课时作业(六十四) 绝对值不等式 练习

课时作业(六十四)　绝对值不等式

1．已知|2x－3|≤1的解集为[m，n]．

(1)求m＋n的值；

(2)若|x－a|<m，求证：|x|<|a|＋1.

解析：(1)不等式|2x－3|≤1可化为－1≤2x－3≤1，

解得1≤x≤2，所以m＝1，n＝2，m＋n＝3.

(2)证明：若|x－a|<1，则|x|＝|x－a＋a|≤|x－a|＋|a|<|a|＋1.即|x|<|a|＋1.

2．(2017·合肥市第二次质量检测)已知函数f(x)＝|x－4|＋|x－a|(a∈R)的最小值为2.

(1)求实数a的值；

(2)解不等式f(x)≤5.

解析：(1)f(x)＝|x－4|＋|x－a|≥|a－4|＝a，从而解得a＝2.

(2)由(1)知，f(x)＝|x－4|＋|x－2|＝.

结合函数y＝f(x)的图象和，不等式f(x)≤5的解集为.

3．(2017·长春二模)已知函数f(x)＝|x－1|＋|x－a|.

(1)当a＝2时，求不等式f(x)≥3的解集；

(2)如果对任意的x∈R，f(x)≥2恒成立，求实数a的取值范围．

解析：解法一：(1)当a＝2时，f(x)＝|x－1|＋|x－2|.

由f(x)≥3得|x－1|＋|x－2|≥3，

由绝对值的几何意义知不等式的解集为(－∞，0]∪[3，＋∞)．

(2)若a＝1，则f(x)＝2|x－1|，显然不满足题设条件；

若a<1，则f(x)＝，易知f(x)的最小值为1－a；

若a>1，则f(x)＝，易知f(x)的最小值为a－1.

所以对于任意的x∈R，f(x)≥2恒成立的充要条件是|a－1|≥2，解得a≤－1或a≥3，

从而可得实数a的取值范围是(－∞，－1]∪[3，＋∞)．

解法二：(1)同解法一；

(2)根据绝对值的几何性质可知，f(x)＝|x－1|＋|x－a|表示x轴上的点x到1和a两点的距离之和，

所以f(x)的最小值为|a－1|，

故对任意的x∈R，f(x)≥2恒成立的充要条件是|a－1|≥2，

解得a≥3或a≤－1.

4．设函数f(x)＝|x－1|＋|x－a|.

(1)若a＝－1，解不等式f(x)≥3；

(2)如果∀x∈R，f(x)≥2，求a的取值范围．

解析：(1)当a＝－1时，f(x)＝|x－1|＋|x＋1|.

由f(x)≥3，得|x－1|＋|x＋1|≥3.

(ⅰ)x≤－1时，不等式化为1－x－1－x≥3，即－2x≥3.

不等式组的解集为.

(ⅱ)当－1<x≤1时，不等式化为1－x＋x＋1≥3，不可能成立．

不等式组的解集为∅.

(ⅲ)当x>1时，不等式化为x－1＋x＋1≥3，即2x≥3.

不等式组的解集为.

综上得，f(x)≥3的解集为∪.

(2)若a＝1，则f(x)＝2|x－1|，不满足题设条件．

若a<1，则f(x)＝

f(x)的最小值为1－a.

若a>1，则f(x)＝

f(x)的最小值为a－1.

所以∀x∈R，f(x)≥2的充要条件是|a－1|≥2，从而a的取值范围为(－∞，－1]∪[3，＋∞)．

5．已知函数f(x)＝|2x＋1|－|x－1|.

(1)求不等式f(x)<2的解集；

(2)若关于x的不等式f(x)≤a－有解，求a的取值范围．

解析：(1)当x>1时，f(x)＝2x＋1－(x－1)＝x＋2，

∵f(x)<2，∴x<0，此时无解；

当－≤x≤1时，f(x)＝2x＋1－(1－x)＝3x，

∵f(x)<2，∴x<，此时－≤x<；

当x<－时，f(x)＝－2x－1－(1－x)＝－x－2，

∵f(x)<2，∴x>－4，此时－4<x<－.

综上所述，不等式f(x)<2的解集为.

(2)f(x)≤a－有解⇔f(x)min≤a－.

由(1)可知f(x)＝

当x<－时，f(x)>－；

当－≤x≤1时，－≤f(x)≤3；

当x>1时，f(x)>3.

∴f(x)min＝－，故－≤a－⇒a2－2a－3≤0⇒－1≤a≤3.

故a的取值范围为[－1,3]．

6．设函数f(x)＝|2x－1|－|x＋2|.

(1)解不等式f(x)>0；

(2)若∃x0∈R，使得f(x0)＋2m2<4m，求实数m的取值范围．

解析：(1)不等式f(x)>0，即|2x－1|>|x＋2|，

即4x2－4x＋1>x2＋4x＋4，

3x2－8x－3>0，解得x<－或x>3，

所以不等式f(x)>0的解集为.

(2)f(x)＝|2x－1|－|x＋2|＝

故f(x)的最小值为f＝－.

因为∃x0∈R，使得f(x0)＋2m2<4m，

所以4m－2m2>－，

解得－<m<.

故m的取值范围为(－，)．