是哪一种曲线，并将C1的方程化为极坐标方程；

(2)直线C3的极坐标方程为θ＝α0，其中α0满足tan α0＝2，若曲线C1与C2的公共点都在C3上，求a.

解析：(1)消去参数t得到C1的普通方程为x2＋(y－1)2＝a2，则C1是以(0,1)为圆心，a为半径的圆．

将x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入C1的普通方程中，得到C1的极坐标方程为ρ2－2ρsin θ＋1－a2＝0.

(2)曲线C1，C2的公共点的极坐标满足方程组

若ρ≠0，由方程组得16cos2θ－8sin θcos θ＋1－a2＝0，

由已知tan θ＝2，可得16cos2θ－8sin θcos θ＝0，

从而1－a2＝0，解得a＝－1(舍去)或a＝1.

当a＝1时，极点也为C1，C2的公共点，在C3上．

所以a＝1.