课时作业(六) 函数的奇偶性与周期性 练习

课时作业(六)　函数的奇偶性与周期性

一、选择题

1．函数f(x)＝lg|sinx|是(　　)

A．最小正周期为π的奇函数

B．最小正周期为2π的奇函数

C．最小正周期为π的偶函数

D．最小正周期为2π的偶函数

解析：∵f(－x)＝lg|sin(－x)|＝lg|sinx|，

∴函数f(x)为偶函数，

∵f(x＋π)＝lg|sin(x＋π)|＝lg|sinx|，

∴函数f(x)的周期为π.故选C.

答案：C

2．(2017·辽宁沈阳检测)下列函数中，在其定义域内是增函数而且又是奇函数的是(　　)

A．y＝2x　　　 B．y＝2|x|

C．y＝2x－2－x  D．y＝2x＋2－x

解析：A虽为增函数却是非奇非偶函数，B，D是偶函数．对于选项C，由奇偶函数的定义可知是奇函数，由复合函数单调性可知在其定义域内是增函数(或由y′＝2xln2＋2－xln2>0可知是增函数)，故选C.

答案：C

3．(2017·赣中南五校联考)已知y＝f(x)是奇函数，当x<0时，f(x)＝x2＋ax，且f(3)＝6，则a的值为(　　)

A．5    B．1

C．－1  D．－3

解析：∵y＝f(x)是奇函数，且f(3)＝6，

∴f(－3)＝－6，∴9－3a＝－6.解得a＝5.

故选A.

答案：A

4．函数y＝f(x)在[0,2]上单调递增，且函数f(x＋2)是偶函数，则下列结论成立的是(　　)

A．f(1)<f()<f()

B．f()<f(1)< f()

C．f()< f()<f(1)

D．f()<f(1)< f()

解析：∵f(x＋2)是偶函数，∴f(x)的图象关于直线x＝2对称，∴f(x)＝f(4－x)，

∴f()＝f()，f()＝f().

又0<<1<<2，f(x)在[0,2]上单调递增，

∴f()<f(1)<f()，即f()<f(1)< f()

答案：B

5．(2017·南京模拟)若定义在实数集R上的偶函数f(x)满足f(x)>0，f(x＋2)＝，对任意x∈R恒成立，则f(2 015)＝(　　)

A．4  B．3

C．2  D．1

解析：因为f(x)>0，f(x＋2)＝，

所以f(x＋4)＝f((x＋2)＋2)＝＝＝f(x)，

即函数f(x)的周期是4.

所以f(2 015)＝f(504×4－1)＝f(－1)．

因为函数f(x)为偶函数，

所以f(2 015)＝f(－1)＝f(1)．

当x＝－1时，f(－1＋2)＝，

得f(1)＝.

即f(1)＝1，所以f(2 015)＝f(1)＝1.

答案：D

6．(2017·河南新野第三高级中学月考)已知函数g(x)是R上的奇函数，且当x<0时，g(x)＝－ln(1－x)，函数f(x)＝若f(2－x2)>f(x)，则实数x的取值范围是(　　)

A．(－∞，1)∪(2，＋∞)  B．(－∞，－2)∪(1，＋∞)

C．(1,2)                 D．(－2,1)

解析：设x>0，则－x<0.

∵x<0时，g(x)＝－ln(1－x)，

∴g(－x)＝－ln(1＋x)．

又∵g(x)是奇函数，

∴g(x)＝ln(1＋x)(x>0)，

∴f(x)＝其图象如图所示．由图象知，函数f(x)在R上是增函数．

∵f(2－x2)>f(x)，∴2－x2>x，即－2<x<1.

答案：D

二、填空题

7．(2015·课标卷Ⅰ)若函数f(x)＝xln(x＋)为偶函数，则a＝________.

解析：由已知得f(－x)＝f(x)，

即－xln(－x)＝xln(x＋)，

则ln(x＋)＋ln(－x)＝0，

∴ln[()2－x2]＝0，得lna＝0，

∴a＝1.

答案：1

8．定义在R上的奇函数y＝f(x)在(0，＋∞)上递增，且f()＝0，则满足f(x)>0的x的集合为__________________________．

解析：由奇函数y＝f(x)在(0，＋∞)上递增，且f()＝0，得函数y＝f(x)在(－∞，0)上递增，且f(－)＝0，∴x>或－<x<0.

答案：

9．已知函数f(x)在实数集R上具有下列性质：①直线x＝1是函数f(x)的一条对称轴；②f(x＋2)＝－f(x)；③当1≤x1<x2≤3时，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)<0，则f(2 015)，f(2 016)，f(2 017)从大到小的顺序为________．

解析：由f(x＋2)＝－f(x)得f(x＋4)＝f(x)，即函数f(x)是周期为4的函数，

由③知f(x)在[1,3]上是减函数．

所以f(2 015)＝f(3)，f(2 016)＝f(0)＝f(2)，

f(2 017)＝f(1)，

所以f(1)>f(2)>f(3)，即f(2 017)>f(2 016)>f(2 015)．

答案：f(2 017)>f(2 016)>f(2 015)

三、解答题

10．已知函数f(x)＝是奇函数．

(1)求实数m的值；

(2)若函数f(x)在区间[－1，a－2]上单调递增，求实数a的取值范围．

解析：(1)设x<0，则－x>0，

所以f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)＝－x2－2x.

又f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，

于是x<0时，f(x)＝x2＋2x＝x2＋mx，

所以m＝2.

(2)由(1)知f(x)在[－1,1]上是增函数，

要使f(x)在[－1，a－2]上单调递增，

结合f(x)的图象知

所以1<a≤3.故实数a的取值范围是(1,3]．

11．设f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函数，f(x＋2)＝－f(x)，当0≤x≤1时，f(x)＝x.

(1)求f(π)的值；

(2)当－4≤x≤4时，求f(x)的图象与x轴所围成图形的面积．

解析：(1)∵由f(x＋2)＝－f(x)，得

f(x＋4)＝f[(x＋2)＋2]＝－f(x＋2)＝f(x)，

∴f(x)是以4为周期的周期函数，

∴f(π)＝f(－1×4＋π)＝f(π－4)＝－f(4－π)

＝－(4－π)＝π－4.

(2)由f(x)是奇函数与f(x＋2)＝－f(x)，

得f[(x－1)＋2]＝－f(x－1)＝f[－(x－1)]，

即f(1＋x)＝f(1－x)．

从而可知函数y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称．

又当0≤x≤1时，f(x)＝x，且f(x)的图象关于原点成中心对称，则f(x)的图象如图所示．

设当－4≤x≤4时，f(x)的图象与x轴围成的图形面积为S，

则S＝4S△OAB＝4××2×1＝4.

12．设函数f(x)是定义在(0，＋∞)上的增函数，且满足f(xy)＝f(x)＋f(y)．若f(3)＝1，且f(a)>f(a－1)＋2，求实数a的取值范围．

解析：因为f(xy)＝f(x)＋f(y)，且f(3)＝1，

所以2＝2f(3)＝f(3)＋f(3)＝f(9)．

又f(a)>f(a－1)＋2，所以f(a)>f(a－1)＋f(9)．

再由f(xy)＝f(x)＋f(y)，可知f(a)>f(9(a－1))．

因为f(x)是定义在(0，＋∞)上的增函数，从而有

解得1<a<.

故所求实数a的取值范围为(1，).