课时作业(三十九) 直接证明与间接证明 练习

课时作业(三十九)　直接证明与间接证明

一、选择题

1．已知函数f(x)＝()x，a，b是正实数，A＝f()，B＝f()，C＝f()，则A、B、C的大小关系为(　　)

A．A≤B≤C　　　　　　B．A≤C≤B

C．B≤C≤A  D．C≤B≤A

解析：∵≥≥，又f(x)＝()x在R上是减函数．

∴f()≤f()≤f()，即A≤B≤C.

答案：A

2．(2017·上海二模)用反证法证明命题“已知，a，b∈N*，如果ab可被5整除，那么a，b中至少有一个能被5整除”时，假设的内容应为(　　)

A．a，b都能被5整除  B．a，b都不能被5整除

C．a，b不都能被5整除  D．a不能被5整除

解析：由于反证法是命题的否定的一个运用，故用反证法证明命题时，可以设其否定成立进行推证．“a，b中至少有一个能被5整除”的否定是“a，b都不能被5整除”．故选B.

答案：B

3．若a<b<0，则下列不等式中成立的是(　　)

A.<  B．a＋>b＋

C．b＋>a＋  D.<

解析：∵a<b<0，∴>，又b>a，∴b＋>a＋.

答案：C

4．(2017·临沂模拟)命题“如果数列{an}的前n项和Sn＝2n2－3n，那么数列{an}一定是等差数列”是否成立(　　)

A．不成立  B．成立

C．不能断定  D．能断定

解析：∵Sn＝2n2－3n，

∴Sn－1＝2(n－1)2－3(n－1)(n≥2)，

∴an＝Sn－Sn－1＝4n－5(n＝1时，a1＝S1＝－1符合上式)．又∵an＋1－an＝4(n≥1)．

∴{an}是等差数列．

答案：B

5．设a，b∈R，已知命题p：a＝b，命题q：a2＋b2≥2ab，则p是q的(　　)

A．必要不充分条件  B．充分不必要条件

C．充要条件  D．既不充分也不必要条件

解析：若a＝b，则a2＋b2≥2ab显然成立．反之，若a2＋b2≥2ab，得不到a＝b.

答案：B

6．(2017·青岛模拟)若a、b、c是不全相等的正数，给出下列判断

①(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2≠0；

②a>b与a<b及a＝b中至少有一个成立；

③a≠c，b≠c，a≠b不能同时成立．

其中判断正确的个数是(　　)

A．0  B．1

C．2  D．3

解析：①②正确，③中，a≠c，b≠c，a≠b，可能同时成立，如a＝1，b＝2，c＝3.

答案：C

二、填空题

7．设a＝＋2，b＝2＋，则a，b的大小关系为________．

解析：a＝＋2，b＝2＋两式的两边分别平方，

可得a2＝11＋4，b2＝11＋4，显然<.

∴a<b.

答案：a<b

8．有下列条件：①ab>0，②ab<0，③a>0，b>0，④a<0，b<0.其中能使＋≥2成立的条件的序号是________．

解析：要使＋≥2，只需>0且>0成立，即a，b不为0且同号即可，故①③④能使＋≥2成立．

答案：①③④

9．如果a＋b>a＋b，则a、b应满足的条件是________．

解析：∵a＋b>a＋b，即(－)2(＋)>0，需满足a≥0，b≥0，且a≠b.

答案：a≥0，b≥0且a≠b

三、解答题

10．设a，b，c>0，证明：＋＋≥a＋b＋c.

证明：因为a，b，c>0，根据基本不等式，

有＋b≥2a，＋c≥2b，＋a≥2c.

三式相加得＋＋＋a＋b＋c≥2(a＋b＋c)，

即＋＋≥a＋b＋c.

11．已知a、b∈(0，＋∞)，求证：(a3＋b3)<(a2＋b2).

证明：因为a、b∈(0，＋∞)，要证原不等式成立，只需证[(a3＋b3)]6<[(a2＋b2)]6，

即证(a3＋b3)2<(a2＋b2)3，

即证a6＋2a3b3＋b6<a6＋3a4b2＋3a2b4＋b6，

只需证2a3b3<3a4b2＋3a2b4.

因为a、b∈(0，＋∞)，

所以即证2ab<3(a2＋b2)．

而a2＋b2≥2ab,3(a2＋b2)≥6ab>2ab成立，

以上步骤步步可逆，

所以(a3＋b3)<(a2＋b2).

12．设{an}是公比为q的等比数列．

(1)推导{an}的前n项和公式；

(2)设q≠1，证明：数列{an＋1}不是等比数列．

解析：(1)设{an}的前n项和为Sn，

当q＝1时，Sn＝a1＋a1＋…＋a1＝na1；

当q≠1时，Sn＝a1＋a1q＋a1q2＋…＋a1qn－1，①

qSn＝a1q＋a1q2＋…＋a1qn，②

①－②得，(1－q)Sn＝a1－a1qn，

∴Sn＝，∴Sn＝

(2)证明：假设{an＋1}是等比数列，则对任意的k∈N*，

(ak＋1＋1)2＝(ak＋1)(ak＋2＋1)，

a＋2ak＋1＋1＝akak＋2＋ak＋ak＋2＋1，

aq2k＋2a1qk＝a1qk－1·a1qk＋1＋a1qk－1＋a1qk＋1，

∵a1≠0，∴2qk＝qk－1＋qk＋1，

∵q≠0，∴q2－2q＋1＝0，

∴q＝1，这与已知矛盾．

∴假设不成立，故{an＋1}不是等比数列．