课时作业(三十五) 一元二次不等式及其解法 练习

课时作业(三十五)　一元二次不等式及其解法

一、选择题

1．(2017·安徽安庆二模)若集合P＝{x||x|<3，且x∈Z}，Q＝{x|x(x－3)≤0，且x∈Z}，则P∩Q等于(　　)

A．{0,1,2}　　　　　　　　B．{1,2,3}

C．{1,2}  D．{0,1,2,3}

解析：由题意得P＝{－2，－1,0,1,2}，Q＝{0,1,2,3}，∴P∩Q＝{0,1,2}．

答案：A

2．(2017·湖南四校联考二)已知不等式mx2＋nx－<0的解集为{x|x<－或x>2}，则m－n＝(　　)

A.  B．－

C.  D．－1

解析：由题意得，x＝－和x＝2是方程mx2＋nx－＝0的两根，所以－＋2＝－且×2＝(m<0)，解得m＝－1，n＝，所以m－n＝－，故选B.

答案：B

3．二次函数y＝ax2＋bx＋c(x∈R)的部分对应值如下表：则不等式cx2＋bx＋a>0的解集为(　　)

A.(－2,3)

B.

C.∪

D．(－∞，－2)∪(3，＋∞)

解析：由表可知－2,3是方程ax2＋bx＋c＝0的两根且a>0，∴

设方程cx2＋bx＋a＝0的两根为x3，x4(x3<x4)，则x3＋x4＝－＝－，x3·x4＝＝－，∴x3＝－，x4＝.又c<0，∴－<x<，选B.

答案：B

4．已知不等式ax2－bx－1>0的解集是，则不等式x2－bx－a≥0的解集是(　　)

A．{x|2<x<3}  B．{x|x≤2或x≥3}

C.  D.

解析：∵不等式ax2－bx－1>0的解集是，

∴ax2－bx－1＝0的解是x1＝－和x2＝－，且a<0.

∴解得

则不等式x2－bx－a≥0即为x2－5x＋6≥0，解得x≤2或x≥3.

答案：B

5．(2017·西安一模)若关于x的二次不等式x2＋mx＋1≥0的解集为R，则实数m的取值范围是(　　)

A．(－∞，－2]∪[2，＋∞)  B．[－2,2]

C．(－∞，－2)∪(2，＋∞)  D．(－2,2)

解析：法一　由题意知，x2＋mx＋1≥0恒成立，所以当x＝0时，1≥0显然成立；当x>0时，m≥－恒成立，又(－)max＝－2，所以m≥－2；当x<0时，m≤－恒成立，又(－)min＝2，所以m≤2.综上，－2≤m≤2.

法二　不等式x2＋mx＋1≥0的解集为R，相当于二次函数y＝x2＋mx＋1的最小值非负，即方程x2＋mx＋1＝0最多有一个实根，故Δ＝m2－4≤0，解得－2≤m≤2.

答案：B

6．若不等式x2＋ax－2>0在区间[1,5]上有解，则a的取值范围是(　　)

A.  B.

C．(1，＋∞)  D.

解析：设f(x)＝x2＋ax－2，由Δ＝a2＋8>0，知方程f(x)＝0恒有两个不等实根，又知两根之积为负，所以方程必有一正根、一负根．于是不等式在区间[1,5]上有解的充要条件是f(5)≥0，f(1)≤0，解得a≥－，且a≤1，故a的取值范围为.

答案：B

二、填空题

7．若函数f(x)＝则不等式f(x)<4的解集是________．

解析：不等式f(x)<4等价于或

即0<x<或－4<x≤0.

因此，不等式f(x)<4的解集是{x|－4<x<}．

答案：{x|－4<x<}

8．(2017·贵州一模)已知不等式>()2x2－mx＋m＋4对任意x∈R恒成立，则实数m的取值范围是________．

解析：根据指数函数的单调性得，x2－(m＋1)x＋m＋4>0对任意x∈R恒成立，所以Δ＝[－(m＋1)]2－4(m＋4)<0，解得－3<m<5.

答案：(－3,5)

9．某商家一月份至五月份累计销售额达3 860万元，预测六月份销售额为500万元，七月份销售额比六月份递增x%，八月份销售额比七月份递增x%，九、十月份销售总额与七、八月份销售总额相等．若一月份至十月份销售总额至少达7 000万元，则x的最小值是________．

解析：七月份的销售额为500(1＋x%)，八月份的销售额为500(1＋x%)2，

则一月份到十月份的销售总额是

3 860＋500＋2[500(1＋x%)＋500(1＋x%)2]，

根据题意有3 860＋500＋2[500(1＋x%)＋500(1＋x%)2]≥7 000，

即25(1＋x%)＋25(1＋x%)2≥66，

令t＝1＋x%，则25t2＋25t－66≥0，

解得t≥或者t≤－(舍去)，

故1＋x%≥，

解得x≥20.

故x的最小值为20.

答案：20

三、解答题

10．解关于x的不等式ax2－(a＋1)x＋1<0(a>0)．

解析：原不等式变为(ax－1)(x－1)<0，

因为a>0，所以a(x－1)<0.

所以当a>1时，解为<x<1；

当a＝1时，解集为∅；

当0<a<1时，解为1<x<.

综上，当0<a<1时，不等式的解集为；

当a＝1时，不等式的解集为∅；

当a>1时，不等式的解集为.

11．设函数f(x)＝mx2－mx－1(m≠0)．

(1)若对于一切实数x，f(x)<0恒成立，求m的取值范围；

(2)若对于x∈[1,3]，f(x)<－m＋5恒成立，求m的取值范围．

解析：(1)要使mx2－mx－1<0恒成立，

由m≠0，得⇒－4<m<0.

所以－4<m<0.

(2)要使f(x)<－m＋5在[1,3]上恒成立，

即m2＋m－6<0在x∈[1,3]上恒成立．

有以下两种方法：

法一　令g(x)＝m2＋m－6，x∈[1,3]．

当m>0时，g(x)在[1,3]上是增函数，

所以g(x)max＝g(3)＝7m－6<0，

所以m<，则0<m<；

当m<0时，g(x)在[1,3]上是减函数，

所以g(x)max＝g(1)＝m－6<0，

所以m<6，所以m<0.

综上所述，m的取值范围是.

法二　因为x2－x＋1＝2＋>0，

又因为m(x2－x＋1)－6<0，所以m<.

因为函数y＝＝在[1,3]上的最小值为，所以只需m<即可．

因为m≠0，

所以，m的取值范围是.

12．汽车在行驶中，由于惯性作用，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停住，我们称这段距离为“刹车距离”．刹车距离是分析交通事故的一个重要因素．在一个限速40 km/h的弯道上，甲、乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相碰了，事发后现场测得甲车的刹车距离略超过12 m，乙车的刹车距离略超过10 m．又知甲、乙两种车型的刹车距离s(m)与车速x(km/h)之间有如下关系；s甲＝0.1x＋0.01x2，s乙＝0.05x＋0.005x2.问：是谁超速行驶，在此事故中应负主要责任？

解析：由题意列出不等式，

对甲车型：0.1x＋0.01x2>12，

解得x>30(x<－40舍去)；

对乙车型：0.05x＋0.005x2>10，

解得x>40(x<－50舍去)，

从而x甲>30 km/h，x乙>40 km/h.

经比较知乙车超过限速，在此事故中应负主要责任．