课时作业(六十三) 参数主程 练习

课时作业(六十三)　参数主程

1．将下列参数方程化为普通方程：

(1)

(2)

解析：(1)两式相除，得k＝，将其代入得

x＝，

化简得所求的普通方程是4x2＋y2－6y＝0(y≠6)．

(2)由(sinθ＋cosθ)2＝1＋sin2θ＝2－(1－sin2θ)，

又x＝1－sin2θ∈[0,2]，

得y2＝2－x.

得所求的普通方程为y2＝2－x，x∈[0,2]．

2．(2017·石家庄市教学质量检测(二))在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t为参数)，在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为ρ＝4sinθ－2cosθ.

(1)求直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程；

(2)若直线l与y轴的交点为P，直线l与曲线C的交点为A，B，求|PA||PB|的值．

解析：(1)直线l的普通方程为x－y＋3＝0，

∵ρ2＝4ρsinθ－2ρcosθ，

∴曲线C的直角坐标方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝5.

(2)将直线l的参数方程(t为参数)代入曲线C：(x＋1)2＋(y－2)2＝5，得到t2＋2t－3＝0，

∴t1t2＝－3，

∴|PA||PB|＝|t1t2|＝3.

3．(2016·课标全国Ⅱ，23)在直角坐标系xOy中，圆C的方程为(x＋6)2＋y2＝25.

(1)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C的极坐标方程；

(2)直线l的参数方程是(t为参数)，l与C交于A，B两点，|AB|＝，求l的斜率．

解析：(1)由x＝ρcos θ，y＝ρsin θ可得圆C的极坐标方程为ρ2＋12ρcos θ＋11＝0.

(2)方法1：由直线l的参数方程(t为参数)，消去参数得y＝x·tan α.

设直线l的斜率为k，则直线l的方程为kx－y＝0.

由圆C的方程(x＋6)2＋y2＝25知，圆心坐标为(－6,0)，半径为5.

又∣AB∣＝，由垂径定理及点到直线的距离公式得＝，即＝，

整理得k2＝，解得k＝±，

即l的斜率为±.

方法2：在(1)中建立的极坐标系中，直线l的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R)．

设A，B所对应的极径分别为ρ1，ρ2，将l的极坐标方程代入C的极坐标方程得ρ2＋12ρcos α＋11＝0，

于是ρ1＋ρ2＝－12cos α，ρ1ρ2＝11.

|AB|＝|ρ1－ρ2|＝

＝.

由|AB|＝得cos2α＝，tan α＝±.

所以l的斜率为或－.

4．(2017·郑州市第二次质量检测)平面直角坐标系xOy中，曲线C：(x－1)2＋y2＝1.直线l经过点P(m,0)，且倾斜角为，以O为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系．

(1)写出曲线C的极坐标方程与直线l的参数方程；

(2)若直线l与曲线C相交于A，B两点，且|PA|·|PB|＝1，求实数m的值．

解析：(1)曲线C的直角坐标方程为：(x－1)2＋y2＝1，即x2＋y2＝2x，即ρ2＝2ρcosθ，

所以曲线C的极坐标方程为：ρ＝2cosθ.

直线l的参数方程为(t为参数)．

(2)设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，将直线l的参数方程代入x2＋y2＝2x中，

得t2＋(m－)t＋m2－2m＝0，所以t1t2＝m2－2m，

由题意得|m2－2m|＝1，解得m＝1或m＝1＋或m＝1－.

5．(2017·广东珠海模拟，23)在极坐标系中，圆C的极坐标方程为ρ2＝4ρ(cosθ＋sinθ)－6.若以极点O为原点，极轴所在直线为x轴建立平面直角坐标系．

(1)求圆C的参数方程；

(2)在直角坐标系中，点P(x，y)是圆C上一动点，试求x＋y的最大值，并求出此时点P的直角坐标．

解析：(1)因为ρ2＝4ρ(cosθ＋sinθ)－6，

所以x2＋y2＝4x＋4y－6，

所以x2＋y2－4x－4y＋6＝0，

即(x－2)2＋(y－2)2＝2为圆C的直角坐标方程．

所以所求的圆C的参数方程为(θ为参数)．

(2)由(1)可得x＋y＝4＋(sinθ＋cosθ)＝4＋2sin.

当θ＝，即点P的直角坐标为(3,3)时，

x＋y取得最大值6.

6．(2017·甘肃三校联考，23)在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t为参数)，在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴)中，圆C的方程为ρ＝6sinθ.

(1)求圆C的直角坐标方程；

(2)设圆C与直线l交于点A，B，若点P的坐标为(1,2)，求|PA|＋|PB|的最小值．

解析：(1)由ρ＝6sinθ，得ρ2＝2ρsinθ.

得x2＋y2＝6y，即x2＋(y－3)2＝9.

所以圆C的直角坐标方程为x2＋(y－3)2＝9.

(2)将l的参数方程代入圆C的直角坐标方程，得t2＋2(cosα－sinα)t－7＝0.

由已知得Δ＝(2cosα－2sinα)2＋4×7>0，所以可设t1，t2是上述方程的两根，

则由题意得直线l过点(1,2)，结合t的几何意义得

|PA|＋|PB|＝|t1|＋|t2|＝|t1－t2|

＝

＝

＝≥＝2.

所以|PA|＋|PB|的最小值为2.