课时作业(三十三) 数列的综合应用 练习

课时作业(三十三)　数列的综合应用

1．(2017·山西省第二次四校联考)已知等比数列{an}的各项均为正数，a1＝1，公比为q；等差数列{bn}中，b1＝3，且{bn}的前n项和为Sn，a3＋S3＝27，q＝.

(1)求{an}与{bn}的通项公式；

(2)设数列{cn}满足cn＝，求{cn}的前n项和Tn.

解析：(1)设数列{bn}的公差为d，∵a3＋S3＝27，q＝，

∴q2＋3d＝18,6＋d＝q2，联立方程可求得q＝3，d＝3，

∴an＝3n－1，bn＝3n.

(2)由题意得：Sn＝，cn＝＝··＝－，

∴Tn＝1－＋－＋－＋…＋－＝1－＝.

2．(2017·广州市综合测试(一))已知数列{an}是等比数列，a2＝4，a3＋2是a2和a4的等差中项．

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)设bn＝2 log2an－1，求数列{anbn}的前n项和Tn.

解析：(1)设数列{an}的公比为q，

因为a2＝4，所以a3＝4q，a4＝4q2.

因为a3＋2是a2和a4的等差中项，所以2(a3＋2)＝a2＋a4.

即2(4q＋2)＝4＋4q2，化简得q2－2q＝0.

因为公比q≠0，所以q＝2.

所以an＝a2qn－2＝4×2n－2＝2n(n∈N*)．

(2)因为an＝2n，所以bn＝2 log2an－1＝2n－1，

所以anbn＝(2n－1)2n，

则Tn＝1×2＋3×22＋5×23＋…＋(2n－3)2n－1＋(2n－1)2n，①

2Tn＝1×22＋3×23＋5×24＋…＋(2n－3)2n＋(2n－1)2n＋1.②

由①－②得，

－Tn＝2＋2×22＋2×23＋…＋2×2n－(2n－1)2n＋1

＝2＋2×－(2n－1)2n＋1

＝－6－(2n－3)2n＋1，

所以Tn＝6＋(2n－3)2n＋1.

3．(2016·全国卷甲)等差数列{an}中，a3＋a4＝4，a5＋a7＝6.

(1)求{an}的通项公式；

(2)设bn＝[an]，求数列{bn}的前10项和，其中[x]表示不超过x的最大整数，如[0.9]＝0，[2.6]＝2.

解析：(1)设数列{an}的首项为a1，公差为d，

由题意有解得

所以{an}的通项公式为an＝.

(2)由(1)知，bn＝.

当n＝1,2,3时，1≤<2，bn＝1；

当n＝4,5时，2≤<3，bn＝2；

当n＝6,7,8时，3≤<4，bn＝3；

当n＝9,10时，4≤<5，bn＝4.

所以数列{bn}的前10项和为1×3＋2×2＋3×3＋4×2＝24.

4．某集团打算投资72万美元建起一座蔬菜加工厂，第一年各种经费12万美元，以后每年增加4万美元，每年销售蔬菜收入50万美元，设f(n)表示前n年的纯收入．[f(n)＝前n年的总收入－前n年的总支出－投资额]

(1)从第几年开始获取纯利润？

(2)若干年后，该集团为开发新项目，有两种处理方案：①年平均利润最大时以48万美元出售该厂；②纯利润总和最大时，以16万美元出售该厂．哪种方案最合算？

解析：由题意，知每年的经费是以12为首项，4为公差的等差数列．设纯利润与年数的关系为f(n)，

则f(n)＝50n－－72＝－2n2＋40n－72.

(1)获取纯利润就是要求f(n)>0，故有－2n2＋40n－72>0，解得2<n<18.

又n∈N*，知从第三年开始获利．

(2)①平均利润为＝40－2≤16，当且仅当n＝6时取等号．

故此方案获利6×16＋48＝144(万美元)，此时n＝6，

②f(n)＝－2n2＋40n－72＝－2(n－10)2＋128，

当n＝10时，f(n)max＝128.

故此方案共获利128＋16＝144(万美元)．

比较两种方案，第①种方案只需6年，第②种方案需要10年，故选择第①种方案．

5．(2017·陕西商洛模拟)已知函数f(x)满足f(x＋y)＝f(x)·f(y)且f(1)＝.

(1)当n∈N*时，求f(n)的表达式；

(2)当an＝n·f(n)，n∈N*，求证：a1＋a2＋a3＋…＋an<2.

解析：(1)令x＝n，y＝1，

得f(n＋1)＝f(n)·f(1)＝f(n)，

∴{f(n)}是首项为，公比为的等比数列，

∴f(n)＝n.

(2)证明：设Tn为{an}的前n项和，

∵an＝n·f(n)＝n·n，

∴Tn＝＋2×2＋3×3＋…＋n×n，

Tn＝2＋2×3＋3×4＋…＋(n－1)×n＋n×n＋1，

两式相减得Tn＝＋2＋…＋n－n×n＋1，

∴Tn＝2－n－1－n×n<2.

6．(2016·四川卷)已知数列{an}的首项为1，Sn为数列{an}的前n项和，Sn＋1＝qSn＋1，其中q>0，n∈N*.

(1)若a2，a3，a2＋a3成等差数列，求数列{an}的通项公式；

(2)设双曲线x2－＝1的离心率为en，且e2＝2，求e＋e＋…＋e.

解析：(1)由已知，Sn＋1＝qSn＋1，Sn＋2＝qSn＋1＋1，

两式相减得到an＋2＝qan＋1，n≥1.

又由S2＝qS1＋1得到a2＝qa1，

故an＋1＝qan对所有n≥1都成立，

所以，数列{an}是首项为1，公比为q的等比数列．

从而an＝qn－1.

由a2，a3，a2＋a3成等差数列，可得

2a3＝a2＋a2＋a3，

所以a3＝2a2，故q＝2.

所以an＝2n－1(n∈N*)．

(2)由(1)可知，an＝qn－1，

所以双曲线x2－＝1的离心率

en＝＝.

由e2＝＝2解得q＝，

所以e＋e＋…＋e

＝(1＋1)＋(1＋q2)＋…＋[1＋q2(n－1)]

＝n＋[1＋q2＋…＋q2(n－1)]

＝n＋＝n＋(3n－1)．